QCM : Logique et théorie des ensembles — 25 questions

Explication

Une partie de $E$ est un ensemble dont chaque élément appartient à $E$. L’inclusion de tous les éléments de $E$ dans $A$ décrirait plutôt une égalité potentielle entre les deux ensembles.

Explication

La notation $\varnothing$ désigne la partie vide, alors que $\mathcal{P}(E)$ regroupe toutes les parties de $E$. Les deux symboles ne désignent donc pas des objets de même nature.

Explication

L’intersection contient les éléments communs à $A$ et à $B$, ce qui correspond à la condition « et ». La condition « ou » décrit la réunion $A\cup B$.

Explication

Une partition est constituée de parties non vides, deux à deux disjointes, dont la réunion reconstitue $E$. Une intersection commune non vide empêcherait les parties d’être disjointes.

Explication

Une proposition est une phrase mathématique dotée d’un sens à laquelle on peut attribuer la valeur vraie ou fausse. Une question ou une expression ouverte ne possède pas nécessairement une valeur de vérité déterminée.

Explication

L’implication signifie que la vérité de $A$ entraîne celle de $B$ : $A$ suffit donc pour obtenir $B$, tandis que $B$ est nécessaire à la réalisation de $A$. Elle n’exige pas que les deux propositions aient toujours la même valeur de vérité.

Explication

Une équivalence est la conjonction des deux implications réciproques, ce qui signifie que $A$ et $B$ ont les mêmes valeurs de vérité. Une seule implication ne suffit pas à établir cette relation.

Explication

La première loi de De Morgan transforme la négation d’une disjonction en conjonction des négations. La disjonction des négations correspondrait à la négation de $A\ \text{et}\ B$.

Explication

Le quantificateur $\exists$ affirme l’existence d’au moins un objet satisfaisant la propriété, alors que $\exists!$ affirme qu’un seul objet la satisfait. Plusieurs objets peuvent donc convenir avec $\exists$.

Explication

Nier l’existence d’un élément satisfaisant $A(x)$ signifie que chaque élément de $E$ ne satisfait pas cette propriété. La négation de $\exists$ fait donc apparaître $\forall$, avec la propriété elle-même niée.

Explication

Dans le premier énoncé, le choix de $x$ est effectué avant celui de $y$ et doit convenir à tous les $y$. Dans le second, un choix de $x$ peut dépendre de chaque $y$, ce qui rend les deux formulations généralement différentes.

Explication

Le raisonnement par l’absurde commence par supposer que $A$ est fausse, puis cherche une contradiction. Le raisonnement direct, contrairement à cette méthode, part de l’hypothèse de $A$ pour établir sa conclusion.

Explication

La démonstration directe de $A\Rightarrow B$ suppose $A$ vraie afin de parvenir à $B$. La contraposition partirait plutôt de la supposition que $B$ est fausse pour montrer que $A$ est fausse.

Explication

Une équivalence est vraie lorsque chacune des deux assertions implique l’autre, d’où la nécessité de démontrer $A\Rightarrow B$ et $B\Rightarrow A$. Une seule implication ne suffit pas à établir la réciprocité.

Explication

La récurrence commence par l’initialisation $A(0)$, puis établit l’hérédité de $A(n)$ vers $A(n+1)$. Vérifier un rang isolé ou raisonner dans le sens inverse ne garantit pas la propriété pour tout entier naturel.

Explication

Le symbole $\sum$ désigne l’addition des termes indexés, tandis que $\prod$ désigne leur multiplication. Inverser ces deux symboles confond les opérations qu’ils représentent.

Explication

Un facteur commun $\lambda$ peut être placé devant une somme finie, ce qui donne $\sum_{k=1}^{n}\lambda a_k=\lambda\sum_{k=1}^{n}a_k$. La puissance $\lambda^n$ intervient dans une propriété de produits, pas dans cette propriété additive.

Explication

Par définition, $0!=1$ et, lorsque $n>0$, $n!$ est le produit des entiers de $1$ à $n$. Inclure le facteur nul dans ce produit ou remplacer le produit par une somme donne une expression incorrecte.

Explication

Le cardinal $Card(E)$ est le nombre d’éléments de l’ensemble fini $E$ et appartient à $\mathbb{N}$. L’ensemble $E$ contient les éléments, tandis que son cardinal les dénombre.

Explication

Les éléments communs sont comptés deux fois dans $Card(A)+Card(B)$, puis corrigés par l’intersection, d’où la formule indiquée. Ajouter l’intersection à la réunion au lieu de l’utiliser comme correction conduit à un double comptage.

Explication

On utilise $Card(E\times F)=Card(E)Card(F)=3\times4=12$ et $Card(P(E))=2^{Card(E)}=2^3=8$. La somme des cardinalités ne donne pas le cardinal du produit cartésien.

Explication

Une $p$-combinaison est une partie de $E$ contenant exactement $p$ éléments, sans tenir compte de leur ordre. Une suite ordonnée relève plutôt d’un choix avec ordre, ce qui correspond à une autre notion combinatoire.

Explication

Le nombre recherché est $\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=10$. Le calcul ne consiste pas à multiplier simplement $5$ par $2$, car l’ordre des éléments choisis n’intervient pas.

Explication

La symétrie donne $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$, donc $\binom{7}{2}=\binom{7}{5}$. L’expression avec deux coefficients d’ordre inférieur correspond à la relation de Pascal, et non à la symétrie.

Explication

La formule du binôme fournit les coefficients $\binom{3}{0},\binom{3}{1},\binom{3}{2},\binom{3}{3}$, soit $1,3,3,1$. Les coefficients intermédiaires ne sont donc pas tous égaux à $1$ ni à $2$.