Fiche de révision : Maîtrise des suites géométriques et arithmétiques

📋 Plan du Cours

1. Réduction d’émissions et suite géométrique
2. Reconnaître et représenter une suite géométrique
3. Calculer un terme d’une suite géométrique
4. Somme des n premiers termes d’une suite géométrique
5. Évaluation sur suites géométriques
6. Niveaux sonores et suite géométrique
7. Automatismes sur suites arithmétiques
8. Lecture graphique d’une suite
9. Utiliser des pourcentages en calcul

📖 1. Réduction d’émissions et suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Pollueur-payeur : Principe selon lequel plus une activité pollue, plus le montant de la taxe à payer augmente.
• Coefficient de diminution : Facteur multiplicatif $q$ associé à une baisse de $p\%$ : on multiplie par $1-\frac{p}{100}$ à chaque étape.
• Suite géométrique : Suite où chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante $q$.

📝 Points essentiels

• La réduction annuelle de 10 % correspond à un coefficient $q=0{,}90$.
• Si on part d’une masse de 7 500 kg, alors après 1 an on obtient 7 500×0,90=6 750 kg.
• Après 7 ans, la masse vaut 3 587,22675 kg avec la multiplication répétée par 0,90.
• Pour réduire de 50 %, on cherche à atteindre la moitié de la valeur de départ.
• La situation conclut que l’objectif de -50 % est atteint en 7 ans.

💡 Astuce mémo

Baisse de 10 % → on garde 90 % → on multiplie par 0,90.

📖 2. Reconnaître et représenter une suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Raison d’une suite géométrique : Constante $q$ telle que $u_{n+1}=q\,u_n$, valable pour tous les $n$.
• Rapport de deux termes consécutifs : Quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ qui doit rester constant pour que la suite soit géométrique.
• Représentation graphique : Placement des points de coordonnées $(n\,;\,u(n))$ dans un repère orthogonal pour analyser la suite.
• Suite géométrique : Suite dont les termes sont obtenus par multiplication par une même valeur $q$.

📝 Points essentiels

• Dans l’activité bactéries, le nombre double toutes les 20 minutes, donc $u_{n+1}=2\,u_n$.
• On calcule $\frac{u_2}{u_1}=2$, $\frac{u_3}{u_2}=2$ et $\frac{u_4}{u_3}=2$ : les rapports sont constants.
• La raison vaut $q=2$ pour la suite bactérienne.
• Pour vérifier une relation, on compare $u_{n+1}$ à $q\,u_n$ plutôt qu’à une addition ou une mise au carré.
• La représentation graphique se fait avec les points $(n;u(n))$ et permet de voir le sens de variation.

💡 Astuce mémo

Rapports constants : quotient fixe $q$ → suite géométrique.

📖 3. Calculer un terme d’une suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Terme de rang n : Valeur $u_n$ correspondant à l’étape $n$ d’une suite.
• Premier terme : Valeur initiale $u_1$ donnée au départ de la suite.
• **Raison $q** : Facteur constant reliant deux termes consécutifs :$u_{n+1}=q,u_n$.
• Formule du terme : Expression reliant $u_n$ à $u_1$ et à $q$ pour calculer directement un rang donné.

📝 Points essentiels

• Dans l’investissement, la production augmente de 9 % par an, donc $q=1{,}09$.
• On obtient $u_2=25\,000×1{,}09=27\,150$ puis $u_3=27\,150×1{,}09=29\,702$ (arrondi à l’unité).
• La suite de production est géométrique car elle multiplie chaque année par $1{,}09$.
• Le texte indique que $u_n$ s’exprime avec $u_1$ et $q$ (forme utilisée ensuite : $u_n=u_1\times q^{n-1}$).
• Pour l’exemple des plaques sonores, $u_4=u_1\times q^3=90×0{,}85^3=58{,}34$ dB.

💡 Astuce mémo

Pour calculer $u_n$ : on multiplie $u_1$ par $q^{n-1}$.

📖 4. Somme des n premiers termes d’une suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des n premiers termes : Total $S$ des valeurs $u_1+u_2+\dots+u_n$ d’une suite.
• Formule de la somme : Expression qui calcule $S$ directement à partir de $u_1$, $q$ et $n$.
• Raison $q$ : Facteur constant reliant deux termes consécutifs d’une suite géométrique.
• Suite géométrique : Suite où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par $q$.

📝 Points essentiels

• Dans l’emprunt, la première annuité vaut $u_1=20\,000\,€$.
• L’annuité augmente de 5 % : la raison est $q=1{,}05$.
• Le texte donne $u_{10}=20\,000×(1{,}05)^9=31\,026$ (calcul direct).
• La somme s’écrit $S=u_1\times\frac{q^n-1}{q-1}$ pour les $n$ premiers termes.
• Le montant total indiqué est $S=251\,555{,}79$ pour les 10 annuités.

💡 Astuce mémo

Somme géométrique : $u_1$ fois (différence de puissances) sur (différence de raison).

📖 5. Évaluation sur suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Égalité qui relie $u_{n+1}$ à $u_n$ via une opération (ici multiplication par $q$).
• **Suite géométrique définie par $u_{n+1}=u_n\times q** : Forme standard où la suite est entièrement déterminée par le premier terme et la raison$q$.
• Coefficient multiplicatif : Facteur $q$ qui transforme un terme en le terme suivant.

📝 Points essentiels

• L’évaluation vise le calcul d’un terme de rang donné d’une suite géométrique.
• La suite est définie par $u_{n+1}=u_n\times q$ et la donnée du premier terme.
• La situation ISOPHO réduit le niveau sonore de 15 % à chaque plaque, donc le coefficient est $q=0{,}85$.
• Le tableau donne : après 1 plaque 80,75 dB, après 2 plaques 68,64 dB, après 3 plaques 58,34 dB.
• Pour obtenir moins de 60 dB, on résout $u_n\le 60$ et le résultat annoncé est 4 plaques.

💡 Astuce mémo

-15 % → on multiplie par 0,85 à chaque plaque.

📖 6. Niveaux sonores et suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Niveau sonore en dB : Valeur exprimée en décibels utilisée ici comme grandeur qui diminue à chaque pose de plaque.
• Réduction de 15 % : Baisse relative appliquée à chaque étape, traduite par un coefficient multiplicatif constant.
• Suite géométrique des niveaux : Suite $(u_n)$ des niveaux sonores après $n$ plaques, où chaque terme est obtenu par multiplication par $q$.
• Inégalité sur un rang : Condition du type $u_n\le 60$ qui permet de déterminer le nombre minimal d’étapes.

📝 Points essentiels

• Le niveau initial est 95 dB avant toute plaque.
• Après 1 plaque : $95×0{,}85=80{,}75$ dB (arrondi à 0,01 dB).
• Après 2 plaques : $80{,}75×0{,}85=68{,}64$ dB et après 3 plaques : $68{,}64×0{,}85=58{,}34$ dB.
• La suite est géométrique car $\frac{u_{n+1}}{u_n}=0{,}85$ (rapport constant).
• On calcule $n$ avec $60=90×0{,}85^{n-1}$ puis $n=3{,}82$, donc il faut 4 plaques.

💡 Astuce mémo

Objectif <60 : on cherche le premier $n$ tel que $90×0{,}85^{n-1}\le 60$.

📖 7. Automatismes sur suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Suite où la différence entre deux termes consécutifs est constante.
• Raison d’une suite arithmétique : Différence constante $r$ telle que $u_{n+1}=u_n+r$.
• Premier terme : Valeur initiale $u_1$ de la suite arithmétique.
• Formule du terme : Expression donnant $u_n$ à partir de $u_1$, $r$ et $n$.

📝 Points essentiels

• Pour $u_1=5$ et $r=2$, le 10e terme vaut $u_{10}=5+(10-1)×2=23$.
• Pour $u_1=7$ et $r=-3$, le 8e terme vaut $u_8=7+(8-1)×(-3)=-14$.
• Si $u_1=12$ et $u_3=26$, alors la raison vaut $r=\frac{u_3-u_1}{3-1}=7$.
• Avec cette raison, le 2e terme vaut $u_2=u_1+r=12+7=19$.
• Le calcul utilise toujours le nombre de pas : $n-1$ fois la raison.

💡 Astuce mémo

Suite arithmétique : $u_n=u_1+(n-1)\times r$ (nombre de pas = $n-1$).

📖 8. Lecture graphique d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthogonal : Système de coordonnées avec axes perpendiculaires permettant de lire des valeurs.
• Lecture de coordonnées : Méthode pour retrouver $n$ et $u_n$ à partir d’un point du graphique.
• Suite $(u_n)$ : Suite de valeurs associées aux indices $n$.

📝 Points essentiels

• Le graphique représente les termes d’une suite $(u_n)$ sous forme de points ou courbe associée à $n$.
• Si $n=1$, la lecture donne $u_1=1$.
• Si $u_n=2$, la lecture donne $n=2$.
• Si $n=3$, la lecture donne $u_3=4$.
• Si $u_n=8$, la lecture donne $n=8$.

💡 Astuce mémo

On lit : soit l’abscisse $n$, soit l’ordonnée $u_n$, selon ce qui est donné.

📖 9. Utiliser des pourcentages en calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Pourcentage : Valeur exprimée comme une fraction de 100, utilisée pour calculer une proportion.
• Calcul d’un pourcentage : Méthode : multiplier par le pourcentage puis diviser par 100.
• Augmentation en pourcentage : Transformation où un prix devient $\text{prix}×(1+\frac{p}{100})$.
• Conversion fraction décimale : Équivalence entre une fraction, un nombre décimal et un pourcentage.

📝 Points essentiels

• 4 % de 1 200 € vaut $\frac{4×1200}{100}=48\,EUR$.
• Une augmentation de 15 € sur un prix de 300 € correspond à $\frac{15}{300}×100=5\%$.
• Le tableau relie 0,5 à 50 %, 0,07 à 7 % et 0,25 à 25 %.
• La fraction associée à 0,5 est 1/2, à 0,07 est 7/100 et à 0,25 est 1/4.
• Les conversions servent à passer d’un pourcentage à un coefficient multiplicatif ou à une fraction.

💡 Astuce mémo

Pourcentage : $\%$ → diviser par 100 après multiplication.

📊 Tableaux de synthèse

Reconnaître une suite géométrique

Pourcentages et coefficients

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre suite arithmétique et géométrique : en géométrique on multiplie, en arithmétique on ajoute une constante.
2. Prendre 10 % comme coefficient 0,10 au lieu de 0,90 : une baisse de 10 % garde 90 %.
3. Se tromper dans l’exposant : pour $u_n=u_1\times q^{n-1}$, l’exposant est $n-1$ et non $n$.
4. Utiliser la mauvaise formule de somme : la somme géométrique nécessite $\frac{q^n-1}{q-1}$.
5. Lire un graphique en inversant abscisse et ordonnée : $n$ correspond à l’axe horizontal, $u_n$ à l’axe vertical.

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître une suite géométrique en vérifiant que $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est constant ou que $u_{n+1}=q\,u_n$.
2. Savoir calculer un terme $u_n$ à partir de $u_1$ et $q$ avec la forme $u_n=u_1\times q^{n-1}$.
3. Savoir calculer la somme $S$ des $n$ premiers termes d’une suite géométrique avec $S=u_1\times\frac{q^n-1}{q-1}$.
4. Savoir modéliser une baisse/hausse en pourcentage par un coefficient multiplicatif $q=1\pm\frac{p}{100}$.
5. Savoir résoudre une inégalité du type $u_n\le 60$ pour déterminer le nombre minimal d’étapes.
6. Savoir calculer des termes de suites arithmétiques avec $u_n=u_1+(n-1)\times r$.
7. Savoir lire sur un repère orthogonal la valeur de $u_n$ quand $n$ est donné, et inversement.