Fiche de révision : Logique formelle et raisonnement

📋 Plan du Cours

1. Sommes et changements d’indice
2. Sommes télescopiques
3. Produits et produits télescopiques
4. Coefficients binomiaux
5. Binôme de Newton
6. Assertions et connecteurs logiques
7. Quantificateurs et négations
8. Méthodes de démonstration

📖 1. Sommes et changements d’indice

🔑 Notions clés & Définitions

• Symbole Σ : Désigne une somme, par exemple $\sum_{k=1}^{5}a_k=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$.

📝 Points essentiels

📌 L’indice d’une somme est muet : $\sum_{k=1}^{n}x_k=\sum_{m=1}^{n}x_m=\sum_{i=1}^{n}x_i$.

📐 Formule - Les propriétés usuelles des sommes sont $\sum_{k=0}^{n}a=(n+1)a$, $\sum_{j=0}^{n}(\alpha a_j+\beta b_j)=\alpha\sum_{j=0}^{n}a_j+\beta\sum_{j=0}^{n}b_j$ et $\sum_{j=0}^{n}a_j=\sum_{j=0}^{p}a_j+\sum_{j=p+1}^{n}a_j$.

💡 Astuce mémo

Définir, renommer, linéariser, découper, décaler

📖 2. Sommes télescopiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme télescopique : Vérifie $\sum_{k=p}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_p$.

📝 Points essentiels

• La décomposition $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ donne $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$.

💡 Astuce mémo

Différences successives → seuls les termes d’extrémité subsistent

📖 3. Produits et produits télescopiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Symbole Π : Désigne le produit des termes compris entre ses bornes, par exemple $\prod_{k=1}^{n}x_k=x_1x_2\cdots x_n$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La factorielle est définie par $n!=\prod_{k=1}^{n}k=1\times2\times\cdots\times n$ et $0!=1$.

📐 Formule - Pour une suite de réels strictement positifs, le produit télescopique vérifie $\prod_{k=p}^{n}\frac{x_{k+1}}{x_k}=\frac{x_{n+1}}{x_p}$.

Compléments

📌 Un produit se factorise et se découpe selon $\prod_{k=1}^{n}a_kb_k=\left(\prod_{k=1}^{n}a_k\right)\left(\prod_{k=1}^{n}b_k\right)$ et $\prod_{k=1}^{n}a_k=\left(\prod_{k=1}^{p}a_k\right)\left(\prod_{k=p+1}^{n}a_k\right)$.

💡 Astuce mémo

Facteurs inverses → simplification aux extrémités

📖 4. Coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : Est défini par $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ pour $p\le n$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La formule de symétrie est $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$.

📐 Formule - La formule de Pascal est $\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}=\binom{n+1}{p+1}$.

Compléments

📌 Les valeurs particulières sont $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$, $\binom{n}{1}=\binom{n}{n-1}=n$ et $\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$.

💡 Astuce mémo

Symétrie : p et n−p donnent le même coefficient

📖 5. Binôme de Newton

★ À maîtriser

📐 Formule - La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^kb^{n-k}$ pour $a,b\in\mathbb{R}$ et $n\in\mathbb{N}$.

Compléments

• Les coefficients binomiaux apparaissent dans le triangle de Pascal, dont les lignes jusqu’à n=8 sont données dans le cours.

• Les applications particulières sont $(1+x)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^k$, $2^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}$ et $0=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k$.

💡 Astuce mémo

Le triangle de Pascal fournit les coefficients de chaque développement

📖 6. Assertions et connecteurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Assertion : Phrase qui est vraie ou fausse, mais jamais les deux simultanément.
• Négation : Est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.
• Tautologie : Assertion composée toujours vraie quelles que soient les valeurs de vérité de ses propositions.

📝 Points essentiels

📌 P⇒Q signifie que P est une condition suffisante de Q et que Q est une condition nécessaire de P.

📌 Les lois de De Morgan donnent ¬(P∧Q)⇔(¬P∨¬Q) et ¬(P∨Q)⇔(¬P∧¬Q).

💡 Astuce mémo

Implication : condition suffisante pour P, nécessaire pour Q

📖 7. Quantificateurs et négations

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Signifie que tous les éléments x de E vérifient P(x).
• Quantificateur existentiel : Signifie qu’au moins un élément de E vérifie P(x), sans imposer l’unicité.

📝 Points essentiels

📌 La négation d’un énoncé universel vérifie ¬(∀x∈E,P(x))⇔∃x∈E,¬P(x), tandis que ¬(∃x∈E,P(x))⇔∀x∈E,¬P(x).

💡 Astuce mémo

∀ devient ∃, et ∃ devient ∀ sous négation

📖 8. Méthodes de démonstration

★ À maîtriser

• Une démonstration par récurrence simple comporte l’initialisation de P(n₀), l’hérédité de P(n) vers P(n+1), puis la conclusion que P(n) est vraie pour tout n≥n₀.

• Pour démontrer P⇒Q par contraposée, on démontre l’implication équivalente ¬Q⇒¬P.

• Un raisonnement par l’absurde suppose ¬P et cherche une contradiction afin d’établir P.

• Pour réfuter ∀x∈E,P(x), il suffit de trouver un seul contre-exemple x₀∈E tel que ¬P(x₀).

Compléments

• La proposition « toute suite réelle strictement décroissante converge vers 0 » est fausse, car la suite $u_n=1+\frac{1}{n}$ est un contre-exemple.

💡 Astuce mémo

Contraposée, absurde, contre-exemple, puis récurrence

📊 Tableaux de synthèse

Connecteurs logiques