Fiche de révision : Logique et raisonnement mathématique

📋 Plan du Cours

1. Assertions et prédicats
2. Connecteurs et lois logiques
3. Quantificateurs et négation
4. Statuts des résultats mathématiques
5. Méthodes de démonstration
6. Factorielle et combinaisons
7. Binôme de Newton

📖 1. Assertions et prédicats

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion : Énoncé auquel on peut attribuer une valeur logique vraie ou fausse, mais pas les deux à la fois.
• Prédicat : Énoncé exprimé en fonction d’une ou de plusieurs variables qui devient une assertion pour chaque choix de valeur de ses variables.

💡 Astuce mémo

Une assertion a déjà une valeur de vérité ; un prédicat attend le choix de ses variables.

📖 2. Connecteurs et lois logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Proposition vraie lorsque P est fausse.

📝 Points essentiels

• La conjonction P ∧ q est vraie si et seulement si P et q sont toutes deux vraies.

• La disjonction inclusive P ∨ q est fausse uniquement lorsque P et q sont toutes deux fausses.

• L’implication P ⇒ q est fausse uniquement lorsque P est vraie et q est fausse ; P est une condition suffisante pour q et q une condition nécessaire pour P.

📖 3. Quantificateurs et négation

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel ∃ signifie qu’il existe au moins un élément vérifiant la propriété.
• Quantificateur universel : Le quantificateur universel ∀ signifie que la propriété est vraie pour tout élément de l’ensemble considéré.

📝 Points essentiels

📌 La négation de ∀ x ∈ E, P(x) est ∃ x ∈ E, ¬P(x), et la négation de ∃ x ∈ E, P(x) est ∀ x ∈ E, ¬P(x).

📌 Deux quantificateurs successifs de même nature peuvent être permutés, mais deux quantificateurs de natures différentes ne sont pas nécessairement permutables.

💡 Astuce mémo

Même nature : permutation possible ; nature différente : l’ordre peut changer le sens.

📖 4. Statuts des résultats mathématiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Axiome : Assertion déclarée vraie a priori.
• Théorème : Assertion dont la véracité résulte d’une démonstration.

📖 5. Méthodes de démonstration

📝 Points essentiels

📌 Pour démontrer P ⇒ q par contraposée, on démontre l’assertion équivalente ¬q ⇒ ¬P.

• Le raisonnement par l’absurde suppose ¬P vraie et conduit à une contradiction afin d’établir P.

• Le raisonnement par disjonction de cas sépare l’étude selon une partition de l’ensemble concerné, puis établit le résultat dans chaque cas.

📌 Pour réfuter une assertion universelle ∀ x ∈ E, P(x), il suffit de trouver un contre-exemple x ∈ E pour lequel P(x) est fausse.

• Une démonstration par récurrence établit l’initialisation au rang initial, puis l’hérédité d’un rang au suivant.

📖 6. Factorielle et combinaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Pour un entier n non nul, n! est le produit des entiers de 1 à n, et, par convention, 0! = 1.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le nombre de parties à k éléments d’un ensemble à n éléments est $C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

📖 7. Binôme de Newton

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tous réels x et y et tout n ∈ N, la formule du binôme de Newton est $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} C(n,k)x^k y^{n-k}$.