Fiche de révision : Maîtrise de la loi normale et transformation Z

📋 Plan du Cours

1. Loi normale Gaussienne
2. Fonction de densité
3. Propriétés densité
4. Courbe en cloche
5. Paramètres μ et σ
6. Probabilités et intégrales
7. Table de la loi normale
8. Transformation Z
9. Intervalle de confiance
10. Application taille étudiants
11. Application factures
12. Application âge premiers mots

📖 1. Loi normale Gaussienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution de probabilité continue en forme de cloche, caractérisée par deux paramètres : la moyenne (𝜇) et l’écart-type (𝜎). Elle modélise de nombreuses grandeurs naturelles et sociales.

• Variable aléatoire normale : Variable X dont la distribution suit une loi normale, notée 𝑿 ∼ 𝓝(𝜇; 𝜎²). Elle possède une espérance E(X) = 𝜇 et une variance Var(X) = 𝜎².

• Fonction de densité : Fonction 𝑓(𝑥) = (1 / (√(2𝜋) 𝜎)) * exp(- (𝑥 - 𝜇)² / (2𝜎²)). Elle décrit la probabilité de trouver la variable dans un intervalle précis.

• Symétrie : La courbe de la loi normale est symétrique par rapport à la moyenne 𝜇. La moitié des observations se trouve au-dessus, l’autre moitié en dessous.

• Propriétés probabilistes :

  • 50% des observations sont supérieures ou inférieures à 𝜇.
  • Environ 68% sont dans l’intervalle [𝜇 - 𝜎, 𝜇 + 𝜎].
  • Environ 95% dans [𝜇 - 2𝜎, 𝜇 + 2𝜎].
  • Environ 99,7% dans [𝜇 - 3𝜎, 𝜇 + 3𝜎].

• Table de la loi normale centrée réduite (Z) : Permet de calculer rapidement les probabilités. Z ∼ 𝓝(0;1), avec 𝑍 = (𝑋 - 𝜇) / 𝜎.

📝 Points essentiels

• La densité de la loi normale est entièrement déterminée par 𝜇 et 𝜎.
• La surface sous la courbe entre deux valeurs donne la probabilité que la variable prenne une valeur dans cet intervalle.
• La règle empirique :
  • 68% des valeurs dans [𝜇 - 𝜎, 𝜇 + 𝜎]
  • 95% dans [𝜇 - 2𝜎, 𝜇 + 2𝜎]
  • 99,7% dans [𝜇 - 3𝜎, 𝜇 + 3𝜎]
• La transformation en Z permet d'utiliser la table standard pour toute variable normale.

💡 À retenir

La loi normale, caractérisée par sa symétrie et ses intervalles de confiance, est essentielle pour modéliser et interpréter de nombreuses variables continues dans les sciences naturelles et sociales. La transformation en Z facilite le calcul des probabilités associées.

📖 2. Fonction de densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction de densité (ou densité de probabilité) : Fonction $f(x)$ associée à une variable aléatoire continue, permettant de calculer la probabilité qu'une observation se situe dans un intervalle donné. La probabilité que $X$ appartienne à un intervalle $[a, b]$ est donnée par l’intégrale de $f(x)$ sur cet intervalle : $\Pr(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx$.

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution continue symétrique en forme de cloche, caractérisée par deux paramètres : la moyenne $\mu$ (espérance) et l’écart-type $\sigma$. La variable $X \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$.

• Formule de la densité normale : $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$ Elle dépend uniquement de $\mu$ et $\sigma$, et est symétrique par rapport à $\mu$.

• Surface sous la courbe : L’intégrale de $f(x)$ sur $\mathbb{R}$ est égale à 1. La surface entre $\mu - k\sigma$ et $\mu + k\sigma$ contient une proportion spécifique de la probabilité totale (68%, 95%, 99,7%).

• Variable normale centrée réduite (ou loi standard) : Variable $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$, obtenue par transformation $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$. Elle permet d’utiliser des tables standardisées pour calculer des probabilités.

📝 Points essentiels

• La fonction de densité d’une loi normale est une courbe en forme de cloche, symétrique autour de $\mu$.
• La probabilité que $X$ se trouve dans un intervalle est donnée par l’aire sous la courbe de $f(x)$ entre ces deux bornes.
• La règle empirique :
  • 68% des observations sont dans $[\mu - \sigma, \mu + \sigma]$
  • 95% dans $[\mu - 2\sigma, \mu + 2\sigma]$
  • 99,7% dans $[\mu - 3\sigma, \mu + 3\sigma]$
• La table de la loi normale standard permet de retrouver ces probabilités via la valeur critique $z$.

💡 À retenir

La fonction de densité normale, caractérisée par ses paramètres $\mu$ et $\sigma$, permet de modéliser de nombreuses grandeurs naturelles et sociales. La transformation en loi standard facilite le calcul des probabilités grâce aux tables associées.

📖 3. Propriétés densité

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution de probabilité continue caractérisée par une courbe en forme de cloche, symétrique autour de la moyenne. Notée 𝑿 ∼ 𝓝(𝝁, 𝝈²).
• Fonction de densité (f(x)) : Fonction qui associe à chaque valeur x la densité de probabilité, permettant de calculer la probabilité qu'une variable aléatoire prenne une valeur dans un intervalle. Pour la loi normale :
  $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$
• Paramètres de la loi normale :
  • 𝝁 (moyenne ou espérance) : centre de la distribution.
  • 𝝈 (écart-type) : mesure de dispersion. La variance est 𝝈².
• Propriétés de la fonction de densité :
  • Dépend uniquement de 𝝁 et 𝝈.
  • Symétrique par rapport à 𝝁.
  • La surface sous la courbe (intégrale) entre deux points donne la probabilité que la variable prenne une valeur dans cet intervalle.
• Propriétés de la loi normale :
  • 50% des observations sont au-dessus et 50% en dessous de 𝝁.
  • Environ 68% des observations sont dans l’intervalle [𝝁 - 𝝈, 𝝁 + 𝝈].
  • Environ 95% dans [𝝁 - 2𝝈, 𝝁 + 2𝝈].
  • Environ 99,7% dans [𝝁 - 3𝝈, 𝝁 + 3𝝈].
• Table de la loi normale centrée réduite (Z) : Utilisée pour calculer les probabilités, où Z ∼ 𝓝(0,1). La variable Z est obtenue par transformation :
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
• Changement de variable : Transformation d’une variable normale X en Z pour utiliser la table standard :
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
• Fonction de répartition (F(z)) : Fonction qui donne la probabilité que Z soit inférieur à une valeur z, c’est-à-dire l’aire sous la courbe jusqu’à z.

📝 Points essentiels

• La densité normale est entièrement déterminée par deux paramètres : la moyenne 𝝁 et l’écart-type 𝝈.
• La symétrie de la courbe implique que la médiane, la moyenne et le mode coïncident.
• La surface sous la courbe entre 𝝁 - k𝝈 et 𝝁 + k𝝈 est approximativement :
  • 68% pour k=1
  • 95% pour k=2
  • 99,7% pour k=3
• La transformation en Z permet d’utiliser facilement la table de la loi normale standard pour calculer des probabilités.
• La loi normale est souvent utilisée pour modéliser des grandeurs naturelles ou sociales, comme la taille, l’âge, ou les montants financiers.

💡 À retenir

La loi normale, caractérisée par sa courbe en cloche symétrique, permet de déterminer rapidement la proportion d’observations dans un intervalle grâce à la transformation en variable Z et à la table standard. La majorité des valeurs se concentrent autour de la moyenne, dans un intervalle de trois écarts-types.

📖 4. Courbe en cloche

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution de probabilité continue symétrique en forme de cloche, caractérisée par deux paramètres : la moyenne (μ) et l’écart-type (σ). Elle modélise de nombreuses grandeurs naturelles et sociales.

• Variable aléatoire normale : Variable X suivant une loi normale notée X ∼ 𝓝(μ, σ²), où μ est l’espérance (moyenne) et σ² la variance. Elle possède une fonction de densité spécifique.

• Fonction de densité (f(x)) : Fonction décrivant la probabilité de chaque valeur x. Pour la loi normale :
  $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

• Propriétés de la loi normale :

  • Symétrie par rapport à μ
  • La surface sous la courbe entre μ - kσ et μ + kσ représente la probabilité que X se trouve dans cet intervalle (empirique : 68%, 95%, 99,7%)
  • La probabilité que X s’éloigne de μ de plus de 3σ est très faible (~0,03%)

• Table de la loi normale centrée réduite (Z) : Table donnant Pr(Z < z) pour Z ∼ 𝓝(0,1). Transformation :
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ Permet de calculer facilement les probabilités pour toute loi normale.

📝 Points essentiels

• La courbe en cloche est symétrique, avec la majorité des observations concentrées autour de la μ.
• La règle empirique :
  • 68% des valeurs dans [μ - σ, μ + σ]
  • 95% dans [μ - 2σ, μ + 2σ]
  • 99,7% dans [μ - 3σ, μ + 3σ]
• La surface sous la courbe entre deux valeurs donne la probabilité que X y prenne une valeur dans cet intervalle.
• La transformation en Z permet d’utiliser la table standard pour toute loi normale.

💡 À retenir

La loi normale est une distribution symétrique en forme de cloche, dont la majorité des valeurs se concentrent autour de la moyenne, et qui est entièrement décrite par deux paramètres : μ et σ. La table de la loi normale centrée réduite facilite le calcul des probabilités associées.

📖 5. Paramètres μ et σ

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution de probabilité continue en forme de cloche, caractérisée par deux paramètres : la moyenne (μ) et l’écart-type (σ). Elle modélise de nombreuses grandeurs en sciences sociales et naturelles.

• Moyenne (μ) : Espérance mathématique ou valeur centrale d’une variable aléatoire normale, représentant le point d’équilibre de la distribution. Notée aussi E(X).

• Écart-type (σ) : Mesure de dispersion ou de variabilité autour de la moyenne. Plus σ est faible, plus la distribution est concentrée autour de μ.

• Variance (σ²) : Carré de l’écart-type, indicateur de la dispersion. La variance est souvent utilisée dans les calculs statistiques.

• Fonction de densité (f(x)) : Fonction qui donne la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur dans un intervalle. Pour la normale :
  $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$

• Transformation en loi normale standard (Z) : Conversion d’une variable normale X en une variable centrée réduite Z, avec μ=0 et σ=1, via :
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ Elle permet d’utiliser la table de la loi normale standard pour calculer des probabilités.

📝 Points essentiels

• La loi normale est entièrement définie par ses deux paramètres : μ (moyenne) et σ (écart-type). La forme de la courbe dépend uniquement de ces deux paramètres.
• La distribution est symétrique par rapport à μ.
• La surface sous la courbe de densité entre μ - σ et μ + σ représente environ 68% des observations.
• La règle empirique (68-95-99,7) indique que :
  • 68% des valeurs sont dans [μ - σ, μ + σ]
  • 95% dans [μ - 2σ, μ + 2σ]
  • 99,7% dans [μ - 3σ, μ + 3σ]
• La probabilité qu’une observation s’éloigne de la moyenne de plus de 3σ est très faible (~0,3%).

💡 À retenir

La loi normale, paramétrée par μ et σ, permet de modéliser et d’estimer la probabilité d’observations dans un intervalle donné, en utilisant la transformation en loi standard et la table associée. La règle empirique est essentielle pour comprendre la dispersion des données.

📖 6. Probabilités et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution de probabilité continue symétrique en forme de cloche, caractérisée par deux paramètres : la moyenne (𝜇) et l’écart-type (𝜎). La variable aléatoire 𝑿 suit 𝑵(𝜇, 𝜎²).
• Fonction de densité (f(x)) : Fonction qui associe à chaque valeur x la densité de probabilité de la loi normale, donnée par :
  $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}$
• Propriétés de la loi normale :
  • Symétrie par rapport à 𝜇.
  • La surface sous la courbe entre 𝜇 − 𝜎 et 𝜇 + 𝜎 est d’environ 68%.
  • La surface entre 𝜇 − 2𝜎 et 𝜇 + 2𝜎 est d’environ 95%.
  • La surface entre 𝜇 − 3𝜎 et 𝜇 + 3𝜎 est d’environ 99,7%.
• Table de la loi normale centrée réduite (Z) : Table donnant Pr(Z < z) pour Z ∼ 𝑁(0,1). Utilisée pour calculer des probabilités en transformant une variable normale X en Z via :
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
• Changement de variable : Transformation d’une variable normale 𝑿 ∼ 𝑁(𝜇, 𝜎²) en une variable centrée réduite 𝑍 ∼ 𝑁(0,1).
• Propriétés de la fonction de répartition (F(z)) : Fonction qui donne la probabilité que Z soit inférieur à z, c’est-à-dire Pr(Z < z).
• Probabilités empiriques (règles de l’écart-type) :
  • 50% des observations sont supérieures ou inférieures à 𝜇.
  • Environ 68% dans [𝜇 − 𝜎, 𝜇 + 𝜎].
  • Environ 95% dans [𝜇 − 2𝜎, 𝜇 + 2𝜎].
  • Environ 99,7% dans [𝜇 − 3𝜎, 𝜇 + 3𝜎].

📝 Points essentiels

• La loi normale est fondamentale en statistiques, notamment pour modéliser des grandeurs naturelles ou sociales.
• La surface sous la courbe de densité entre deux valeurs donne la probabilité que la variable prenne une valeur dans cet intervalle.
• La transformation en loi standard Z permet d’utiliser une table unique pour toutes les lois normales, en normalisant la variable.
• La règle empirique (68-95-99,7) est essentielle pour estimer rapidement la dispersion des données.
• La table de la loi normale standard fournit Pr(Z < z) pour z entre 0 et 3,69, permettant de calculer toutes autres probabilités via des transformations.
• La probabilité qu’une variable normale s’éloigne de la moyenne de plus de 3 écarts-types est très faible (~0,03%).

💡 À retenir

La loi normale, grâce à sa symétrie et ses propriétés, permet de calculer rapidement la probabilité qu’une variable suive une distribution donnée, en utilisant la transformation en loi standard et la table associée. La règle empirique facilite aussi l’estimation des intervalles de confiance pour la majorité des observations.

📖 7. Table de la loi normale

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution de probabilité continue en forme de cloche, caractérisée par deux paramètres : la moyenne (𝜇) et l’écart-type (𝜎). Elle modélise de nombreuses grandeurs naturelles et sociales.

• Variable aléatoire normale (X ∼ 𝓝(𝜇; 𝜎²)) : Variable dont la distribution suit une loi normale avec espérance 𝜇 et variance 𝜎². La moyenne est le centre de la distribution, et l’écart-type mesure sa dispersion.

• Fonction de densité (f(x)) : Fonction mathématique décrivant la probabilité que la variable X prenne une valeur proche de x. Pour la loi normale :
  $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)$

• Table de la loi normale centrée réduite (ou table Z) : Tableau donnant la probabilité Pr(Z < z) pour Z ∼ 𝓝(0;1). Utilisée pour calculer rapidement les probabilités associées à une variable normale en la transformant en variable standard.

• Transformation en variable standard (Z) : Passage de X ∼ 𝓝(𝜇; 𝜎²) à Z = (X - 𝜇)/𝜎, qui suit une loi standard 𝓝(0;1). Permet d'utiliser la table Z pour calculer des probabilités.

📝 Points essentiels

• La loi normale est symétrique par rapport à sa moyenne 𝜇.

• La surface sous la courbe de densité entre 𝜇 - k𝜎 et 𝜇 + k𝜎 représente la proportion d’observations dans cet intervalle :

  • Environ 68% pour 𝜇 ± 1𝜎
  • Environ 95% pour 𝜇 ± 2𝜎
  • Environ 99,7% pour 𝜇 ± 3𝜎

• La probabilité que X s’éloigne de la moyenne de plus de 3 écarts-types est très faible (~0,03%).

• La table Z permet de déterminer rapidement la probabilité Pr(Z < z) pour toute valeur de z. La lecture se fait en combinant la ligne (première décimale) et la colonne (deuxième décimale).

• La transformation en Z est :
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

• La surface sous la courbe entre deux valeurs Z1 et Z2 donne la probabilité que Z se trouve dans cet intervalle :
  $Pr(Z \in [Z_1, Z_2]) = F(Z_2) - F(Z_1)$

💡 À retenir

La loi normale, modélisée par la table Z, permet de calculer rapidement la probabilité qu’une variable continue suive une distribution en forme de cloche, en transformant toute variable normale en une variable standard.

📖 8. Transformation Z

🔑 Notions clés & Définitions

• Distribution normale (loi de Laplace-Gauss) : Loi de probabilité continue caractérisée par une courbe en forme de cloche, symétrique par rapport à la moyenne. Notée 𝑿 ∼ 𝓝(𝝁; 𝝈²), où 𝝁 est l'espérance (moyenne) et 𝝈² la variance.
• Variable centrée réduite (Z) : Transformation d'une variable normale 𝑿 en une variable standardisée 𝒁 = (𝑿 − 𝝁) / 𝝈, qui suit une loi normale standard 𝑍 ∼ 𝓝(0;1).
• Fonction de densité de la loi normale : Fonction mathématique décrivant la probabilité pour chaque valeur x, donnée par 𝑓(𝑥) = (1 / (√(2π) 𝝈)) * exp(−(𝑥−𝝁)² / (2𝝈²)).
• Table de la loi normale standard : Tableau donnant la probabilité Pr(𝑍 < 𝒛) pour une variable Z ∼ 𝓝(0;1), facilitant le calcul des probabilités.
• Changement de variable : Technique consistant à transformer une variable normale 𝑿 en une variable centrée réduite 𝒁 pour simplifier le calcul des probabilités.

📝 Points essentiels

• La transformation 𝒁 = (𝑿 − 𝝁) / 𝝈 permet d'utiliser la table de la loi normale standard pour toute variable normale.
• La fonction de densité est symétrique et dépend uniquement de deux paramètres : la moyenne 𝝁 et l’écart-type 𝝈.
• La loi normale est caractérisée par la règle empirique :
  • 68% des observations dans [𝝁 − 𝝈, 𝝁 + 𝝈]
  • 95% dans [𝝁 − 2𝝈, 𝝁 + 2𝝈]
  • 99,7% dans [𝝁 − 3𝝈, 𝝁 + 3𝝈]
• La surface sous la courbe de densité entre deux valeurs donne la probabilité que la variable prenne une valeur dans cet intervalle.

💡 À retenir

La transformation Z standardise toute variable normale, permettant d’accéder facilement aux probabilités via la table de la loi normale standard, simplifiant ainsi le calcul et l’interprétation des probabilités associées à une loi normale.

📖 9. Intervalle de confiance

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle de confiance (IC) : Plage de valeurs calculée à partir d’un échantillon, dans laquelle se trouve, avec un certain niveau de confiance, la valeur du paramètre inconnu (par exemple, la moyenne d’une population).
  Point essentiel : Il fournit une estimation de l’incertitude liée à la paramètre estimé.

• Niveau de confiance : Probabilité (exprimée en %) que l’intervalle calculé contienne le paramètre vrai de la population.
  Exemple : Un IC à 95 % signifie que 95 % des intervalles construits selon la même méthode contiendront le vrai paramètre.

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution en forme de cloche, symétrique, caractérisée par la moyenne (μ) et l’écart-type (σ).
  Point essentiel : La majorité des observations (68 %, 95 %, 99,7 %) se trouvent à 1, 2, 3 écarts-types de la moyenne.

• Erreur standard (SE) : Estimation de la dispersion de la moyenne d’un échantillon, généralement SE = σ/√n, où n est la taille de l’échantillon.
  Point essentiel : Plus n est grand, plus l’IC est précis.

• Table de la loi normale standard : Tableau donnant la probabilité que Z (variable normale centrée réduite) soit inférieure à une valeur z.
  Utilité : Permet de calculer rapidement les IC en transformant la variable en Z.

📝 Points essentiels

• La construction d’un IC repose sur la distribution de l’échantillon et la loi normale, notamment pour des échantillons de taille suffisante ou lorsque la variance est connue.
• La formule générale pour un IC à 95 % pour la moyenne est :
  $\bar{x} \pm Z_{0,975} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ où $\bar{x}$ est la moyenne échantillonnale, $Z_{0,975}$ la valeur critique pour 97,5 % dans la loi normale standard, $\sigma$ la variance connue ou estimée, et $n$ la taille de l’échantillon.
• La précision de l’intervalle augmente avec la taille de l’échantillon.
• Lorsqu’on ne connaît pas $\sigma$, on utilise la distribution t de Student, surtout pour de petits échantillons.

💡 À retenir

L’intervalle de confiance permet d’estimer une grandeur inconnue avec une certaine probabilité, en tenant compte de la variabilité de l’échantillon. Sa largeur dépend du niveau de confiance, de la taille de l’échantillon et de la dispersion des données.

📖 10. Application taille étudiants

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution de probabilité en forme de cloche, caractérisée par deux paramètres : la moyenne (𝝁) et l’écart-type (𝝈). Elle modélise de nombreuses grandeurs naturelles ou sociales.
  Exemple : taille des étudiants.

• Fonction de densité (f(x)) : Fonction qui donne la probabilité relative pour une valeur précise d’une variable continue. Pour la loi normale :
  $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \exp\left( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)$

• Propriétés de la loi normale :

  • Symétrie par rapport à la moyenne 𝝁.
  • La surface sous la courbe entre 𝝁 - k𝝈 et 𝝁 + k𝝈 représente la probabilité que la variable soit dans cet intervalle.
  • Règles empiriques :
    • 68% des observations dans [𝝁 - 𝝈, 𝝁 + 𝝈]
    • 95% dans [𝝁 - 2𝝈, 𝝁 + 2𝝈]
    • 99,7% dans [𝝁 - 3𝝈, 𝝁 + 3𝝈].

• Table de la loi normale centrée réduite (Z) : Permet de calculer facilement les probabilités. Z = (X - 𝝁) / 𝝈.

  • Probabilités Pr(Z < z) sont données dans la table.
  • Conversion : X = 𝝁 + z×𝝈.

• Changement de variable : Transformation d’une variable normale X en variable centrée réduite Z pour simplifier les calculs :
  $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

📝 Points essentiels

• La loi normale est souvent utilisée pour modéliser la taille des étudiants, avec une moyenne de 170 cm et un écart-type de 10 cm.
• La probabilité qu’un étudiant mesure moins de 180 cm est obtenue en transformant 180 en Z :
  $Z = \frac{180 - 170}{10} = 1$ puis en utilisant la table : Pr(Z < 1) ≈ 0,84, soit 84%.
• La règle empirique permet d’estimer rapidement la proportion d’étudiants dans certains intervalles autour de la moyenne.
• La table de la loi normale standard facilite le calcul des probabilités pour toute variable normale.
• La surface sous la courbe entre deux valeurs donne la probabilité que la variable prenne une valeur dans cet intervalle.

💡 À retenir

La loi normale, caractérisée par sa symétrie et ses propriétés empiriques, permet d’estimer rapidement la proportion d’individus dans un intervalle donné en utilisant la transformation en Z et la table de la loi normale standard.

📖 11. Application factures

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) : Distribution de probabilité continue en forme de cloche, caractérisée par deux paramètres : la moyenne (𝜇) et l’écart-type (𝜎). Elle modélise de nombreuses grandeurs naturelles et sociales.
• Variable aléatoire normale (X ∼ 𝓝(𝜇, 𝜎²)) : Variable dont la distribution suit une loi normale avec espérance 𝜇 et variance 𝜎².
• Fonction de densité (f(x)) : Fonction décrivant la probabilité que la variable X prenne une valeur proche de x. Pour la loi normale : 𝑓(𝑥) = (1 / (√(2π)σ)) * exp(- (x - 𝜇)² / (2σ²)).
• Propriétés de la loi normale : Symétrie autour de 𝜇, surface sous la courbe = 1, et pour une variable normale, la majorité des observations se trouvent à proximité de la moyenne (règles empiriques).
• Règles empiriques (empiric rule) :
  • 68% des observations dans [𝜇 - 𝜎, 𝜇 + 𝜎]
  • 95% dans [𝜇 - 2𝜎, 𝜇 + 2𝜎]
  • 99,7% dans [𝜇 - 3𝜎, 𝜇 + 3𝜎]
• Table de la loi normale centrée réduite (Z) : Table donnant Pr(Z < z) pour Z ∼ 𝓝(0,1). Utile pour calculer des probabilités en transformant X en Z = (X - 𝜇)/𝜎.
• Transformation en loi standard : X ∼ 𝓝(𝜇, 𝜎²) peut être transformée en Z = (X - 𝜇)/𝜎 ∼ 𝓝(0,1).
• Proportion d’observations : Probabilité qu’une valeur de la variable aléatoire se trouve dans un intervalle donné, souvent utilisée pour estimer des quantiles ou des seuils.

📝 Points essentiels

• La loi normale est symétrique, avec la majorité des valeurs concentrées autour de la moyenne.
• La surface sous la courbe de densité entre 𝜇 - k𝜎 et 𝜇 + k𝜎 donne la proportion d’observations dans cet intervalle : environ 68% pour k=1, 95% pour k=2, 99,7% pour k=3.
• La transformation en Z permet d’utiliser facilement la table de la loi normale standard pour calculer des probabilités.
• La table fournit la probabilité que Z soit inférieur à une valeur critique z, permettant de déterminer des seuils ou de tester des hypothèses.
• La probabilité que la valeur s’éloigne de la moyenne de plus de 3 écarts-types est très faible (~0,03%), ce qui justifie l’usage de cette règle pour détecter des valeurs atypiques.

💡 À retenir

La loi normale, grâce à ses propriétés de symétrie et ses règles empiriques, permet d’estimer rapidement la proportion d’individus ou d’observations dans un intervalle autour de la moyenne, en utilisant la transformation en loi standard et la table associée.

📖 12. Application âge premiers mots

🔑 Notions clés & Définitions

• Âge des premiers mots : âge auquel un enfant commence à produire ses premiers mots, généralement mesuré en mois. Variable aléatoire souvent modélisée par une loi normale.
• Distribution normale (loi de Laplace-Gauss) : loi de probabilité continue caractérisée par une courbe en forme de cloche, définie par deux paramètres : la moyenne (μ) et l’écart-type (σ). Elle modélise de nombreuses variables naturelles et sociales.
• Variable centrée réduite (Z) : transformation d’une variable normale X en Z = (X - μ) / σ, qui suit une loi normale standard (μ=0, σ=1). Utilisée pour consulter la table de la loi normale standard.
• Propriétés de la loi normale :
  • Symétrie par rapport à la moyenne μ.
  • Environ 68% des valeurs sont comprises entre μ - σ et μ + σ.
  • Environ 95% entre μ - 2σ et μ + 2σ.
  • Environ 99,7% entre μ - 3σ et μ + 3σ.
• Table de la loi normale standard : outil permettant de connaître la probabilité Pr(Z < z) pour une valeur critique z. Utilisée pour calculer les probabilités associées à une variable normale transformée.

📝 Points essentiels

• La taille des étudiants ou l’âge des premiers mots suit souvent une loi normale, permettant d’estimer la proportion d’individus dans certains intervalles.
• La transformation en variable centrée réduite facilite l’utilisation de la table pour calculer des probabilités.
• La surface sous la courbe de la densité normale entre deux valeurs donne la probabilité que la variable prenne une valeur dans cet intervalle.
• La règle empirique (68-95-99,7) permet d’estimer rapidement la dispersion des données autour de la moyenne.
• La probabilité qu’une variable normale s’éloigne de la moyenne de plus de 3 écarts-types est très faible (~0,03%).

💡 À retenir

La loi normale permet d’estimer rapidement la proportion d’individus dans un intervalle donné en utilisant la transformation en variable centrée réduite et la table de la loi normale standard, ce qui est essentiel pour analyser l’âge d’apparition des premiers mots chez l’enfant.

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la moyenne 𝝁 avec la médiane ou le mode, qui coïncident uniquement dans une loi normale symétrique.
2. Oublier que la surface sous la courbe de densité est toujours égale à 1.
3. Confondre la densité $f(x)$ avec la probabilité $P(a \leq X \leq b)$ : il faut intégrer $f(x)$ sur l’intervalle.
4. Utiliser la table Z sans transformer la variable X en Z.
5. Se méfier des faux-amis : "normal" ne signifie pas "moyen" mais "distribution en forme de cloche".
6. Confondre la largeur de la courbe (écart-type) avec la hauteur de la densité.
7. Croire que 𝝁 et 𝝈 peuvent être n’importe quels chiffres sans vérifier leur cohérence avec le contexte.

✅ Checklist Examen

• Vérifier que la variable suit une loi normale ou que la situation s’y prête.
• Identifier et écrire les paramètres 𝝁 et 𝝈.
• Représenter la courbe en indiquant la moyenne et l’écart-type.
• Calculer la transformation Z pour toute valeur X donnée.
• Utiliser la table Z pour retrouver la probabilité associée.
• Appliquer la règle empirique pour déterminer la proportion d’observations dans un intervalle.
• Interpréter correctement la surface sous la courbe comme une probabilité.
• Vérifier si l’intervalle considéré est centré autour de 𝝁 ou non.
• S’assurer que la somme des probabilités dans un intervalle est cohérente avec la surface sous la courbe.
• Résoudre un problème d’intervalle de confiance en utilisant la loi normale.
• Résoudre un problème d’application avec taille d’étudiants, factures ou âge en utilisant la loi normale.
• Vérifier la cohérence entre la question posée et la formule ou méthode utilisée.
• Finir par relire l’énoncé pour s’assurer que la réponse est adaptée.