QCM : Logarithmes et fonctions exponentielles — 17 questions

Question 1

1. Quelle équation faut-il résoudre pour déterminer les solutions de $e^{u(x)}=e^{v(x)}$ ?

e^{u(x)-v(x)}=0

u(x)=\ln(v(x))

u(x)=v(x)

u(x)\times v(x)=1

Explication

L’exponentielle est injective, donc deux exponentielles de base $e$ sont égales lorsque leurs exposants sont égaux. L’introduction d’un logarithme est plutôt nécessaire pour traiter une équation où le second membre n’est pas déjà une exponentielle comparable.

Answer

$$u(x)=v(x)$$

Question 2

2. Quelle condition doit vérifier le réel $a$ pour que l’équation $e^{u(x)}=a$ puisse avoir une solution réelle ?

a<1

a\geq 0

a>0

a\neq 1

Explication

Une exponentielle est strictement positive, et l’équation se transforme alors en $u(x)=\ln(a)$ . Un second membre nul ou négatif ne peut pas être atteint par une exponentielle réelle.

Answer

Pour $$x>0$$

Answer

$$\ln(a)+\ln(b)$$

Answer

$$r\ln(a)$$

Answer

Il est conservé.

Answer

Elle inverse le sens de l’inégalité.

Answer

Écrire l’inégalité avec $$u_0q^n$$, la résoudre avec les logarithmes, puis vérifier le premier entier admissible

Answer

$$u_n=100\times1,01^n$$

Answer

$$100\times1,01^n\geq200$$, puis ajouter le rang trouvé à 2021

Answer

Initialiser $$n=0$$, augmenter $$n$$ de 1 tant que $$u(n)\leq10^{10}$$, puis afficher $$n$$

Answer

C’est le logarithme de base 10, noté $$\log$$, et $$\log(10^n)=n$$

Answer

$$2^{30}\approx10^9$$

Answer

Lorsque $$x>0$$

Answer

$$\frac{u'(x)}{u(x)}$$

Answer

$$\left(\frac{1}{6},+\infty\right)$$

Answer

Déterminer le domaine, calculer la dérivée, étudier son signe, puis établir le tableau

Question 3

3. Pour quelle valeur de $x$ l’expression $\ln(x)$ est-elle définie dans les réels ?

Pour

x>0

Pour

x\geq 0

Pour

x<0

Pour tout réel

x

Explication

Le logarithme népérien exige un argument strictement positif. La valeur nulle et les valeurs négatives ne sont pas admises dans son domaine réel.

Question 4

4. Comment simplifier l’expression $\ln(ab)$ lorsque $a$ et $b$ sont strictement positifs ?

\ln(a)\ln(b)

\ln(a)+\ln(b)

\ln(a)-\ln(b)

\ln(a+b)

Explication

La propriété du logarithme d’un produit transforme le produit en somme, donc $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$ . La différence de logarithmes correspond plutôt au logarithme d’un quotient.

Question 5

5. Quelle propriété permet de développer $\ln(a^r)$ pour $a>0$ et $r\in\mathbb{R}$ ?

\frac{\ln(a)}{r}

\ln(a)+r

\ln(a)\ln(r)

r\ln(a)

Explication

La puissance placée dans l’argument du logarithme devient un facteur : $\ln(a^r)=r\ln(a)$ . Ajouter $r$ ou diviser par lui ne correspond pas à la règle de transformation des puissances.

Question 6

6. Lorsqu’une inéquation exponentielle a une base $a>1$ , que devient le sens de l’inégalité après application de la fonction logarithme ?

Il est conservé.

Il dépend du signe de l’exposant.

Il disparaît après simplification.

Il est inversé.

Explication

Pour une base supérieure à $1$ , la fonction exponentielle est croissante, et la comparaison des exposants conserve donc le sens de l’inégalité. L’inversion caractérise les bases comprises entre $0$ et $1$ .

Question 7

7. Quel effet produit une base vérifiant $0<a<1$ dans une inéquation exponentielle ?

Elle conserve le sens de l’inégalité.

Elle transforme l’inégalité en égalité.

Elle inverse le sens de l’inégalité.

Elle rend l’exponentielle non définie.

Explication

Lorsque la base est comprise entre $0$ et $1$ , la fonction $x\mapsto a^x$ est décroissante, ce qui inverse le sens de l’inégalité. Une base supérieure à $1$ aurait au contraire une croissance et conserverait ce sens.

Question 8

8. Quelle démarche permet de déterminer le plus petit rang vérifiant un seuil dans une suite géométrique ?

Comparer la raison au seuil, puis choisir le rang correspondant à la valeur la plus proche

Écrire l’inégalité avec

u_0q^n

, la résoudre avec les logarithmes, puis vérifier le premier entier admissible

Calculer plusieurs termes jusqu’au seuil sans résoudre l’inégalité, puis retenir le dernier rang obtenu

Remplacer l’exposant

n

par une différence constante, puis arrondir directement le résultat

Explication

La méthode consiste à remplacer $u_n$ par $u_0q^n$ , à résoudre l’inégalité logarithmiquement, puis à contrôler le premier entier qui convient. Un calcul approché doit être vérifié, car l’arrondi obtenu ne garantit pas à lui seul le premier rang admissible.

Question 9

9. Un indice initial vaut 100 et augmente de 1 % chaque année ; quelle suite modélise cet indice après $n$ années ?

u_n=100+n

u_n=100\times0,01^n

u_n=101\times1,01^n

u_n=100\times1,01^n

Explication

Une hausse de 1 % multiplie chaque valeur par le facteur $1,01$ , d’où la suite géométrique $100\times1,01^n$ . Ajouter $1$ à chaque étape modéliserait une hausse d’une unité plutôt qu’une hausse proportionnelle.

Question 10

10. Pour déterminer l’année où une productivité modélisée par $u_n=100\times1,01^n$ double à partir de 2021, quelle condition faut-il résoudre ?

100\times1,01^n\geq200

, puis ajouter le rang trouvé à 2021

100\times1,01^n\geq101

, puis ajouter le rang trouvé à 2021

100+n\geq200

, puis ajouter le rang trouvé à 2021

1,01^n\geq2

, puis soustraire le rang trouvé à 2021

Explication

Le doublement d’un indice initial de 100 signifie atteindre au moins 200, ce qui impose $100\times1,01^n\geq200$ . Le seuil 101 correspondrait à une augmentation d’un point, et non au doublement de l’indice.

Question 11

11. Quel algorithme recherche le premier entier $n$ tel que $u(n)=100+9\times4^n>10^{10}$ ?

Initialiser

n=0

, diminuer

n

de 1 tant que

u(n)\leq10^{10}

, puis afficher

n

Initialiser

n=0

, augmenter

u(n)

de 1 tant que

n\leq10^{10}

, puis afficher

u(n)

Initialiser

n=0

, augmenter

n

de 1 tant que

u(n)\leq10^{10}

, puis afficher

n

Initialiser

n=1

, augmenter

n

de 1 tant que

u(n)>10^{10}

, puis afficher

n

Explication

La boucle doit avancer depuis $n=0$ tant que la condition recherchée n’est pas satisfaite, c’est-à-dire tant que $u(n)\leq10^{10}$ . À sa sortie, le rang affiché est le premier pour lequel la valeur est strictement supérieure au seuil.

Question 12

12. Quelle affirmation définit correctement le logarithme décimal ?

C’est l’opération inverse de l’addition, notée

\log

, et

\log(10+n)=n

C’est le logarithme de base 10, noté

\ln

, et

\ln(10^n)=n

C’est le logarithme de base 10, noté

\log

, et

\log(10^n)=n

C’est le logarithme de base

e

, noté

\log

, et

\log(e^n)=n

Explication

Le logarithme décimal est défini en base 10 et vérifie $\log(10^n)=n$ . Le logarithme de base $e$ est le logarithme népérien, noté $\ln$ .

Question 13

13. Quelle approximation découle de $2^{10}\approx10^3$ lorsque l’exposant est multiplié par 3 ?

2^{30}\approx10^{30}

2^{30}\approx10^6

2^{30}\approx10^9

2^{300}\approx10^9

Explication

Comme $2^{30}=(2^{10})^3$ , l’approximation donne $(10^3)^3=10^9$ . Multiplier l’exposant de 2 par 3 multiplie donc aussi l’exposant décimal par 3, plutôt que de l’additionner.

Question 14

14. Pour quelle condition la formule de dérivation du logarithme népérien $\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}$ est-elle valable ?

Lorsque

x<0

Lorsque

x\geq 0

Pour toute valeur réelle de

x

Lorsque

x>0

Explication

Le logarithme népérien réel est défini pour un argument strictement positif, et sa dérivée vaut alors $\frac{1}{x}$ . L’inclusion de $x=0$ est incorrecte, car $\ln(0)$ n’est pas défini.

Question 15

15. Si $u(x)$ est strictement positive et dérivable, quelle expression donne la dérivée de $\ln(u(x))$ ?

\frac{1}{u'(x)}

\frac{u'(x)}{u(x)}

\frac{1}{u(x)}

\frac{u(x)}{u'(x)}

Explication

La règle de la chaîne donne $\left(\ln(u(x))\right)'=\frac{u'(x)}{u(x)}$ . L’expression $\frac{1}{u(x)}$ correspondrait à oublier le facteur provenant de la dérivée de la fonction intérieure.

Question 16

16. Quel est l’ensemble de définition de la fonction $f(x)=x+\ln(6x-1)$ ?

\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{1}{6}\right\}

\left[\frac{1}{6},+\infty\right)

\left(-\infty,\frac{1}{6}\right)

\left(\frac{1}{6},+\infty\right)

Explication

Il faut imposer $6x-1>0$ pour que le logarithme soit défini, ce qui donne $x>\frac{1}{6}$ . La borne $x=\frac{1}{6}$ est exclue, car elle rend l’argument du logarithme nul.

Question 17

17. Dans quel ordre procède-t-on pour construire l’étude des variations d’une fonction logarithmique ?

Déterminer le domaine, calculer la dérivée, étudier son signe, puis établir le tableau

Établir le tableau, calculer la dérivée, étudier le domaine, puis analyser son signe

Étudier le signe, déterminer le domaine, établir le tableau, puis calculer la dérivée

Calculer la dérivée, établir le tableau, déterminer le domaine, puis étudier son signe

Explication

L’étude commence par le domaine, puis se poursuit avec le calcul de la dérivée et l’étude de son signe avant la construction du tableau de variations. Commencer par le tableau ou par le signe sans connaître le domaine inverse les étapes nécessaires.

QCM : Logarithmes et fonctions exponentielles — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle équation faut-il résoudre pour déterminer les solutions de $e^{u(x)}=e^{v(x)}$ ?

2. Quelle condition doit vérifier le réel $a$ pour que l’équation $e^{u(x)}=a$ puisse avoir une solution réelle ?

3. Pour quelle valeur de $x$ l’expression $\ln(x)$ est-elle définie dans les réels ?

4. Comment simplifier l’expression $\ln(ab)$ lorsque $a$ et $b$ sont strictement positifs ?

5. Quelle propriété permet de développer $\ln(a^r)$ pour $a>0$ et $r\in\mathbb{R}$ ?

6. Lorsqu’une inéquation exponentielle a une base $a>1$ , que devient le sens de l’inégalité après application de la fonction logarithme ?

7. Quel effet produit une base vérifiant $0<a<1$ dans une inéquation exponentielle ?

8. Quelle démarche permet de déterminer le plus petit rang vérifiant un seuil dans une suite géométrique ?

9. Un indice initial vaut 100 et augmente de 1 % chaque année ; quelle suite modélise cet indice après $n$ années ?

10. Pour déterminer l’année où une productivité modélisée par $u_n=100\times1,01^n$ double à partir de 2021, quelle condition faut-il résoudre ?

11. Quel algorithme recherche le premier entier $n$ tel que $u(n)=100+9\times4^n>10^{10}$ ?

12. Quelle affirmation définit correctement le logarithme décimal ?

13. Quelle approximation découle de $2^{10}\approx10^3$ lorsque l’exposant est multiplié par 3 ?

14. Pour quelle condition la formule de dérivation du logarithme népérien $\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}$ est-elle valable ?

15. Si $u(x)$ est strictement positive et dérivable, quelle expression donne la dérivée de $\ln(u(x))$ ?

16. Quel est l’ensemble de définition de la fonction $f(x)=x+\ln(6x-1)$ ?

17. Dans quel ordre procède-t-on pour construire l’étude des variations d’une fonction logarithmique ?

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QCM : Logarithmes et fonctions exponentielles — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle équation faut-il résoudre pour déterminer les solutions de eu(x)=ev(x)e^{u(x)}=e^{v(x)}eu(x)=ev(x) ?

2. Quelle condition doit vérifier le réel aaa pour que l’équation eu(x)=ae^{u(x)}=aeu(x)=a puisse avoir une solution réelle ?

3. Pour quelle valeur de xxx l’expression ln⁡(x)\ln(x)ln(x) est-elle définie dans les réels ?

4. Comment simplifier l’expression ln⁡(ab)\ln(ab)ln(ab) lorsque aaa et bbb sont strictement positifs ?

5. Quelle propriété permet de développer ln⁡(ar)\ln(a^r)ln(ar) pour a>0a>0a>0 et r∈Rr\in\mathbb{R}r∈R ?

6. Lorsqu’une inéquation exponentielle a une base a>1a>1a>1, que devient le sens de l’inégalité après application de la fonction logarithme ?

7. Quel effet produit une base vérifiant 0<a<10<a<10<a<1 dans une inéquation exponentielle ?

8. Quelle démarche permet de déterminer le plus petit rang vérifiant un seuil dans une suite géométrique ?

9. Un indice initial vaut 100 et augmente de 1 % chaque année ; quelle suite modélise cet indice après nnn années ?

10. Pour déterminer l’année où une productivité modélisée par un=100×1,01nu_n=100\times1,01^nun​=100×1,01n double à partir de 2021, quelle condition faut-il résoudre ?

11. Quel algorithme recherche le premier entier nnn tel que u(n)=100+9×4n>1010u(n)=100+9\times4^n>10^{10}u(n)=100+9×4n>1010 ?

12. Quelle affirmation définit correctement le logarithme décimal ?

13. Quelle approximation découle de 210≈1032^{10}\approx10^3210≈103 lorsque l’exposant est multiplié par 3 ?

14. Pour quelle condition la formule de dérivation du logarithme népérien (ln⁡(x))′=1x\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}(ln(x))′=x1​ est-elle valable ?

15. Si u(x)u(x)u(x) est strictement positive et dérivable, quelle expression donne la dérivée de ln⁡(u(x))\ln(u(x))ln(u(x)) ?

16. Quel est l’ensemble de définition de la fonction f(x)=x+ln⁡(6x−1)f(x)=x+\ln(6x-1)f(x)=x+ln(6x−1) ?

17. Dans quel ordre procède-t-on pour construire l’étude des variations d’une fonction logarithmique ?

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1. Quelle équation faut-il résoudre pour déterminer les solutions de $e^{u(x)}=e^{v(x)}$ ?

2. Quelle condition doit vérifier le réel $a$ pour que l’équation $e^{u(x)}=a$ puisse avoir une solution réelle ?

3. Pour quelle valeur de $x$ l’expression $\ln(x)$ est-elle définie dans les réels ?

4. Comment simplifier l’expression $\ln(ab)$ lorsque $a$ et $b$ sont strictement positifs ?

5. Quelle propriété permet de développer $\ln(a^r)$ pour $a>0$ et $r\in\mathbb{R}$ ?

6. Lorsqu’une inéquation exponentielle a une base $a>1$ , que devient le sens de l’inégalité après application de la fonction logarithme ?

7. Quel effet produit une base vérifiant $0<a<1$ dans une inéquation exponentielle ?

9. Un indice initial vaut 100 et augmente de 1 % chaque année ; quelle suite modélise cet indice après $n$ années ?

10. Pour déterminer l’année où une productivité modélisée par $u_n=100\times1,01^n$ double à partir de 2021, quelle condition faut-il résoudre ?

11. Quel algorithme recherche le premier entier $n$ tel que $u(n)=100+9\times4^n>10^{10}$ ?

13. Quelle approximation découle de $2^{10}\approx10^3$ lorsque l’exposant est multiplié par 3 ?

14. Pour quelle condition la formule de dérivation du logarithme népérien $\left(\ln(x)\right)'=\frac{1}{x}$ est-elle valable ?

15. Si $u(x)$ est strictement positive et dérivable, quelle expression donne la dérivée de $\ln(u(x))$ ?

16. Quel est l’ensemble de définition de la fonction $f(x)=x+\ln(6x-1)$ ?