Logique formelle et raisonnement

📋 Plan du Cours

1. Sommes et changements d’indice
2. Sommes télescopiques
3. Produits et produits télescopiques
4. Coefficients binomiaux
5. Binôme de Newton
6. Assertions et connecteurs logiques
7. Quantificateurs et négations
8. Méthodes de démonstration

📖 1. Sommes et changements d’indice

🔑 Notions clés & Définitions

• Symbole Σ : Désigne une somme, par exemple $\sum_{k=1}^{5}a_k=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$.

📝 Points essentiels

📌 L’indice d’une somme est muet : $\sum_{k=1}^{n}x_k=\sum_{m=1}^{n}x_m=\sum_{i=1}^{n}x_i$.

📐 Formule - Les propriétés usuelles des sommes sont $\sum_{k=0}^{n}a=(n+1)a$, $\sum_{j=0}^{n}(\alpha a_j+\beta b_j)=\alpha\sum_{j=0}^{n}a_j+\beta\sum_{j=0}^{n}b_j$ et $\sum_{j=0}^{n}a_j=\sum_{j=0}^{p}a_j+\sum_{j=p+1}^{n}a_j$.

💡 Astuce mémo

Définir, renommer, linéariser, découper, décaler

📖 2. Sommes télescopiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme télescopique : Vérifie $\sum_{k=p}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_p$.

📝 Points essentiels

• La décomposition $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ donne $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$.

💡 Astuce mémo