Qu'impose le principe du tiers exclu à une proposition ?
Elle est soit vraie, soit fausse, jamais les deux à la fois.
Pourquoi une expression avec variable non fixée n'est-elle pas une proposition ?
Sa valeur de vérité dépend de la valeur attribuée à la variable.
Quelle valeur prend la valeur de vérité ν(P) si P est fausse ?
0
Quelle valeur prend la valeur de vérité ν(P) si P est vraie ?
1
Quand la négation ¬P est-elle vraie ?
Si et seulement si P est fausse.
Quand la conjonction P ∧ Q est-elle vraie ?
Si et seulement si P et Q sont toutes deux vraies.
Quand la disjonction P ∨ Q est-elle vraie ?
Si et seulement si au moins une des propositions P ou Q est vraie.
Quelle différence existe-t-il entre une tautologie et une contradiction ?
La tautologie est toujours vraie, la contradiction toujours fausse.
Quand l'implication P → Q est-elle fausse ?
Lorsque P est vraie et Q est fausse.
Quelle condition P représente-t-elle dans P → Q ?
Une condition suffisante pour Q.
Quelle condition Q représente-t-elle dans P → Q ?
Une condition nécessaire pour P.
Quand l'équivalence P ↔ Q est-elle vraie ?
Lorsque P et Q ont la même valeur de vérité.
Quelle est la contraposée de l'implication P → Q ?
¬Q → ¬P.
Quelle est la réciproque de l'implication P → Q ?
Q → P.
Quelle formule montre l'équivalence entre une implication et sa contraposée ?
Qu'est-ce qu'un prédicat sur un ensemble E ?
Une expression avec variables de E qui devient proposition en remplaçant ces variables par des éléments de E.
Quelle différence y a-t-il entre variable libre et variable liée ?
La variable libre modifie la valeur de vérité, la variable liée est contrôlée par un quantificateur ou opérateur.
Que signifie le quantificateur universel ∀ ?
Il affirme qu’un prédicat est vrai pour chaque élément du domaine.
Que signifie le quantificateur existentiel ∃ ?
Il affirme qu’un prédicat est vrai pour au moins un élément du domaine.
Quelle est la négation de ∀x P(x) en termes de quantificateurs ?
Elle est équivalente à ∃x ¬P(x).
Quelle est la négation de ∃x P(x) en termes de quantificateurs ?
Elle est équivalente à ∀x ¬P(x).
Que se passe-t-il en permutant deux quantificateurs de même nature ?
La proposition ne change pas.
Quelles étapes faut-il pour rédiger une démonstration complète ?
Identifier hypothèses, formuler conclusion, choisir schéma, justifier chaque étape.
Quelle règle logique lie P, P → Q et Q ?
Si P et P → Q sont vraies, alors Q est vraie.
Quelle méthode permet de démontrer P → Q via sa contraposée ?
Démontrer ¬Q → ¬P, équivalente à P → Q.
Quelle méthode utilise une hypothèse fausse pour démontrer une proposition ?
Supposer la proposition fausse et déduire une fausse connue.
Quelles sont les deux étapes pour démontrer ∀n ∈ N P(n) par récurrence ?
Prouver P(0) et que P(n) implique P(n+1).
Quelles étapes faut-il établir pour démontrer par récurrence ?
L'initialisation et l'hérédité .
Quelle est l'initialisation pour prouver que est divisible par 3 ?
est divisible par 3.
Comment s'exprime l'hérédité dans l'exemple de divisibilité par 3 ?
montre la divisibilité.
Qu'est-ce qu'un ensemble selon G. Cantor ?
Une collection d’objets déterminée par ses éléments.
Comment définit-on un ensemble en extension ?
Par la liste complète de ses éléments.
Comment définit-on un ensemble en compréhension ?
Par la propriété caractéristique de ses éléments.
Quelle condition caractérise l'égalité de deux ensembles E et F ?
.
Quelle est la condition pour que ?
Tout élément de E appartient à F.
Quelle méthode permet de démontrer l'égalité de deux ensembles ?
La double inclusion et .
Que contient l'ensemble des parties ?
Tous les sous-ensembles de E.
Comment se définit le complémentaire d'un ensemble A dans E ?
C'est l'ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A.
Quelle est la définition de l'intersection de deux ensembles A et B ?
L'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
Comment s'exprime la réunion de deux ensembles A et B ?
L'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B.
Quelle est la formule de la première loi de De Morgan pour deux ensembles A et B ?
Le complémentaire de l'intersection est l'union des complémentaires : .
Quelle est la formule de la seconde loi de De Morgan pour deux ensembles A et B ?
Le complémentaire de la réunion est l'intersection des complémentaires : .
Qu'indique une table d'appartenance pour un élément et un ensemble ?
Elle indique 1 si l'élément appartient, 0 sinon.
Quand deux expressions ensemblistes sont-elles égales selon leurs colonnes d'appartenance ?
Quand leurs colonnes sont identiques pour toutes les possibilités d'appartenance.
Qu'est-ce qu'une condition nécessaire à une égalité X=Y ?
Une conséquence de cette égalité.
Qu'est-ce qu'une condition suffisante pour une égalité X=Y ?
Une condition qui implique cette égalité.
Comment s'écrit une implication avec une disjonction ?
Qu'est-ce que l'ensemble de vérité d’un prédicat P sur E ?
L’ensemble des éléments a de E pour lesquels P(a) est vraie.
Quelle est la fonction de l'initialisation en preuve par récurrence ?
Établir la propriété au premier rang.
Quel rôle joue l'hérédité dans une preuve par récurrence ?
Montrer que la validité à un rang entraîne celle au suivant.
Qu'est-ce que la récurrence forte prouve après ?
.
Sur quoi repose le principe de récurrence ?
Chaque nombre naturel s'obtient en partant de 0 et en passant au successeur.
Comment démontrer une propriété sur les entiers positifs ?
Initialiser en 1 puis prouver .
Quelle différence dans la récurrence pour les entiers positifs impairs ?
On initialise en 1 et prouve .
Comment démontrer une propriété sur tous les entiers relatifs ?
Initialiser en 0 puis prouver et simultanément.
Qu'est-ce que l'ensemble vide ?
L'unique ensemble sans aucun élément.
Quand dit-on que deux ensembles A et B sont disjoints ?
Quand leur intersection est l'ensemble vide.
Comment se définit la différence symétrique de deux ensembles A et B ?
C'est l'union des éléments dans A mais pas B et dans B mais pas A.
Comment démontre-t-on la loi par table d'appartenance ?
En vérifiant que les colonnes des deux expressions sont identiques pour tous les cas.
Quelle inclusion est toujours vraie entre et ?
L'inclusion est toujours vraie.
À quelle condition l'égalité est-elle équivalente pour et ?
Elle est équivalente à .
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1. Quelle propriété caractérise une proposition en logique ?
2. Pourquoi l’expression « » n’est-elle pas une proposition tant que n’est pas fixé ?
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