QCM : Logique Ensembles et Applications (23 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Laquelle de ces expressions est une proposition au sens logique ?

Un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse
Une expression comportant une variable libre dont la valeur n’est pas précisée
Une consigne qui demande d’effectuer une opération sans affirmer de fait
Une question dont la réponse dépend des préférences de la personne interrogée

Un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse

Explication

Une proposition est un énoncé auquel on peut attribuer l’une des deux valeurs de vérité : vrai ou faux. Une question ou une consigne ne s’affirme pas comme vraie ou fausse.

2. Dans quel cas une implication « si P, alors Q » est-elle fausse ?

Lorsque P est fausse et Q est vraie
Lorsque P est vraie et Q est fausse
Lorsque P et Q sont toutes deux vraies
Lorsque P et Q sont toutes deux fausses

Lorsque P est vraie et Q est fausse

Explication

Une implication est fausse lorsque son hypothèse est vraie et sa conclusion fausse ; si l’hypothèse est fausse, l’implication est vraie. La situation où P est fausse et Q vraie ne rend donc pas l’implication fausse.

3. Une implication « si P, alors Q » est vraie, mais sa réciproque « si Q, alors P » est fausse. Quelle relation peut-on néanmoins affirmer entre l’implication et sa contraposée ?

La contraposée équivaut à la réciproque
L’implication entraîne la réciproque dans tous les cas
Elles ont toujours des valeurs de vérité opposées
Elles sont logiquement équivalentes

Elles sont logiquement équivalentes

Explication

Une implication et sa contraposée sont toujours logiquement équivalentes, même lorsque sa réciproque est fausse. La réciproque n’est pas équivalente à l’implication en général.

4. Comment nier l’énoncé « pour tout x dans E, il existe y dans F tel que R(x,y) » ?

Il existe x dans E tel que, pour tout y dans F, R(x,y) est fausse
Pour tout y dans F, il existe x dans E tel que R(x,y) est fausse
Il existe y dans F tel que, pour tout x dans E, R(x,y) est fausse
Pour tout x dans E, il existe y dans F tel que R(x,y) est fausse

Il existe x dans E tel que, pour tout y dans F, R(x,y) est fausse

Explication

La négation échange les quantificateurs en conservant leur ordre et les ensembles associés, puis nie la propriété : on obtient un x pour lequel aucun y ne vérifie R. La deuxième formulation conserve les quantificateurs initiaux et ne nie que la propriété.

5. Pour résoudre une équation par analyse-synthèse, quelle démarche permet de distinguer les deux étapes ?

Vérifier d’abord les candidats, puis déduire les conditions nécessaires à partir de cette vérification
Supposer d’abord la conclusion fausse, puis obtenir une contradiction
Traiter d’abord des cas couvrant les possibilités, puis choisir une hypothèse à nier
Déduire d’abord les conditions nécessaires, puis vérifier que les candidats trouvés sont des solutions

Déduire d’abord les conditions nécessaires, puis vérifier que les candidats trouvés sont des solutions

Explication

L’analyse détermine les conditions nécessaires auxquelles toute solution doit satisfaire, puis la synthèse vérifie que les candidats obtenus sont effectivement solutions. La vérification des candidats ne remplace donc pas l’étape d’analyse.

6. Pour prouver par contraposition que « si P, alors Q », quelle proposition faut-il démontrer ?

Si Q est vraie, alors P est vraie
Si P est vraie, alors Q est vraie
Si P est fausse, alors Q est fausse
Si Q est fausse, alors P est fausse

Si Q est fausse, alors P est fausse

Explication

La contraposition consiste à démontrer que la négation de la conclusion entraîne la négation de l’hypothèse. Prouver que P fausse entraîne Q fausse ne correspond pas à cette méthode.

7. Pour établir une conclusion par l’absurde, quel point de départ adopte-t-on ?

On suppose l’hypothèse fausse et on vérifie la conclusion
On établit des conditions nécessaires puis on vérifie des candidats
On prouve la conclusion séparément dans plusieurs cas possibles
On suppose la conclusion fausse et on en déduit une contradiction

On suppose la conclusion fausse et on en déduit une contradiction

Explication

Le raisonnement par l’absurde suppose que la conclusion est fausse, puis montre que cette supposition mène à une contradiction. Supposer l’hypothèse fausse relève d’une autre démarche et ne caractérise pas cette preuve.

8. Quelle distinction sépare la récurrence double de la récurrence forte ?

La récurrence double utilise tous les rangs précédents, tandis que la récurrence forte initialise deux rangs
La récurrence double initialise deux rangs, tandis que la récurrence forte peut utiliser tous les rangs précédents
La récurrence double vérifie un seul rang initial, tandis que la récurrence forte interdit d’utiliser les rangs antérieurs
La récurrence double établit une contradiction, tandis que la récurrence forte passe d’un rang au suivant

La récurrence double initialise deux rangs, tandis que la récurrence forte peut utiliser tous les rangs précédents

Explication

La récurrence double commence par établir deux cas initiaux, alors que la récurrence forte autorise l’usage de tous les rangs antérieurs dans l’étape d’hérédité. L’idée d’utiliser tous les rangs précédents caractérise donc la récurrence forte, et non la récurrence double.

9. Que signifie l’inclusion A⊆BA \subseteq B ?

Tout élément de B appartient aussi à A
A et B ont exactement les mêmes éléments
Tout élément de A appartient aussi à B
A et B n’ont aucun élément en commun

Tout élément de A appartient aussi à B

Explication

A est inclus dans B lorsque chacun de ses éléments appartient également à B. L’affirmation réciproque décrit l’inclusion de B dans A, pas celle de A dans B.

10. Quelle condition caractérise l’égalité de deux ensembles A et B ?

A et B ont au moins un élément commun
A est inclus dans B et B contient un élément absent de A
A est inclus dans B et B est inclus dans A
A et B ont le même nombre d’éléments

A est inclus dans B et B est inclus dans A

Explication

Deux ensembles sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l’autre, ce qui signifie qu’ils ont les mêmes éléments. Avoir un élément commun, ou le même nombre d’éléments, ne suffit pas à établir leur égalité.

11. Pour démontrer que deux ensembles A et B sont égaux à partir de la définition de l’inclusion, quelle stratégie convient ?

Montrer qu'A est inclus dans B, puis que B est inclus dans A
Vérifier qu'A est inclus dans B et que B possède au moins un élément
Prendre un élément de A et montrer qu’il appartient à A
Montrer qu'A et B ont un élément commun, puis conclure à leur égalité

Montrer qu'A est inclus dans B, puis que B est inclus dans A

Explication

L’égalité des ensembles se démontre en établissant les deux inclusions, de A dans B et de B dans A. Une seule inclusion ne suffit pas, même si elle est accompagnée du fait que B n’est pas vide.

12. Une famille de parties est disjointe deux à deux et sa réunion est l’ensemble E, mais l’une de ses parties est vide. Quelle conclusion s’impose ?

Cette famille est une partition si la partie vide est incluse dans chacune des autres
Cette famille n’est pas une partition, car chaque partie d’une partition doit être non vide
Cette famille est une partition, car sa réunion est E et ses parties sont disjointes
Cette famille n’est pas une partition, car ses parties doivent avoir un élément commun

Cette famille n’est pas une partition, car chaque partie d’une partition doit être non vide

Explication

Une partition est formée de parties deux à deux disjointes et non vides dont la réunion est l’ensemble entier. La disjonction et la réunion correcte ne compensent pas la présence d’une partie vide.

13. Quelle condition caractérise une application d’un ensemble EE dans un ensemble FF ?

Chaque élément de EE est associé à au moins un élément de FF, éventuellement plusieurs.
Chaque élément de FF est associé à un unique élément de EE.
Chaque élément de FF doit être l’image d’un élément de EE.
Chaque élément de EE est associé à un unique élément de FF.

Chaque élément de $$E$$ est associé à un unique élément de $$F$$.

Explication

Une application attribue à chaque élément du domaine EE une et une seule image dans FF. L’option qui exige que chaque élément de FF soit atteint décrit une condition de surjectivité, pas la définition générale d’une application.

14. Pour une application f:E→Ff:E\to F et une partie B⊆FB\subseteq F, que désigne l’image réciproque de BB ?

Les éléments de FF qui sont images d’au moins un élément de BB.
Les éléments de EE dont l’image par ff appartient à BB.
Les images par ff des éléments de BB considérés comme éléments de EE.
Les éléments de EE dont l’image par ff est égale à chaque élément de BB.

Les éléments de $$E$$ dont l’image par $$f$$ appartient à $$B$$.

Explication

L’image réciproque de BB rassemble les éléments du domaine dont l’image se trouve dans cette partie de l’ensemble d’arrivée. L’image des éléments de BB évoque plutôt une image directe, qui n’est pas la notion définie ici.

15. Soit A⊆EA\subseteq E et B⊆FB\subseteq F pour une application f:E→Ff:E\to F : quelle distinction entre image directe et image réciproque est correcte ?

L’image directe et l’image réciproque rassemblent toutes deux les images des éléments de leur partie de départ.
L’image directe et l’image réciproque rassemblent toutes deux les antécédents des éléments de leur partie d’arrivée.
L’image directe rassemble les images des éléments de AA, tandis que l’image réciproque de BB rassemble leurs antécédents dans EE.
L’image directe rassemble les antécédents de AA, tandis que l’image réciproque de BB rassemble les images de ses éléments.

L’image directe rassemble les images des éléments de $$A$$, tandis que l’image réciproque de $$B$$ rassemble leurs antécédents dans $$E$$.

Explication

L’image directe part d’une partie du domaine et en prend les images, tandis que l’image réciproque part d’une partie de l’ensemble d’arrivée et en prend les antécédents. L’option qui attribue les antécédents à l’image directe inverse les deux notions.

16. Une application est injective lorsque quelle propriété est vérifiée ?

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent.
Chaque élément du domaine possède au moins deux images distinctes.
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent.
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent.

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent.

Explication

L’injectivité interdit à deux éléments distincts du domaine d’avoir la même image, ce qui signifie que tout élément d’arrivée a au plus un antécédent. La condition « au moins un antécédent » caractérise la surjectivité.

17. Que garantit la surjectivité d’une application de EE dans FF ?

Chaque élément de FF est l’image d’au plus un élément de EE.
Chaque élément de FF est l’image d’au moins un élément de EE.
Chaque élément de EE possède une image distincte de celle des autres éléments.
Chaque élément de EE et de FF se correspondent un à un.

Chaque élément de $$F$$ est l’image d’au moins un élément de $$E$$.

Explication

Une application surjective atteint tous les éléments de son ensemble d’arrivée, chacun ayant au moins un antécédent. L’exigence d’au plus un antécédent relève de l’injectivité.

18. Quelle propriété permet de reconnaître une bijection ?

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au plus un antécédent, sans exigence d’être atteint.
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent.
Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent, avec possibilité d’en avoir plusieurs.
Chaque élément du domaine possède une image, même si certains éléments d’arrivée ne sont pas atteints.

Chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède exactement un antécédent.

Explication

Une bijection est à la fois injective et surjective : chaque élément de l’ensemble d’arrivée est donc atteint par exactement un élément du domaine. La condition « au plus un antécédent » ne garantit pas que tous les éléments d’arrivée sont atteints.

19. Dans quelle situation une application admet-elle une application réciproque dont les compositions dans les deux ordres donnent les identités ?

Lorsqu’elle est bijective entre les ensembles concernés.
Lorsqu’elle est surjective, même si plusieurs éléments du domaine ont la même image.
Lorsqu’elle est injective, même si certains éléments d’arrivée ne sont pas atteints.
Lorsqu’elle possède une image réciproque pour chaque partie de l’ensemble d’arrivée.

Lorsqu’elle est bijective entre les ensembles concernés.

Explication

Une application est bijective si et seulement si elle admet une réciproque qui annule l’application dans les deux ordres. L’image réciproque des parties existe pour toute application et ne garantit donc pas l’existence d’une application réciproque.

20. Quelles propriétés une relation doit-elle satisfaire pour être une relation d’équivalence ?

La symétrie, l’antisymétrie et la transitivité.
La réflexivité, la symétrie et la transitivité.
La réflexivité, la comparabilité et la transitivité.
La réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité.

La réflexivité, la symétrie et la transitivité.

Explication

Une relation d’équivalence est réflexive, symétrique et transitive. L’antisymétrie intervient dans la définition d’une relation d’ordre, et non dans celle d’une équivalence.

21. Comment caractériser les classes d’équivalence d’une relation d’équivalence sur un ensemble ?

Elles forment une partition, et deux éléments sont équivalents exactement lorsqu’ils appartiennent à la même classe.
Elles regroupent les éléments comparables, et chaque classe est ordonnée par la relation.
Elles peuvent se chevaucher, et deux éléments sont équivalents lorsqu’ils appartiennent à des classes distinctes.
Elles forment une partition, mais deux éléments d’une même classe peuvent ne pas être équivalents.

Elles forment une partition, et deux éléments sont équivalents exactement lorsqu’ils appartiennent à la même classe.

Explication

Les classes d’équivalence partitionnent l’ensemble, et l’appartenance à une même classe équivaut à la relation entre les deux éléments. L’idée de regroupement selon la comparabilité concerne les relations d’ordre, pas les classes d’équivalence.

22. Quelles propriétés définissent une relation d’ordre ?

La symétrie, l’antisymétrie et la transitivité.
La réflexivité, la comparabilité et la symétrie.
La réflexivité, la symétrie et la transitivité.
La réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité.

La réflexivité, l’antisymétrie et la transitivité.

Explication

Une relation d’ordre est réflexive, antisymétrique et transitive. La symétrie appartient aux propriétés d’une relation d’équivalence et ne remplace pas l’antisymétrie.

23. Sur un ensemble muni d’un ordre, quelle condition distingue un ordre total d’un ordre partiel ?

Dans un ordre total, chaque paire d’éléments est équivalente ; dans un ordre partiel, certaines paires sont distinctes.
Dans un ordre total, chaque élément possède un successeur ; dans un ordre partiel, certains éléments n’en possèdent pas.
Dans un ordre total, chaque paire d’éléments est comparable ; dans un ordre partiel, certaines paires peuvent ne pas l’être.
Dans un ordre total, les éléments sont antisymétriques ; dans un ordre partiel, la relation est symétrique.

Dans un ordre total, chaque paire d’éléments est comparable ; dans un ordre partiel, certaines paires peuvent ne pas l’être.

Explication

Un ordre total rend comparables deux éléments quelconques, tandis qu’un ordre partiel peut laisser certaines paires incomparables. La symétrie proposée dans un distracteur ne caractérise pas la distinction entre ces deux types d’ordre.

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Qu’est-ce qu’une proposition ?

Un énoncé qui est soit vrai, soit faux.

Quand une implication est-elle fausse ?

Lorsque son hypothèse est vraie et sa conclusion fausse.

Quand une implication est-elle vraie si son hypothèse est fausse ?

Toujours.

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