Flashcards : Logique formelle et raisonnement (40 cartes)

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1Question

Que désigne le symbole Σ en mathématiques?

Réponse

Une somme.

2Question

Que signifie que l’indice d’une somme est muet?

Réponse

On peut changer l’indice sans modifier la somme.

3Question

Quelle est la formule de la somme constante $\sum_{k=0}^{n}a$ ?

Réponse

$(n+1)a$ .

4Question

Comment se décompose la somme $\sum_{j=0}^{n}a_j$ selon un indice p?

Réponse

En $\sum_{j=0}^{p}a_j + \sum_{j=p+1}^{n}a_j$ .

5Question

Quelle propriété linéaire vérifie la somme $\sum_{j=0}^{n}(\alpha a_j + \beta b_j)$ ?

Réponse

Elle est égale à $\alpha \sum_{j=0}^{n}a_j + \beta \sum_{j=0}^{n}b_j$ .

6Question

Quelle égalité caractérise une somme télescopique ?

Réponse

$\sum_{k=p}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_p$

7Question

Que désigne le symbole Π en mathématiques?

Réponse

Le produit des termes compris entre ses bornes.

8Question

Comment est définie la factorielle n! avec un produit?

Réponse

$n! = \prod_{k=1}^n k$

9Question

Quelle est la valeur de 0! selon la définition?

Réponse

10Question

Quelle formule donne le produit télescopique pour une suite de réels strictement positifs?

Réponse

$\prod_{k=p}^n \frac{x_{k+1}}{x_k} = \frac{x_{n+1}}{x_p}$

11Question

Comment est défini le coefficient binomial $\binom{n}{p}$ ?

Réponse

$\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ pour $p\le n$ .

12Question

Quelle est la formule de symétrie des coefficients binomiaux ?

Réponse

$\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$ .

13Question

Quelle est la formule de Pascal pour les coefficients binomiaux ?

Réponse

$\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}$ .

14Question

Quelle est la formule du binôme de Newton pour $(a+b)^n$ ?

Réponse

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$

15Question

Qu'est-ce qu'une assertion en logique ?

Réponse

Une phrase vraie ou fausse, jamais les deux simultanément.

16Question

Quand la négation ¬P est-elle vraie ?

Réponse

Lorsque P est fausse.

17Question

Que signifie P⇒Q en termes de conditions ?

Réponse

P est une condition suffisante de Q et Q une condition nécessaire de P.

18Question

Que donne la loi de De Morgan pour ¬(P∧Q) ?

Réponse

¬(P∧Q)⇔(¬P∨¬Q).

19Question

Que donne la loi de De Morgan pour ¬(P∨Q) ?

Réponse

¬(P∨Q)⇔(¬P∧¬Q).

20Question

Que signifie le quantificateur universel ∀x∈E,P(x) ?

Réponse

Tous les éléments x de E vérifient P(x).

21Question

Que signifie le quantificateur existentiel ∃x∈E tel que P(x) ?

Réponse

Au moins un élément de E vérifie P(x), sans unicité imposée.

22Question

Quelle est la négation d'un énoncé universel ∀x∈E,P(x) ?

Réponse

Elle est équivalente à ∃x∈E,¬P(x).

23Question

Quelle est la négation d'un énoncé existentiel ∃x∈E,P(x) ?

Réponse

Elle est équivalente à ∀x∈E,¬P(x).

24Question

Quelles étapes comporte une démonstration par récurrence simple ?

Réponse

Initialisation, hérédité, puis conclusion pour tout n≥n₀.

25Question

Comment démontre-t-on P⇒Q par contraposée ?

Réponse

En démontrant ¬Q⇒¬P.

26Question

Que suppose un raisonnement par l’absurde pour établir P ?

Réponse

Il suppose ¬P et cherche une contradiction.

27Question

Que suffit-il pour réfuter ∀x∈E,P(x) ?

Réponse

Trouver un contre-exemple x₀∈E tel que ¬P(x₀).

28Question

Quelle décomposition fractionnaire permet de calculer $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ ?

Réponse

$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$

29Question

Quelle est la valeur de $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}$ ?

Réponse

$1-\frac{1}{n+1}$

30Question

Comment factorise-t-on le produit $\prod_{k=1}^n a_k b_k$ ?

Réponse

En $\left(\prod_{k=1}^n a_k\right)\left(\prod_{k=1}^n b_k\right)$

31Question

Comment découpe-t-on le produit $\prod_{k=1}^n a_k$ en deux parties?

Réponse

En $\left(\prod_{k=1}^p a_k\right)\left(\prod_{k=p+1}^n a_k\right)$

32Question

Quelle est la valeur de $\binom{n}{0}$ et $\binom{n}{n}$ ?

Réponse

Elles valent toutes les deux 1.

33Question

Quelle est la valeur de $\binom{n}{1}$ et $\binom{n}{n-1}$ ?

Réponse

Elles valent toutes les deux $n$ .

34Question

Comment s'exprime $\binom{n}{2}$ en fonction de $n$ ?

Réponse

$\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$ .

35Question

Dans quel objet mathématique apparaissent les coefficients binomiaux ?

Réponse

Dans le triangle de Pascal

36Question

Quelle est l'expression de $(1+x)^n$ en fonction des coefficients binomiaux ?

Réponse

$(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$

37Question

Comment s'exprime $2^n$ avec les coefficients binomiaux ?

Réponse

$2^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$

38Question

Quelle somme des coefficients binomiaux alternés est égale à zéro ?

Réponse

$\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k=0$

39Question

Qu'est-ce qu'une tautologie en logique ?

Réponse

Une assertion toujours vraie quelles que soient les valeurs de ses propositions.

40Question

Quel contre-exemple montre que « toute suite réelle strictement décroissante converge vers 0 » est fausse ?

Réponse

La suite $u_n=1+\frac{1}{n}$ .

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 22 questions sur Logique formelle et raisonnement.

1. Que représente l’expression $\sum_{k=1}^{5} a_k$ ?

2. Quelle égalité exprime correctement le caractère muet de l’indice dans une somme ?

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