Fiche de révision : Maîtrise des équations et fonctions élémentaires

📋 Plan du Cours

1. Fonction : définition et exemple
2. Calculs de valeurs de f
3. Image et antécédent d’un nombre
4. Équations : définition
5. Résolution d’une équation : étapes
6. Propriétés d’égalité pour isoler x
7. Équations linéaires : exemples guidés
8. Équations produit nul : factorisation

📖 1. Fonction : définition et exemple

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque valeur de $x$ une valeur unique appelée $f(x)$.
• Image : L’image d’un nombre $x$ est la valeur obtenue après application de la fonction, notée $f(x)$.
• Antécédent : Un antécédent d’une valeur $y$ est un nombre $x$ tel que $f(x)=y$.
• Écriture $f(x)$ : L’expression $f(x)$ désigne le nombre associé à l’entrée $x$ par la règle de la fonction.

📝 Points essentiels

• La définition attendue est une association de chaque $x$ vers un nombre, sans ambiguïté sur la valeur obtenue.
• Exemple donné : $f(x)=3x+1$ associe à $x$ le nombre $3x+1$.
• On lit $f(0)=1$ et $f(1)=4$ comme des valeurs calculées à partir de la règle de $f$.
• La suite $f(0)=1, f(1)=4, f(2)=7$ montre le même schéma d’augmentation de la valeur associée.
• Dans l’exemple de $g$, la règle est $g(x)=5x$ avec $x=1,2,3,\\dots$.
• L’exemple de $g$ illustre qu’une fonction peut être définie par une formule reliant une grandeur à une autre.

💡 Astuce mémo

Entrée $x$ → sortie $f(x)$ : une fonction, c’est une machine à une seule sortie par entrée.

📖 2. Calculs de valeurs de f

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur $f(n)$ : Une valeur de fonction est le résultat obtenu en remplaçant l’entrée $x$ par un nombre précis $n$ dans la formule.
• Substitution : La substitution consiste à remplacer $x$ par une valeur numérique dans l’expression de la fonction.
• Évaluation : L’évaluation d’une fonction est le calcul effectif de $f(x)$ pour des $x donnés.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=3x+1$, calculer $f(0)$ revient à remplacer $x$ par $0$ : on obtient $1$.
• Pour $f(x)=3x+1$, calculer $f(1)$ revient à remplacer $x$ par $1$ : on obtient $4$.
• Dans l’exemple $g(x)=5x$, on a $g(1)=5$, $g(2)=10$ et $g(3)=15$.
• Dans les exercices, si $f(x)=5x$, alors $f(3)=15$, $f(5)=25$ et $f(7)=35$.
• Le tableau 1 (pour $x=1$ à $10$) suit la règle $f(x)=5x$ : par exemple $f(10)=50$.
• Le tableau 2 (pour $x=11$ à $20$) suit aussi $f(x)=5x$ : par exemple $f(20)=100$.

💡 Astuce mémo

Si la règle est $f(x)=5x$, alors “multiplier par 5” suffit pour chaque ligne du tableau.

📖 3. Image et antécédent d’un nombre

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un nombre : L’image d’un nombre $x$ par $g$ est la valeur $g(x)$ obtenue en appliquant la règle à $x$.
• Antécédent par une fonction : Un antécédent d’une valeur $y$ par $g$ est un $x$ qui vérifie $g(x)=y$.
• Équation d’antécédent : Chercher un antécédent revient à résoudre une équation obtenue en remplaçant $g(x)$ par la valeur demandée.

📝 Points essentiels

• L’exemple “$g(x)=12$” illustre que $12$ est une image quand on connaît l’entrée $x$ correspondante.
• Pour trouver un antécédent de $12$, on impose $g(x)=12$ puis on résout pour $x$.
• Dans l’exemple, $g(x)=12$ devient $5x=12$ car la règle donnée est $g(x)=5x$.
• On obtient alors $x=\\frac{12}{5}$ comme antécédent de $12$ pour la fonction $g$.
• La démarche “valeur demandée → équation → résolution” est le fil conducteur pour les antécédents.
• Le cours relie explicitement image et antécédent via l’égalité $g(x)=\\text{valeur}$.

💡 Astuce mémo

Image = sortie ; antécédent = entrée : pour l’antécédent, tu “remontes” avec $g(x)=y$.

📖 4. Équations : définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Une équation est une égalité qui contient une valeur inconnue, notée ici $x$, à déterminer.
• Inconnue : L’inconnue est le nombre $x$ présent dans l’égalité et que l’on cherche à trouver.
• Égalité : Une égalité affirme que deux expressions ont la même valeur numérique.

📝 Points essentiels

• Une équation est une égalité où apparaît une valeur inconnue $x$.
• Exemple donné : $3x+5=11$ contient l’inconnue $x$ et une égalité entre deux membres.
• Le but d’une équation est de trouver des valeurs de $x$ qui rendent l’égalité vraie.
• Les “membres” sont les deux côtés de l’égalité (gauche et droite).
• La résolution vise toutes les valeurs possibles de $x$ satisfaisant l’égalité.
• Le cours utilise $x$ comme lettre standard pour l’inconnue dans les exemples.

💡 Astuce mémo

Équation = “égalité avec $x$ dedans” : tu cherches les $x$ qui rendent gauche = droite.

📖 5. Résolution d’une équation : étapes

🔑 Notions clés & Définitions

• Résoudre une équation : Résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’égalité vraie.
• Membres de l’équation : Les membres de l’équation sont les deux expressions séparées par le signe “$=$”.
• Isoler l’inconnue : Isoler l’inconnue consiste à transformer l’équation pour obtenir $x$ seul d’un côté.

📝 Points essentiels

• Étape 1 : identifier les membres de l’équation (ce qui est à gauche et à droite).
• Étape 2 : isoler le terme contenant l’inconnue d’un membre.
• Propriété 1 : ajouter ou soustraire la même quantité aux deux membres conserve l’égalité.
• Propriété 2 : multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul conserve l’égalité.
• La méthode d’isolement s’appuie sur des transformations “symétriques” des deux côtés.
• Les exemples montrent que l’isolement se fait d’abord par soustraction, puis par division quand c’est nécessaire.

💡 Astuce mémo

Toujours faire la même opération des deux côtés : soustraire pour enlever, diviser pour isoler.

📖 6. Propriétés d’égalité pour isoler x

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété d’addition : On peut ajouter ou soustraire une même quantité aux deux membres d’une égalité sans changer l’ensemble des solutions.
• Propriété de multiplication : On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une égalité par un même nombre non nul sans changer l’ensemble des solutions.
• Nombre non nul : Un nombre non nul est un facteur qui permet une division sans rendre l’opération impossible.

📝 Points essentiels

• Propriété 1 : ajouter ou soustraire la même quantité aux deux membres garde l’égalité vraie.
• Propriété 1 s’utilise typiquement pour supprimer un terme constant ou un terme ajouté à $x$.
• Propriété 2 : multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul conserve l’égalité.
• Propriété 2 s’utilise typiquement pour enlever un coefficient devant $x$.
• La division n’est autorisée que si le nombre utilisé est non nul.
• Les exemples appliquent ces propriétés : soustraction pour isoler puis division pour obtenir $x$.

💡 Astuce mémo

Soustraction enlève, division “débarrasse” du coefficient : mais division seulement si c’est non nul.

📖 7. Équations linéaires : exemples guidés

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation linéaire : Une équation linéaire est une équation où l’inconnue $x$ apparaît à la puissance 1.
• Terme en $x$ : Un terme en $x$ est une partie de l’expression qui dépend de $x$, par exemple $x$ ou $3x$.
• Développement : Développer une expression consiste à la transformer en une somme de termes plus simples.

📝 Points essentiels

• Pour $x+5=10$, on isole $x$ en soustrayant $5$ des deux membres : on obtient $x=5$.
• Pour $3x=12$, on isole $x$ en divisant les deux membres par $3$ : on obtient $x=4$.
• Pour $2(x+3)=10$, on développe d’abord : $2x+6=10$.
• Après développement, on soustrait $6$ des deux membres : $2x=4$.
• Puis on divise par $2$ : $x=2$.
• Les trois exemples montrent le même schéma : isoler par opérations inverses, avec développement si nécessaire.

💡 Astuce mémo

Linéraire : coefficient devant $x$ → division ; constante ajoutée → soustraction ; parenthèses → développement.

📖 8. Équations produit nul : factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit nul : Un produit nul est une égalité du type $(A)(B)=0 où au moins un des facteurs doit être nul.
• Factorisation : Factoriser consiste à réécrire une expression comme un produit de facteurs.
• Facteurs : Les facteurs sont les expressions multipliées entre elles dans une factorisation.

📝 Points essentiels

• Pour $(x-1)(x+2)=0, on applique la règle du produit nul :$x-1=0$ou$x+2=0$.
• On obtient alors $x=1$ ou $x=-2$ comme solutions.
• Dans l’exemple $7x(x-3)+2(x-3)=0$, on factorise par $(x-3)$.
• La factorisation donne $(x-3)(7x+2)=0.
• On obtient deux solutions : $x-3=0$ donc $x=3$.
• On obtient aussi $7x+2=0$ donc $x=-\\frac{2}{7}$.

💡 Astuce mémo

Produit nul : “si ça vaut 0, c’est que l’un des facteurs vaut 0”.

📊 Tableaux de synthèse

Opérations qui gardent l’égalité

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image est la sortie $g(x)$, l’antécédent est l’entrée $x$ qui donne cette sortie.
2. Oublier que la division dans la propriété d’égalité exige un nombre non nul.
3. Chercher $x$ sans isoler correctement : il faut transformer les deux membres de façon symétrique.
4. Dans une équation avec parenthèses, oublier de développer avant de soustraire ou diviser.
5. Pour une équation produit nul, ne pas conclure “au moins un facteur nul” et donc ne pas trouver toutes les solutions.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’une fonction et interpréter $f(x)$ comme la valeur associée à $x$.
2. Savoir calculer des valeurs de fonction par substitution (ex. $f(0)$, $f(1)$, et des valeurs de type $5x$).
3. Savoir distinguer image et antécédent et écrire l’équation $g(x)=y$ pour trouver un antécédent.
4. Savoir définir une équation et identifier les membres gauche et droite.
5. Savoir résoudre une équation en isolant l’inconnue avec les propriétés d’égalité (addition/soustraction, multiplication/division non nulle).
6. Savoir résoudre des équations linéaires du type $x+5=10$, $3x=12$, et $2(x+3)=10$ en suivant les étapes.
7. Savoir résoudre une équation produit nul en factorisant si besoin puis en posant chaque facteur égal à 0.