Fiche de révision : Domaines et calculs avec ln et exp

📋 Plan du Cours

1. Domaines des fonctions composées
2. Règles du logarithme népérien
3. Équations et inéquations logarithmiques
4. Équations quadratiques en logarithme
5. Réduire avec ln 2 et ln 3
6. Exponentielles et équations

📖 1. Domaines des fonctions composées

★ À maîtriser

📌 Une racine carrée √A(x) impose A(x) ≥ 0, tandis que √A(x) au dénominateur impose A(x) > 0.

📌 Un logarithme ln(A(x)) impose A(x) > 0, et un dénominateur x impose x ≠ 0.

Compléments

• Pour f(x) = ln(x + 1)/(x − 2), les conditions x > −1 et x ≠ 2 donnent D_f = ]−1; 2[ ∪ ]2; +∞[.

• Pour f(x) = x√(4 − x²), le facteur x devant la racine n’ajoute aucune contrainte et D_f = [−2; 2].

• Pour f(x) = 1/√(x − 3), la condition x − 3 > 0 donne D_f = ]3; +∞[.

💡 Astuce mémo

Racine : zéro admis ; dénominateur : zéro interdit.

📖 2. Règles du logarithme népérien

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Défini uniquement pour x > 0.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Les valeurs fondamentales sont $\ln(1)=0$, $\ln(e)=1$, $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln x}=x$ pour x > 0.

📐 Formule - Pour a > 0 et b > 0, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.

📐 Formule - Pour a > 0 et b > 0, $\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$.

📐 Formule - Pour a > 0, $\ln(a^n)=n\ln(a)$ et $\ln(\sqrt a)=\frac12\ln(a)$.

📖 3. Équations et inéquations logarithmiques

★ À maîtriser

📌 L’équation ln(x) = a équivaut à x = e^a.

📌 L’équation ln(u(x)) = 0 équivaut à u(x) = 1, sous la condition de définition u(x) > 0.

• La fonction logarithme népérien est strictement croissante : si 0 < a < b, alors ln(a) < ln(b).

Compléments

📌 Pour A > 0 et B > 0, ln(A) > ln(B) équivaut à A > B, et le sens de l’inégalité est conservé.

• L’inéquation ln(x − 1) ≥ 0 équivaut à ln(x − 1) ≥ ln(1), donc à x ≥ 2, ce qui respecte x − 1 > 0.

📖 4. Équations quadratiques en logarithme

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation quadratique en ln x, on pose X = ln x, on résout l’équation du second degré en X, puis on revient à x en résolvant ln x = X.

Compléments

• L’équation (ln x)² − 5 ln x + 4 = 0 donne X² − 5X + 4 = (X − 1)(X − 4) = 0, puis S = {e, e⁴}.

💡 Astuce mémo

Poser X = ln x, résoudre en X, puis revenir à x.

📖 5. Réduire avec ln 2 et ln 3

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier n, $\ln(2^n)=n\ln 2$ et $\ln(3^n)=n\ln 3$.

Compléments

• Les décompositions utiles sont ln 4 = 2 ln 2, ln 8 = 3 ln 2, ln 9 = 2 ln 3 et ln 27 = 3 ln 3.

• Les factorisations 36 = 2² × 3² et 144 = 2⁴ × 3² donnent ln 36 = 2 ln 2 + 2 ln 3 et ln 144 = 4 ln 2 + 2 ln 3.

• En utilisant ln 8 = 3 ln 2, ln 2 + ln 8 = 4 ln 2.

• La propriété du quotient donne ln(3/4) = ln 3 − 2 ln 2.

📖 6. Exponentielles et équations

★ À maîtriser

• Les valeurs fondamentales de l’exponentielle sont e⁰ = 1, e¹ = e et e⁻ˣ = 1/eˣ.

📐 Formule - Le produit de deux exponentielles de base e vérifie $e^a e^b=e^{a+b}$.

📐 Formule - Le quotient de deux exponentielles de base e vérifie $\frac{e^a}{e^b}=e^{a-b}$.

📐 Formule - Une puissance d’exponentielle vérifie $(e^a)^b=e^{ab}$.

📌 L’équation e^x = a se résout par x = ln(a), à condition que a > 0.

Compléments

📌 Une égalité e^A = e^B équivaut à A = B, car les deux membres ont la même base exponentielle.

💡 Astuce mémo

Même base e : égaliser les exposants ; eˣ = a : prendre ln.