QCM : Logique et raisonnement mathématique — 29 questions

Explication

Une proposition est une affirmation à laquelle on peut attribuer une valeur de vérité unique : vraie ou fausse. Une expression comportant une variable libre n’a pas encore de valeur de vérité déterminée.

Explication

La vérité de cette expression varie selon la valeur donnée à $x$ : elle devient vraie pour une valeur particulière et fausse pour d’autres. Une proposition, au contraire, possède une valeur de vérité déterminée.

Explication

Par convention, la valeur de vérité $ν(P)$ vaut $1$ lorsque $P$ est vraie et $0$ lorsqu’elle est fausse. La valeur $0$ représente donc le faux, et non le vrai.

Explication

Une conjonction exige que chacune de ses deux composantes soit vraie pour être vraie. Le fait qu’une seule proposition soit vraie suffit pour une disjonction, mais pas pour une conjonction.

Explication

Une implication est fausse dans le seul cas où sa condition est vraie alors que sa conclusion est fausse. Une conclusion vraie rend l’implication vraie, quelle que soit la valeur de $P$.

Explication

Si $P$ est vraie, l’implication impose que $Q$ soit vraie : $P$ suffit donc pour obtenir $Q$. En revanche, $Q$ est nécessaire à $P$, car $P$ ne peut être vraie avec $Q$ fausse.

Explication

La contraposée inverse les propositions et les nie, ce qui donne $\neg Q \to \neg P$. La réciproque inverse les deux propositions sans les nier et donne $Q \to P$.

Explication

Une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité, d’où l’équivalence $P \to Q \equiv \neg Q \to \neg P$. La réciproque $Q \to P$ n’est pas équivalente en général.

Explication

Un prédicat contient des variables appartenant au domaine considéré et devient une proposition après substitution par des éléments de ce domaine. Il n’est donc pas encore une proposition tant que ses variables ne sont pas fixées.

Explication

Une variable libre peut encore modifier la valeur de vérité de l’expression et doit recevoir une valeur. Une variable liée est placée sous le contrôle d’un quantificateur ou d’un autre opérateur.

Explication

Le quantificateur universel affirme que la propriété vaut pour tous les éléments du domaine. L’existence d’un seul élément satisfaisant la propriété correspond au quantificateur existentiel $\exists$.

Explication

Des quantificateurs de même nature peuvent être permutés sans modifier la proposition, mais l’ordre de $\exists$ et $\forall$ est généralement significatif. Leur permutation conduit donc en général à une relation d’implication plutôt qu’à une équivalence.

Explication

Une démonstration rigoureuse exige d’identifier les hypothèses, de préciser la conclusion, de choisir une stratégie et de justifier chaque étape en vérifiant les hypothèses utilisées. Un exemple particulier peut illustrer une proposition, mais il ne suffit pas à établir sa validité générale.

Explication

Le raisonnement modus ponens affirme que la vérité de $P$ et de $P\Rightarrow Q$ entraîne celle de $Q$. La fausseté de $Q$ contredirait alors l’implication et la vérité de $P$.

Explication

La contraposée $\neg Q\Rightarrow\neg P$ est tautologiquement équivalente à $P\Rightarrow Q$. En revanche, la réciproque $Q\Rightarrow P$ peut être fausse même lorsque l’implication initiale est vraie.

Explication

Le raisonnement par contradiction suppose la négation de la proposition, puis conduit à une contradiction avec une proposition reconnue comme fausse ou avec une vérité établie. Un exemple particulier ne permet pas, à lui seul, de conclure pour tous les cas.

Explication

Une récurrence standard comporte l’initialisation $P(0)$ et l’hérédité, c’est-à-dire l’implication de $P(n)$ vers $P(n+1)$. Vérifier quelques valeurs ou avancer de deux rangs ne garantit pas la propriété à chaque rang naturel.

Explication

L’égalité correcte isole l’expression au rang $n$ et ajoute un multiple de 3, ce qui permet de conserver la divisibilité par 3. Les autres égalités ne correspondent pas au développement de la puissance au rang $n+1$.

Explication

Un ensemble est déterminé par ses éléments, tandis que l’approche axiomatique précise les propriétés fondamentales qui permettent de le définir. L’ordre d’écriture et la limitation du nombre d’éléments ne constituent pas sa caractérisation générale.

Explication

Définir en extension consiste à donner la liste complète des éléments, alors que définir en compréhension consiste à donner la propriété qu’ils vérifient. L’ordre de présentation ne constitue pas la distinction entre ces deux méthodes.

Explication

Deux ensembles sont égaux lorsque chaque objet appartient à $E$ si et seulement s’il appartient à $F$. Cette égalité dépend des éléments présents, non de leur ordre d’écriture.

Explication

La double inclusion établit que tout élément de $E$ appartient à $F$ et que tout élément de $F$ appartient à $E$, ce qui donne $E=F$. La présence d’un élément commun ne suffit pas à établir l’égalité des deux ensembles.

Explication

Le complémentaire regroupe les éléments de l’ensemble de référence $E$ qui n’appartiennent pas à $A$, soit $\{2,4\}$. L’ensemble $\{1,3\}$ correspond à $A$ lui-même, et non à son complémentaire.

Explication

L’intersection contient les éléments appartenant simultanément aux deux ensembles. La condition « appartenir à $A$ ou à $B$ » décrit la réunion, pas l’intersection.

Explication

Le complémentaire d’une réunion est l’intersection des complémentaires, ce qui donne $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$. L’union des complémentaires correspond au complémentaire de l’intersection.

Explication

La différence symétrique rassemble les éléments qui appartiennent à un seul des deux ensembles, d’où $(A\setminus B)\cup(B\setminus A)$. L’intersection des deux différences serait vide, car ces deux parties ne contiennent pas les mêmes éléments.

Explication

Une table d’appartenance code par 1 ou 0 l’appartenance d’un élément aux ensembles considérés et permet de comparer des expressions. Elle ne sert pas principalement à calculer les cardinaux ni à choisir l’ensemble de référence.

Explication

L’égalité est établie lorsque les colonnes d’appartenance des deux expressions coïncident pour toutes les possibilités. Une coïncidence sur quelques lignes ne permet pas de conclure à une égalité générale.

Explication

L’inclusion $Y\subseteq X$ vaut sans condition supplémentaire, tandis que l’égalité entre les deux expressions est obtenue exactement lorsque $A\subseteq C$. La simple inclusion entre les ensembles ne peut donc pas être remplacée par une égalité générale.