QCM : Domaines et calculs avec ln et exp (17 questions)

Question 1

1. Pour quelles valeurs de $A(x)$ la racine $\sqrt{A(x)}$ est-elle définie au numérateur, puis au dénominateur d’une fraction ?

Au numérateur,

A(x)>0

; au dénominateur,

A(x)\geq 0

.

Au numérateur,

A(x)\geq 0

; au dénominateur,

A(x)>0

.

Dans les deux cas,

A(x)\geq 0

.

Dans les deux cas,

A(x)>0

.

Explication

Au numérateur, la racine peut valoir zéro, tandis qu’au dénominateur elle doit être non nulle. Exiger une valeur strictement positive au numérateur confond ces deux situations.

Answer

Au numérateur, $$A(x)\geq 0$$ ; au dénominateur, $$A(x)>0$$.

Question 2

2. Quel est le domaine de définition de $f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x-2}$ ?

]-\infty;2[\,\cup\,]2;+\infty[

[-1;2[\,\cup\,]2;+\infty[

]-1;+\infty[

]-1;2[\,\cup\,]2;+\infty[

Explication

Le logarithme exige $x+1>0$ et le dénominateur impose $x\neq2$ , d’où le domaine indiqué. Inclure $-1$ serait incorrect, car l’argument du logarithme y vaut zéro.

Answer

$$]-1;2[\,\cup\,]2;+\infty[$$

Question 3

3. Pour quelles valeurs de $x$ le logarithme népérien $\ln(x)$ est-il défini ?

Pour

x>0

.

Pour

x\neq0

.

Pour tout réel

x

.

Pour

x\geq0

.

Explication

Le logarithme népérien est défini lorsque son argument est strictement positif. La condition $x\geq0$ admet à tort zéro, où le logarithme n’est pas défini.

Answer

Pour $$x>0$$.

Question 4

4. Quelle égalité permet de calculer directement $\ln(e^x)$ pour tout réel $x$ ?

\ln(e^x)=e^x

\ln(e^x)=\ln(x)

\ln(e^x)=x

\ln(e^x)=1

Explication

Le logarithme népérien et l’exponentielle se compensent, ce qui donne $\ln(e^x)=x$ . L’égalité $\ln(e^x)=1$ ne vaut que dans un cas particulier, et non pour tout réel $x$ .

Answer

$$\ln(e^x)=x$$

Question 5

5. Pour $a>0$ et $b>0$ , quelle identité s’applique au logarithme d’un produit ?

\ln(ab)=\ln(a+b)

\ln(ab)=\ln(a)-\ln(b)

\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)

\ln(ab)=\ln(a)\ln(b)

Explication

Le logarithme d’un produit positif est la somme des logarithmes des facteurs. La règle de soustraction concerne un quotient, pas un produit.

Answer

$$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$$

Question 6

6. Pour $a>0$ et $b>0$ , comment développer $\ln\left(\frac{a}{b}\right)$ ?

\ln(b)-\ln(a)

\frac{\ln(a)}{\ln(b)}

\ln(a)+\ln(b)

\ln(a)-\ln(b)

Explication

Le logarithme d’un quotient est le logarithme du numérateur moins celui du dénominateur. Une somme de logarithmes correspond à la règle du produit.

Answer

$$\ln(a)-\ln(b)$$

Question 7

7. Quelle équation équivaut à $\ln(x)=a$ ?

x=e^{-a}

x=a^e

x=e^a

x=\ln(a)

Explication

Appliquer l’exponentielle aux deux membres donne $x=e^a$ . L’expression $x=\ln(a)$ inverse à tort les rôles de l’inconnue et du paramètre.

Answer

$$u(x)=1$$, avec $$u(x)>0$$

Answer

$$\ln(a)<\ln(b)$$

Answer

Poser $$X=\ln x$$, résoudre l’équation en $$X$$, puis résoudre $$\ln x=X$$ pour retrouver $$x$$.

Answer

$$\{e,e^4\}$$

Answer

$$\ln(2^n)=n\ln 2$$ et $$\ln(3^n)=n\ln 3$$

Answer

$$4\ln 2+2\ln 3$$

Answer

$$e^{-x}=\frac{1}{e^x}$$

Answer

$$e^{12}$$

Answer

$$x=\ln(a)$$

Question 8

8. Sous sa condition de définition, quelle équation équivaut à $\ln(u(x))=0$ ?

u(x)=0

, avec

u(x)\geq0

u(x)=e^0+1

, avec

u(x)>0

u(x)=e

, avec

u(x)>0

u(x)=1

, avec

u(x)>0

Explication

Comme $\ln(1)=0$ , l’équation impose $u(x)=1$ , et son argument doit être positif. La valeur $e$ correspondrait à un logarithme égal à 1, et non à 0.

Question 9

9. Si $0<a<b$ , quelle comparaison découle du caractère strictement croissant de $\ln$ ?

\ln(a)>\ln(b)

\ln(a)=\ln(b)

La comparaison dépend des valeurs de

a

et

b

.

\ln(a)<\ln(b)

Explication

La fonction logarithme népérien conserve l’ordre strict des arguments positifs. L’inégalité inversée conviendrait à une fonction strictement décroissante, et non à $\ln$ .

Question 10

10. Quelle méthode permet de résoudre une équation du second degré portant sur $\ln x$ ?

Poser

X=e^x

, résoudre l’équation en

X

, puis résoudre

e^x=X

pour retrouver

x

.

Poser

X=\ln x

, résoudre l’équation en

X

, puis résoudre

\ln x=X

pour retrouver

x

.

Prendre le logarithme de chaque terme, puis résoudre directement l’équation obtenue en

x

.

Remplacer

\ln x

par

x

, résoudre l’équation en

x

, puis prendre son logarithme.

Explication

Le changement de variable $X=\ln x$ transforme l’équation en une équation du second degré en $X$ , après quoi on revient à $x$ en résolvant $\ln x=X$ . Poser $X=e^x$ ne remplace pas le logarithme qui figure dans l’équation.

Question 11

11. Quelles sont les solutions de $(\ln x)^2-5\ln x+4=0$ ?

\{1,4\}

\{e^{-1},e^{-4}\}

\{e^2,e^3\}

\{e,e^4\}

Explication

En posant $X=\ln x$ , on obtient $X^2-5X+4=(X-1)(X-4)=0$ , donc $X=1$ ou $X=4$ et ainsi $x=e$ ou $x=e^4$ . Les valeurs $1$ et $4$ sont les solutions pour $X$ , pas celles pour $x$ .

Question 12

12. Comment exprimer $\ln(2^n)$ et $\ln(3^n)$ pour un entier $n$ ?

\ln(2^n)=\ln 2+n

et

\ln(3^n)=\ln 3+n

\ln(2^n)=2\ln n

et

\ln(3^n)=3\ln n

\ln(2^n)=\frac{\ln 2}{n}

et

\ln(3^n)=\frac{\ln 3}{n}

\ln(2^n)=n\ln 2

et

\ln(3^n)=n\ln 3

Explication

La propriété du logarithme d’une puissance donne $\ln(a^n)=n\ln a$ , d’où les deux égalités demandées. Ajouter $n$ au logarithme de la base ne correspond pas à cette propriété.

Question 13

13. En décomposant $144=2^4\times3^2$ , quelle expression obtient-on pour $\ln 144$ ?

2\ln 2+4\ln 3

6\ln 2+6\ln 3

4\ln 2+2\ln 3

4\ln 2\times2\ln 3

Explication

Le logarithme d’un produit est la somme des logarithmes, et les exposants deviennent des coefficients : $\ln 144=4\ln 2+2\ln 3$ . L’expression $2\ln 2+4\ln 3$ inverse les exposants associés aux facteurs.

Question 14

14. Quelle égalité exprime correctement le lien entre $e^{-x}$ et $e^x$ ?

e^{-x}=-e^x

e^{-x}=\frac{1}{e^{-x}}

e^{-x}=\frac{1}{e^x}

e^{-x}=e^x

Explication

L’exponentielle d’un opposé est l’inverse de l’exponentielle correspondante : $e^{-x}=1/e^x$ . Elle n’est pas l’opposé de $e^x$ , qui serait $-e^x$ .

Question 15

15. En simplifiant le quotient $\frac{e^7}{e^3}$ , quelle expression obtient-on ?

e^{7/3}

e^{-4}

e^{10}

e^4

Explication

Lorsqu’on divise deux exponentielles de même base, on soustrait les exposants : $e^7/e^3=e^{7-3}=e^4$ . Additionner les exposants convient au produit, pas au quotient.

Question 16

16. Comment simplifier $(e^3)^4$ ?

e^{81}

e^{3/4}

e^{12}

e^7

Explication

Une puissance d’exponentielle multiplie les exposants, donc $(e^3)^4=e^{3\times4}=e^{12}$ . L’addition des exposants s’applique à un produit d’exponentielles, et non à une puissance d’une puissance.

Question 17

17. Pour $a>0$ , quelle transformation résout l’équation $e^x=a$ ?

x=\ln(x)

x=e^a

x=\frac{1}{a}

x=\ln(a)

Explication

Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l’exponentielle, donc $e^x=a$ équivaut à $x=\ln(a)$ lorsque $a>0$ . La transformation $x=e^a$ correspond plutôt à la résolution de $\ln(x)=a$ .

QCM : Domaines et calculs avec ln et exp (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour quelles valeurs de $A(x)$ la racine $\sqrt{A(x)}$ est-elle définie au numérateur, puis au dénominateur d’une fraction ?

2. Quel est le domaine de définition de $f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x-2}$ ?

3. Pour quelles valeurs de $x$ le logarithme népérien $\ln(x)$ est-il défini ?

4. Quelle égalité permet de calculer directement $\ln(e^x)$ pour tout réel $x$ ?

5. Pour $a>0$ et $b>0$ , quelle identité s’applique au logarithme d’un produit ?

6. Pour $a>0$ et $b>0$ , comment développer $\ln\left(\frac{a}{b}\right)$ ?

7. Quelle équation équivaut à $\ln(x)=a$ ?

8. Sous sa condition de définition, quelle équation équivaut à $\ln(u(x))=0$ ?

9. Si $0<a<b$ , quelle comparaison découle du caractère strictement croissant de $\ln$ ?

10. Quelle méthode permet de résoudre une équation du second degré portant sur $\ln x$ ?

11. Quelles sont les solutions de $(\ln x)^2-5\ln x+4=0$ ?

12. Comment exprimer $\ln(2^n)$ et $\ln(3^n)$ pour un entier $n$ ?

13. En décomposant $144=2^4\times3^2$ , quelle expression obtient-on pour $\ln 144$ ?

14. Quelle égalité exprime correctement le lien entre $e^{-x}$ et $e^x$ ?

15. En simplifiant le quotient $\frac{e^7}{e^3}$ , quelle expression obtient-on ?

16. Comment simplifier $(e^3)^4$ ?

17. Pour $a>0$ , quelle transformation résout l’équation $e^x=a$ ?

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QCM : Domaines et calculs avec ln et exp (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour quelles valeurs de A(x)A(x)A(x) la racine A(x)\sqrt{A(x)}A(x)​ est-elle définie au numérateur, puis au dénominateur d’une fraction ?

2. Quel est le domaine de définition de f(x)=ln⁡(x+1)x−2f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x-2}f(x)=x−2ln(x+1)​ ?

3. Pour quelles valeurs de xxx le logarithme népérien ln⁡(x)\ln(x)ln(x) est-il défini ?

4. Quelle égalité permet de calculer directement ln⁡(ex)\ln(e^x)ln(ex) pour tout réel xxx ?

5. Pour a>0a>0a>0 et b>0b>0b>0, quelle identité s’applique au logarithme d’un produit ?

6. Pour a>0a>0a>0 et b>0b>0b>0, comment développer ln⁡(ab)\ln\left(\frac{a}{b}\right)ln(ba​) ?

7. Quelle équation équivaut à ln⁡(x)=a\ln(x)=aln(x)=a ?

8. Sous sa condition de définition, quelle équation équivaut à ln⁡(u(x))=0\ln(u(x))=0ln(u(x))=0 ?

9. Si 0<a<b0<a<b0<a<b, quelle comparaison découle du caractère strictement croissant de ln⁡\lnln ?

10. Quelle méthode permet de résoudre une équation du second degré portant sur ln⁡x\ln xlnx ?

11. Quelles sont les solutions de (ln⁡x)2−5ln⁡x+4=0 (\ln x)^2-5\ln x+4=0 (lnx)2−5lnx+4=0 ?

12. Comment exprimer ln⁡(2n)\ln(2^n)ln(2n) et ln⁡(3n)\ln(3^n)ln(3n) pour un entier nnn ?

13. En décomposant 144=24×32144=2^4\times3^2144=24×32, quelle expression obtient-on pour ln⁡144\ln 144ln144 ?

14. Quelle égalité exprime correctement le lien entre e−xe^{-x}e−x et exe^xex ?

15. En simplifiant le quotient e7e3\frac{e^7}{e^3}e3e7​, quelle expression obtient-on ?

16. Comment simplifier (e3)4 (e^3)^4 (e3)4 ?

17. Pour a>0a>0a>0, quelle transformation résout l’équation ex=ae^x=aex=a ?

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1. Pour quelles valeurs de $A(x)$ la racine $\sqrt{A(x)}$ est-elle définie au numérateur, puis au dénominateur d’une fraction ?

2. Quel est le domaine de définition de $f(x)=\frac{\ln(x+1)}{x-2}$ ?

3. Pour quelles valeurs de $x$ le logarithme népérien $\ln(x)$ est-il défini ?

4. Quelle égalité permet de calculer directement $\ln(e^x)$ pour tout réel $x$ ?

5. Pour $a>0$ et $b>0$ , quelle identité s’applique au logarithme d’un produit ?

6. Pour $a>0$ et $b>0$ , comment développer $\ln\left(\frac{a}{b}\right)$ ?

7. Quelle équation équivaut à $\ln(x)=a$ ?

8. Sous sa condition de définition, quelle équation équivaut à $\ln(u(x))=0$ ?

9. Si $0<a<b$ , quelle comparaison découle du caractère strictement croissant de $\ln$ ?

10. Quelle méthode permet de résoudre une équation du second degré portant sur $\ln x$ ?

11. Quelles sont les solutions de $(\ln x)^2-5\ln x+4=0$ ?

12. Comment exprimer $\ln(2^n)$ et $\ln(3^n)$ pour un entier $n$ ?

13. En décomposant $144=2^4\times3^2$ , quelle expression obtient-on pour $\ln 144$ ?

14. Quelle égalité exprime correctement le lien entre $e^{-x}$ et $e^x$ ?

15. En simplifiant le quotient $\frac{e^7}{e^3}$ , quelle expression obtient-on ?

16. Comment simplifier $(e^3)^4$ ?

17. Pour $a>0$ , quelle transformation résout l’équation $e^x=a$ ?