Logique et théorie des ensembles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et opérations
2. Propositions et connecteurs logiques
3. Quantificateurs et ensembles définis
4. Méthodes de démonstration
5. Sommes, produits et factorielles
6. Cardinalités et dénombrement
7. Combinaisons et binôme

📖 1. Ensembles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie d’un ensemble : Ensemble dont tous les éléments appartiennent à E.
• Ensemble des parties : L’ensemble des parties de E, noté P(E), contient toutes les parties de E, tandis que ∅ désigne la partie vide de E.
• Opérations sur les parties : Pour des parties A et B de E, le complémentaire de A est $E\setminus A=\{x\in E\mid x\notin A\}$, la réunion est $A\cup B=\{x\in E\mid x\in A\ \text{ou}\ x\in B\}$, l’intersection est $A\cap B=\{x\in E\mid x\in A\ \text{et}\ x\in B\}$ et la différence est $A\setminus B=\{x\in E\mid x\in A\ \text{et}\ x\notin B\}$.
• Partition : Une famille (Aᵢ)ᵢ∈I de parties non vides de E est une partition de E si ses parties sont deux à deux disjointes et si leur réunion est E.
• Produit cartésien : Le produit cartésien E×F est l’ensemble de tous les couples (x,y) tels que x∈E et y∈F, et le couple (a,b) n’est pas l’ensemble {a,b}.

📝 Points essentiels