Fiche de révision : Logique et raisonnement mathématique

📋 Plan du Cours

1. Propositions et valeurs de vérité
2. Connecteurs logiques fondamentaux
3. Propriétés algébriques des connecteurs
4. Lois de négation et simplification

📖 1. Propositions et valeurs de vérité

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition : Énoncé qui est vrai dans certaines conditions et faux dans d’autres conditions.
• Adversion : Proposition qui est toujours vraie ou toujours fausse.

📝 Points essentiels

• Les valeurs de vérité d’une proposition sont V ou 1 pour le vrai, et F ou 0 pour le faux.

💡 Astuce mémo

Proposition vraie ou fausse selon les conditions ; adversive toujours vraie ou toujours fausse

📖 2. Connecteurs logiques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : La négation d’une proposition P, notée ¬P, est vraie si P est fausse et fausse si P est vraie.
• Conjonction : La conjonction de P et Q, notée P ∧ Q, est vraie si P et Q sont vraies, et fausse dans les autres cas.
• Disjonction : La disjonction de P et Q, notée P ∨ Q, est vraie si P est vraie ou si Q est vraie, et fausse si P et Q sont toutes deux fausses.
• Implication : L’implication P ⇒ Q est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse, et vraie dans les autres cas.
• Équivalence : L’équivalence P ⇔ Q, définie par (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P), est vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité et fausse dans le cas contraire.

💡 Astuce mémo

Négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence

📖 3. Propriétés algébriques des connecteurs

★ À maîtriser

📌 La disjonction et la conjonction sont commutatives : P ∨ Q ⇔ Q ∨ P et P ∧ Q ⇔ Q ∧ P.

📌 La disjonction et la conjonction sont associatives : (P ∨ Q) ∨ R ⇔ P ∨ (Q ∨ R) et (P ∧ Q) ∧ R ⇔ P ∧ (Q ∧ R).

Compléments

📌 La disjonction est distributive par rapport à la conjonction : P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R).

💡 Astuce mémo

CAD : commutativité, associativité, distributivité

📖 4. Lois de négation et simplification

★ À maîtriser

• Les lois de De Morgan sont ¬(P ∨ Q) ⇔ (¬P ∧ ¬Q) et ¬(P ∧ Q) ⇔ (¬P ∨ ¬Q).

• La contraposition vérifie (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P).

• La négation d’une implication vérifie ¬(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ ¬Q).

• Les règles de l’évidence et de contradiction sont P ∨ ¬P ⇔ Vraie et P ∧ ¬P ⇔ Fausse.

Compléments

• La double négation vérifie ¬(¬P) ⇒ P.

• Les lois d’idempotence sont P ∨ P ⇔ P et P ∧ P ⇔ P.

• Les règles avec les constantes logiques sont P ∨ Vraie ⇔ Vraie, P ∨ Fausse ⇔ P, P ∧ Vraie ⇔ P et P ∧ Fausse ⇔ Fausse.

💡 Astuce mémo

Nier une implication conduit à une conjonction : ¬(P ⇒ Q) ⇔ P ∧ ¬Q

📊 Tableaux de synthèse

Valeurs des connecteurs logiques