Qu'est-ce qu'une partie A d'un ensemble E ?
Un ensemble dont tous les éléments appartiennent à E.
Que contient l'ensemble des parties P(E) d'un ensemble E ?
Toutes les parties de E.
Que désigne ∅ dans un ensemble E ?
La partie vide de E.
Comment définit-on le complémentaire de A dans E ?
.
Quelle est la condition pour démontrer que deux parties A et B sont égales ?
Démontrer les inclusions A⊂B et B⊂A.
Qu'est-ce qu'une partition d'un ensemble E ?
Une famille de parties non vides deux à deux disjointes dont la réunion est E.
Qu'est-ce qu'une proposition en mathématiques ?
Une phrase mathématique vraie ou fausse.
Que signifie l'implication A⇒B ?
Si A est vraie, alors B est vraie.
À quoi est équivalente l'implication A⇒B ?
À (non A) ou B.
Que signifie l'équivalence A⇔B ?
A et B ont les mêmes valeurs de vérité.
Comment s'exprime l'équivalence A⇔B en termes d'implications ?
C'est la conjonction de A⇒B et B⇒A.
Quelle est la loi de De Morgan pour non(A ou B) ?
non(A ou B) est équivalent à (non A) et (non B).
Quelle est la loi de De Morgan pour non(A et B) ?
non(A et B) est équivalent à (non A) ou (non B).
Que signifie le quantificateur ∃ en logique ?
Il signifie « il existe au moins un ».
Que signifie le quantificateur ∀ en logique ?
Il signifie « quel que soit ».
Quelle est la négation de ∃x∈E, A(x) ?
C'est ∀x∈E, non A(x).
Quelle est la négation de ∀x∈E, A(x) ?
C'est ∃x∈E, non A(x).
Les propositions ∃x∈E,∀y∈F,A(x,y) et ∀y∈F,∃x∈E,A(x,y) sont-elles équivalentes ?
Non, elles ne sont pas équivalentes.
Comment démontre-t-on une assertion A par l’absurde ?
On suppose A fausse et on cherche une contradiction.
Quelle méthode directe utilise-t-on pour démontrer A⇒B ?
On suppose A vraie et on démontre que B est vraie.
Quelle implication démontre-t-on par contraposition pour A⇒B ?
On démontre (non B)⇒(non A).
Comment démontre-t-on une équivalence A⇔B ?
On démontre séparément A⇒B et B⇒A.
Quelles étapes comporte une démonstration par récurrence sur N ?
On établit l’initialisation A(0) puis l’hérédité A(n)⇒A(n+1).
Comment s'exprime la somme d'une famille finie $a_k$ de $k=1$ à $n$ ?
.
Comment s'exprime le produit d'une famille finie $a_k$ de $k=1$ à $n$ ?
.
Quelle propriété vérifie la somme de $(a_k+b_k)$ de $k=1$ à $n$ ?
.
Quelle propriété vérifie la somme de $lambda a_k$ de $k=1$ à $n$ ?
.
Quelle est la valeur de $0!$ en factorielle ?
$0! = 1$.
Comment s'exprime $n!$ pour $n>0$ en factorielle ?
.
Qu'est-ce que le cardinal d'un ensemble fini E ?
Le nombre de ses éléments appartenant à N.
Quelle formule relie Card(A∪B), Card(A∩B), Card(A) et Card(B) ?
Card(A∪B)+Card(A∩B)=Card(A)+Card(B).
Comment calcule-t-on Card(E×F) pour deux ensembles finis E et F ?
Card(E×F)=Card(E)×Card(F).
Quelle est la formule pour Card(P(E)) où P(E) est l'ensemble des parties de E ?
.
Qu'est-ce qu'une p-combinaison dans un ensemble E ?
Une partie de E qui possède p éléments.
Quelle est la formule du nombre de p-combinaisons si Card(E)=n ?
pour .
Que vaut si ?
.
Quelle relation vérifient les coefficients binomiaux pour et ?
.
Quelle autre égalité relie les coefficients binomiaux ?
.
Quelle est la formule du binôme de Newton pour et ?
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Comment se définit le produit cartésien E×F ?
L'ensemble des couples (x,y) avec x∈E et y∈F.
Quelle différence y a-t-il entre un couple (a,b) et l'ensemble {a,b} ?
Le couple (a,b) n'est pas l'ensemble {a,b}.
Quelle est la règle de la contraposition pour l'implication A⇒B ?
Elle remplace A⇒B par (non B)⇒(non A).
De quoi dépend un objet affecté d’un quantificateur ∃ dans un énoncé ?
Il dépend de tous les objets affectés de quantificateurs ∀ qui le précèdent.
Que désigne la notation {x∈E ; A(x)} ?
L’ensemble des éléments x de E pour lesquels A(x) est vraie.
Quelle implication caractérise la récurrence forte ?
[A(0) et A(1) et … et A(n)]⇒A(n+1).
Quelle implication caractérise la récurrence à deux pas ?
[A(n) et A(n+1)]⇒A(n+2) avec A(0) et A(1) comme initialisation.
Comment procède-t-on par analyse-synthèse pour déterminer S={x∈E ; A(x)} ?
On cherche une propriété B(x) nécessaire à A(x), puis on sélectionne les solutions vérifiant A(x).
Quelle propriété vérifie le produit de $(a_k b_k)$ de $k=1$ à $n$ ?
.
Quelle propriété vérifie le produit de $(\lambda a_k)$ de $k=1$ à $n$ ?
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Quelle formule donne Card(F(E,F)) pour ensembles finis E et F ?
.
Comment calcule-t-on Card(S(E)) où S(E) est l'ensemble des permutations de E ?
Card(S(E))=(Card(E))!
Quelle condition relie Card(A) et Card(B) si A⊂B et B est fini ?
Card(A)=Card(B) si et seulement si A=B.
Comment obtient-on les coefficients binomiaux avec le triangle de Pascal ?
Chaque terme intérieur est la somme des deux termes situés juste au-dessus.
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1. Laquelle décrit correctement une partie d’un ensemble ?
2. Quelle distinction entre et est correcte ?
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