Domaines et calculs avec ln et exp

📋 Plan du Cours

1. Domaines des fonctions composées
2. Règles du logarithme népérien
3. Équations et inéquations logarithmiques
4. Équations quadratiques en logarithme
5. Réduire avec ln 2 et ln 3
6. Exponentielles et équations

📖 1. Domaines des fonctions composées

★ À maîtriser

📌 Une racine carrée √A(x) impose A(x) ≥ 0, tandis que √A(x) au dénominateur impose A(x) > 0.

📌 Un logarithme ln(A(x)) impose A(x) > 0, et un dénominateur x impose x ≠ 0.

Compléments

• Pour f(x) = ln(x + 1)/(x − 2), les conditions x > −1 et x ≠ 2 donnent D_f = ]−1; 2[ ∪ ]2; +∞[.

• Pour f(x) = x√(4 − x²), le facteur x devant la racine n’ajoute aucune contrainte et D_f = [−2; 2].

• Pour f(x) = 1/√(x − 3), la condition x − 3 > 0 donne D_f = ]3; +∞[.

💡 Astuce mémo

Racine : zéro admis ; dénominateur : zéro interdit.

📖 2. Règles du logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Défini uniquement pour x > 0.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les valeurs fondamentales sont $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$, $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln x}=x$ pour x > 0.

📐 Formule - Pour a > 0 et b > 0, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.