Qu’est-ce qu’une proposition ?
Un énoncé qui est soit vrai, soit faux.
Quand une implication est-elle fausse ?
Lorsque son hypothèse est vraie et sa conclusion fausse.
Quand une implication est-elle vraie si son hypothèse est fausse ?
Toujours.
À quelle autre forme une implication équivaut-elle ?
À sa contraposée.
À quelle forme une implication n’est-elle pas nécessairement équivalente ?
À sa réciproque.
Comment nier les quantificateurs d’une proposition quantifiée ?
En remplaçant chaque quantificateur universel par un existentiel, et inversement, sans changer leur ordre ni les ensembles associés.
Que faut-il faire à la propriété finale pour nier une proposition quantifiée ?
La nier.
Quelles sont les étapes d’un raisonnement par analyse-synthèse ?
Déterminer les conditions nécessaires, puis vérifier que les candidats obtenus sont des solutions.
Comment prouver une implication par contraposition ?
Montrer que la négation de la conclusion entraîne celle de l’hypothèse.
Quel est le principe d’un raisonnement par l’absurde ?
Supposer la conclusion fausse et en déduire une contradiction.
Quels sont les deux éléments d’une récurrence simple ?
L’initialisation et l’hérédité.
Que fait l’hérédité dans une récurrence simple ?
Elle permet de passer d’un rang au suivant.
Combien de rangs la récurrence double initialise-t-elle ?
Deux rangs.
Quels rangs peut-on utiliser dans une récurrence forte ?
Tous les rangs précédents.
Quand un ensemble A est-il inclus dans un ensemble B ?
Lorsque tout élément de A appartient à B.
À quelle condition deux ensembles sont-ils égaux ?
Chacun est inclus dans l’autre.
Comment démontre-t-on une inclusion entre deux ensembles ?
On prend un élément du premier et on montre qu’il appartient au second.
Comment démontre-t-on une égalité entre deux ensembles ?
On prouve les deux inclusions ou on établit des équivalences successives.
Quelles propriétés caractérisent une partition d’un ensemble ?
Ses parties sont deux à deux disjointes, non vides, et leur réunion est l’ensemble entier.
Qu’associe une application de E dans F à chaque élément de E ?
Un unique élément de F.
Quels éléments forment l’image réciproque d’une partie de l’ensemble d’arrivée ?
Les éléments du domaine dont l’image appartient à cette partie.
Que rassemble l’image directe d’une partie du domaine ?
Les images de ses éléments dans l’ensemble d’arrivée.
Quand une application est-elle injective ?
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent.
Quand une application est-elle surjective ?
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent.
Quand une application est-elle bijective ?
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée a exactement un antécédent.
Quelle propriété caractérise une application bijective et sa réciproque ?
Elle admet une réciproque dont les compositions dans les deux ordres donnent les identités concernées.
Quelles propriétés définissent une relation d’équivalence ?
Elle est réflexive, symétrique et transitive.
Que forment les classes d’équivalence d’une relation d’équivalence ?
Une partition de l’ensemble.
Quand deux éléments sont-ils équivalents dans une relation d’équivalence ?
Lorsqu’ils appartiennent à la même classe.
Quelles propriétés définissent une relation d’ordre ?
Elle est réflexive, antisymétrique et transitive.
Quand un ordre est-il total ?
Lorsque deux éléments quelconques sont toujours comparables.
Que signifie le quantificateur existentiel unique ?
Il existe exactement un élément satisfaisant la propriété.
Que doit couvrir une preuve par disjonction des cas ?
Toutes les possibilités, traitées séparément.
Qu’est-ce que l’ensemble des parties d’un ensemble E ?
L’ensemble dont les éléments sont toutes les parties de E.
Quels couples appartiennent au produit cartésien de deux ensembles ?
Les couples dont le premier élément appartient au premier ensemble et le second au deuxième.
Quelles valeurs prend la fonction indicatrice d’une partie ?
Elle vaut 1 sur cette partie et 0 en dehors.
Dans quel ordre s’appliquent les fonctions d’une composée de deux applications ?
D’abord la première, puis la seconde au résultat obtenu.
Quelle propriété vérifie la composition des applications concernant le regroupement ?
La composition des applications est associative.
Quelle propriété la composition des applications ne vérifie-t-elle pas en général ?
La commutativité.
Quelle est la propriété de la composée de deux applications injectives ?
Elle est injective.
Quelle est la propriété de la composée de deux applications surjectives ?
Elle est surjective.
Quelle est la propriété de la composée de deux applications bijectives ?
Elle est bijective.
Comment déterminer la réciproque d’une application bijective ?
Résoudre l’équation qui fixe son image et vérifier qu’elle a exactement une solution pour chaque élément de l’ensemble d’arrivée.
Quelles opérations sont compatibles avec la congruence modulo un entier ?
L’addition et la multiplication.
Que contrôle-t-on pour vérifier qu’une relation est une équivalence ou un ordre ?
Les trois propriétés requises, une à une.
Que suffit-il de donner pour montrer qu’une propriété échoue ?
Un contre-exemple explicite.
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1. Laquelle de ces expressions est une proposition au sens logique ?
2. Dans quel cas une implication « si P, alors Q » est-elle fausse ?
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