QCM : Logique et raisonnement mathématique (9 questions)

Question 1

1. Concernant les assertions ou propositions :

Un énoncé dépendant d’une variable non fixée est une assertion complète.

L’énoncé « x + 1 » possède une valeur logique déterminée après avoir fixé x.

Un énoncé déclaratif peut être une assertion même s’il est faux.

Une assertion peut être simultanément vraie et fausse dans une interprétation donnée.

L’énoncé « 5 > 2 » possède une valeur logique vraie déterminée.

Explication

« 5 > 2 » est une assertion vraie, et un énoncé peut être une assertion même s’il est faux. « x + 1 » n’est pas une assertion, même lorsque x est fixé, car ce n’est pas un énoncé auquel attribuer une valeur logique. Une assertion ne peut pas être à la fois vraie et fausse.

Answer

Un énoncé déclaratif peut être une assertion même s’il est faux. · L’énoncé « 5 > 2 » possède une valeur logique vraie déterminée.

Question 2

2. Pour l’énoncé « n + 2 est pair », on fixe successivement une valeur à n. Quelles propositions sont exactes ?

Avant fixation de n, l’énoncé est déjà une assertion possédant une vérité déterminée.

Un prédicat désigne un énoncé indépendant de toute variable.

Un prédicat peut dépendre de plusieurs variables avant leur fixation.

Fixer une valeur à une variable transforme l’énoncé en une nouvelle variable.

Après fixation de n, l’énoncé devient une assertion évaluable comme vraie ou fausse.

Explication

Une fois la valeur de n fixée, l’énoncé devient une assertion à laquelle on attribue vrai ou faux; un prédicat peut également comporter plusieurs variables. Avant cette fixation, l’énoncé reste dépendant de la variable et n’est pas une assertion complète, et un prédicat n’est pas indépendant de toute variable.

Answer

Un prédicat peut dépendre de plusieurs variables avant leur fixation. · Après fixation de n, l’énoncé devient une assertion évaluable comme vraie ou fausse.

Question 3

3. Que signifie la disjonction inclusive $P \lor q$ ?

Elle est fausse lorsque

P

est vraie et

q

est fausse.

Elle est vraie lorsque

P

est fausse et

q

est vraie.

Elle est fausse lorsque

P

et

q

sont toutes deux fausses.

Elle est vraie lorsque

P

et

q

sont toutes deux vraies.

Explication

La disjonction inclusive est fausse dans le seul cas où ses deux propositions sont fausses. Le cas où $P$ est vraie et $q$ fausse rend plutôt fausse l’implication $P \Rightarrow q$ , et non la disjonction.

Answer

Elle est fausse lorsque $$P$$ et $$q$$ sont toutes deux fausses.

Question 4

4. Quelle forme prend la négation de « pour tout $x \in E$ , $P(x)$ » ?

Pour tout

x \in E

,

P(x)

est fausse.

Pour tout

x \in E

,

P(x)

est vraie.

Il existe

x \in E

tel que

P(x)

est fausse.

Il existe

x \in E

tel que

P(x)

est vraie.

Explication

La négation d’une propriété universelle affirme qu’au moins un élément de l’ensemble ne vérifie pas cette propriété. Dire que la propriété est fausse pour tout élément constitue une affirmation plus forte, et non la négation recherchée.

Answer

Il existe $$x \in E$$ tel que $$P(x)$$ est fausse.

Question 5

5. Quel est le rôle d’un axiome dans un cadre mathématique ?

Déduire une assertion d’un résultat déjà démontré

Établir par démonstration la véracité d’une assertion

Poser comme vraie une assertion admise a priori

Réfuter une assertion en produisant un contre-exemple

Explication

Un axiome sert de point de départ en étant déclaré vrai a priori. Un théorème, au contraire, est une assertion dont la véracité est établie par une démonstration.

Answer

Poser comme vraie une assertion admise a priori

Question 6

6. En quoi le raisonnement par l’absurde diffère-t-il de la démonstration par contraposée ?

L’absurde examine plusieurs cas d’une partition, tandis que la contraposée établit un rang initial puis l’hérédité.

L’absurde réfute une assertion universelle par un contre-exemple, tandis que la contraposée démontre directement l’implication initiale.

L’absurde suppose la négation de la conclusion et en déduit une contradiction, tandis que la contraposée démontre la négation de la conclusion implique celle de l’hypothèse.

L’absurde démontre la négation de la conclusion implique celle de l’hypothèse, tandis que la contraposée suppose la conclusion fausse et cherche une contradiction.

Explication

Le raisonnement par l’absurde part de la négation de ce que l’on veut établir et mène à une contradiction ; la contraposée transforme une implication en l’implication équivalente $\neg q \Rightarrow \neg P$ . L’option qui attribue à l’absurde la démonstration par contraposée inverse les rôles des deux méthodes.

Answer

L’absurde suppose la négation de la conclusion et en déduit une contradiction, tandis que la contraposée démontre la négation de la conclusion implique celle de l’hypothèse.

Question 7

7. Quel effet a le choix de $k$ dans le calcul du nombre de parties à $k$ éléments d’un ensemble de $n$ éléments ?

Il remplace le nombre de sélections par le produit des tailles, calculé par

k!(n-k)!

.

Il fixe le nombre total d’éléments de l’ensemble, calculé par

\frac{n!}{k!}

.

Il détermine le nombre de sélections possibles, calculé par

\frac{n!}{k!(n-k)!}

.

Il détermine l’ordre des éléments dans chaque partie, calculé par

\frac{n!}{(n-k)!}

.

Explication

Le choix de $k$ fixe la taille des parties recherchées, et la formule des combinaisons donne combien de telles parties sont possibles. La formule $\frac{n!}{(n-k)!}$ compte des arrangements où l’ordre intervient, contrairement au dénombrement des parties.

Answer

Il détermine le nombre de sélections possibles, calculé par $$\frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

Question 8

8. Pour développer $(a+b)^4$ à l’aide du binôme de Newton, quel coefficient multiplie le terme $a^2b^2$ ?

12

4

8

6

Explication

Le terme correspondant à $a^2b^2$ est celui où $k=2$ dans la somme, donc son coefficient est $C(4,2)=\frac{4!}{2!2!}=6$ . Le coefficient 4 correspond aux termes où l’exposant de l’un des deux facteurs vaut 1 ou 3, et non 2.

Answer

Il dépend d’une ou plusieurs variables et devient une assertion après leur attribution de valeurs.

Question 9

9. Quelle caractéristique distingue un prédicat d’une assertion ?

Il possède déjà une valeur de vérité sans qu’aucune variable soit à préciser.

Il dépend d’une ou plusieurs variables et devient une assertion après leur attribution de valeurs.

Il exprime une propriété vraie pour tous les éléments d’un ensemble donné.

Il associe nécessairement deux assertions au moyen d’un connecteur logique.

Explication

Un prédicat contient une ou plusieurs variables et devient une assertion lorsque leurs valeurs sont fixées. Une assertion, contrairement à un prédicat, a déjà une valeur de vérité sans choix préalable de variables.

QCM : Logique et raisonnement mathématique (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les assertions ou propositions :

2. Pour l’énoncé « n + 2 est pair », on fixe successivement une valeur à n. Quelles propositions sont exactes ?

3. Que signifie la disjonction inclusive $P \lor q$ ?

4. Quelle forme prend la négation de « pour tout $x \in E$ , $P(x)$ » ?

5. Quel est le rôle d’un axiome dans un cadre mathématique ?

6. En quoi le raisonnement par l’absurde diffère-t-il de la démonstration par contraposée ?

7. Quel effet a le choix de $k$ dans le calcul du nombre de parties à $k$ éléments d’un ensemble de $n$ éléments ?

8. Pour développer $(a+b)^4$ à l’aide du binôme de Newton, quel coefficient multiplie le terme $a^2b^2$ ?

9. Quelle caractéristique distingue un prédicat d’une assertion ?

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QCM : Logique et raisonnement mathématique (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les assertions ou propositions :

2. Pour l’énoncé « n + 2 est pair », on fixe successivement une valeur à n. Quelles propositions sont exactes ?

3. Que signifie la disjonction inclusive P∨qP \lor qP∨q ?

4. Quelle forme prend la négation de « pour tout x∈Ex \in Ex∈E, P(x)P(x)P(x) » ?

5. Quel est le rôle d’un axiome dans un cadre mathématique ?

6. En quoi le raisonnement par l’absurde diffère-t-il de la démonstration par contraposée ?

7. Quel effet a le choix de kkk dans le calcul du nombre de parties à kkk éléments d’un ensemble de nnn éléments ?

8. Pour développer (a+b)4 (a+b)^4 (a+b)4 à l’aide du binôme de Newton, quel coefficient multiplie le terme a2b2a^2b^2a2b2 ?

9. Quelle caractéristique distingue un prédicat d’une assertion ?

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3. Que signifie la disjonction inclusive $P \lor q$ ?

4. Quelle forme prend la négation de « pour tout $x \in E$ , $P(x)$ » ?

7. Quel effet a le choix de $k$ dans le calcul du nombre de parties à $k$ éléments d’un ensemble de $n$ éléments ?

8. Pour développer $(a+b)^4$ à l’aide du binôme de Newton, quel coefficient multiplie le terme $a^2b^2$ ?