Fiche de révision : Lois de comportement des matériaux

📋 Plan du Cours

1. Concept des milieux continus
2. Grandeurs cinématiques et statiques
3. Élasticité viscosité et plasticité
4. Principes des lois de comportement
5. Formulations et variables internes
6. Résolution des problèmes mécaniques
7. Modèles et caractérisation expérimentale
8. Élasticité anisotrope linéaire

📖 1. Concept des milieux continus

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu continu : Approximation mathématique d’un matériau réel solide ou fluide, valable à une échelle macroscopique adaptée au matériau.

★ À maîtriser

• Le volume élémentaire représentatif mesure environ:
  • 1 mm pour les métaux
  • 10 cm pour les bétons
  • 5 mm pour les polymères

📌 La séparation des échelles impose que l’échelle de validité du milieu continu soit très inférieure à la taille du volume élémentaire représentatif, elle-même très inférieure à la taille caractéristique de la structure.

Compléments

📐 Formule — La masse volumique macroscopique est la moyenne sur le VER : $\rho(\mathbf{x},t)=\frac{1}{V_{VER}}\int_{VER}\rho_{local}(\mathbf{x},t)\,dV$.

💡 Astuce mémo

Microscopique hétérogène, macroscopique continu

📖 2. Grandeurs cinématiques et statiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ de déplacement : Décrit le mouvement des points du milieu continu et possède l’unité m.
• Tenseur des déformations : Dans l’hypothèse des petites perturbations, le tenseur des déformations est $\boldsymbol{\varepsilon}=\frac{1}{2}(\nabla\mathbf{u}+\nabla\mathbf{u}^{T})$ et est sans unité.
• Tenseur des contraintes : Le tenseur des contraintes $\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x},t)$ est un tenseur d’ordre 2 dont l’unité est le pascal.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La formule de Cauchy donne le vecteur contrainte sur une surface de normale unitaire $\mathbf{n}$ : $\mathbf{T}=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}$.

💡 Astuce mémo

Déplacement → vitesse → déformation → contrainte

📖 3. Élasticité viscosité et plasticité

★ À maîtriser

📌 L’élasticité correspond au stockage et à la restitution réversible de l’énergie, la viscosité dépend de la vitesse de déformation et dissipe l’énergie, tandis que la plasticité implique un seuil et une déformation permanente.

📌 Dans un modèle plastique idéal, la vitesse de déformation plastique est nulle lorsque $|Q|<Q_s$, où $Q_s$ est la valeur seuil.

Compléments

📐 Formule — Pour un ressort élastique linéaire, la relation entre l’effet généralisé et le déplacement généralisé est $Q=Gq$.

📐 Formule — Pour un amortisseur visqueux linéaire, la relation est $Q=\gamma\dot{q}$.

💡 Astuce mémo

Élasticité restitue, viscosité dissipe, plasticité laisse une trace

📖 4. Principes des lois de comportement

★ À maîtriser

📌 Une loi de comportement doit être indépendante du choix des coordonnées et objective vis-à-vis d’un changement d’observateur par mouvement rigide.

• Les symétries matérielles comprennent l’isotropie et l’anisotropie, cette dernière étant illustrée par les matériaux composites à fibres.

📌 Le principe de causalité impose que la réponse d’un point matériel dépende de son passé.

Compléments

📌 Le principe d’action locale impose qu’un point matériel ne connaisse pas l’histoire de ses voisins.

💡 Astuce mémo

Causalité et action locale → réponse matérielle physiquement admissible

📖 5. Formulations et variables internes

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable interne : Variable supplémentaire attachée à chaque point matériel qui résume l’histoire thermomécanique nécessaire à l’évolution de la loi de comportement.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une loi de comportement générale peut s’écrire sous forme intégrale $\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{x},t)=\mathcal{F}(\boldsymbol{\varepsilon}(\mathbf{x},t),\boldsymbol{\varepsilon}_{\tau<t})$, en dépendant de l’histoire passée des déformations.

Compléments

📐 Formule — L’intégration incrémentale explicite d’une variable interne s’écrit $Y(t+\Delta t)=Y(t)+\Delta t\,\dot{Y}(t)$.

💡 Astuce mémo

Formulation intégrale conserve l’histoire, variables internes la résument

📖 6. Résolution des problèmes mécaniques

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation locale d’équilibre est $\operatorname{div}\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{f}_v=\rho\boldsymbol{\gamma}$, où l’accélération vaut $\boldsymbol{\gamma}=\frac{\partial^2\mathbf{u}}{\partial t^2}$.

📐 Formule — En petites déformations, la compatibilité relie le déplacement et la déformation par $\boldsymbol{\varepsilon}=\frac{1}{2}(\nabla\mathbf{u}+\nabla\mathbf{u}^{T})$.

📐 Formule — La loi de comportement générale relie les contraintes aux déformations, à leurs vitesses, à la température et à la pression : $\boldsymbol{\sigma}=f(\boldsymbol{\varepsilon},\dot{\boldsymbol{\varepsilon}},T,P,\ldots)$.

• La méthode des déplacements suit la chaîne $\mathbf{u}\Rightarrow\boldsymbol{\varepsilon}\Rightarrow\boldsymbol{\sigma}\Rightarrow\operatorname{div}\boldsymbol{\sigma}+\mathbf{f}_v=0$ en régime quasi-statique.

💡 Astuce mémo

Déplacements → déformations → contraintes → équilibre

📖 7. Modèles et caractérisation expérimentale

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une élasticité linéaire isotrope en trois dimensions, la loi de Hooke s’écrit $\boldsymbol{\sigma}=2\mu\boldsymbol{\varepsilon}+\lambda\operatorname{tr}(\boldsymbol{\varepsilon})\boldsymbol{\delta}$.

📐 Formule — En une dimension, la loi de Hooke s’écrit $\sigma=E\varepsilon$, où E est le module d’Young en pascals.

📐 Formule — Pour un fluide newtonien, la loi de comportement est $\boldsymbol{\sigma}=-p\boldsymbol{\delta}+2\mu_v\dot{\boldsymbol{\varepsilon}}+\lambda_v\operatorname{tr}(\dot{\boldsymbol{\varepsilon}})\boldsymbol{\delta}$.

• 🔄 La caractérisation expérimentale consiste à:
  1. imposer une sollicitation mécanique
  2. mesurer la réponse mécanique
  3. identifier les paramètres du matériau

Compléments

📐 Formule — Pour un fluide parfait, la loi de comportement se réduit à $\boldsymbol{\sigma}=-p\boldsymbol{\delta}$.

💡 Astuce mémo

Imposer Q ou q → mesurer la réponse → identifier les paramètres

📖 8. Élasticité anisotrope linéaire

★ À maîtriser

• Les exemples de matériaux anisotropes comprennent: le bois, les artères, les composites stratifiés à base de fibres de verre et de résine

📐 Formule — En élasticité linéaire anisotrope, le tenseur de Hooke relie les contraintes et les déformations par $\boldsymbol{\sigma}=\mathbb{C}:\boldsymbol{\varepsilon}$, où $\mathbb{C}$ est le tenseur de rigidité d’ordre 4.

📐 Formule — Les symétries mineures résultent de la symétrie des tenseurs de contrainte et de déformation, tandis que la symétrie majeure s’exprime par $C_{ijkl}=C_{klij}$.

Compléments

• Le tenseur de rigidité d’ordre 4 possède initialement $3^4=81$ composantes.

📐 Formule — Avec la notation de Mandel, un tenseur symétrique est représenté par six composantes, dont les composantes de cisaillement sont multipliées par $\sqrt{2}$ afin de conserver le produit doublement contracté.

📊 Tableaux de synthèse

Mécanismes rhéologiques

Méthodes de résolution