Fiche de révision : Maîtrise des équations-produit et racines carrées

📋 Plan du Cours

1. Équation-produit nul
2. Résolution d'une équation-produit nul
3. Cas de l'équation x² = a
4. Résolution d'équations x² = a

📖 1. Équation-produit nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation-produit nul : Une équation-produit nul est une égalité où l’un des membres est un produit de facteurs et l’autre membre vaut 0.
• Produit de facteurs : Un produit de facteurs est une expression qui multiplie plusieurs facteurs entre eux, comme A×B.

📝 Points essentiels

• Une équation est une équation-produit nul si une partie est un produit et l’autre membre est exactement 0.
• Un exemple d’équation-produit nul est 2x+4( )3x−5( )=0, où l’un des membres vaut 0.
• 2x+4( ) + 3x−5( )=0 n’est pas une équation-produit car le premier membre n’est pas un produit.
• 2x+4( )3x−5( )=10 n’est pas une équation-produit nul car le second membre n’est pas égal à 0.

💡 Astuce mémo

Produit = multiplication ; Zéro = membre égal à 0, donc “multiplication égale 0”.

📖 2. Résolution d'une équation-produit nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque du produit nul : La propriété du produit nul affirme que si un produit vaut 0, alors au moins un des facteurs est nul.
• Ensemble des solutions : L’ensemble des solutions regroupe toutes les valeurs de l’inconnue qui rendent l’équation vraie.

📝 Points essentiels

• Pour résoudre, on applique la propriété : si A×B=0 alors A=0 ou B=0.
• Dans 2x+4( )3x−5( )=0, on obtient x=−2 ou x=5 comme solutions.
• On note alors S={−2;5} pour les solutions de 2x+4( )3x−5( )=0.
• Dans 7y−5y+3( )=0, on obtient y=0 ou y=−3 comme solutions.
• On note alors S={0;−3} pour les solutions de 7y( )−5y+3( )=0.

💡 Astuce mémo

Zéro “casse” le produit : au moins un facteur doit s’annuler.

📖 3. Cas de l'équation x² = a

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée positive : Pour un nombre positif a, la racine carrée de a est le nombre positif dont le carré vaut a.
• Équation x² = a : Une équation du type x²=a consiste à chercher les valeurs de x dont le carré est égal à a.
• Aucune solution : Dire que l’équation n’admet aucune solution signifie qu’il n’existe aucune valeur réelle de x qui vérifie l’égalité.

📝 Points essentiels

• Si a<0, l’équation x²=a n’admet aucune solution car aucun carré réel ne peut valoir un nombre négatif.
• Si a=0, l’équation x²=0 admet une unique solution : x=0.
• Si a>0, l’équation x²=a admet deux solutions : x=√a et x=−√a.
• On utilise aussi que √a est le nombre positif tel que (√a)²=a.

💡 Astuce mémo

Carré réel toujours ≥0 : négatif donne “aucune solution”, zéro donne “une”, positif donne “deux”.

📖 4. Résolution d'équations x² = a

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation x² = 25 : L’équation x²=25 fournit les valeurs de x dont le carré vaut 25.
• Équation x² = −9 : L’équation x²=−9 cherche des x dont le carré vaut −9.
• Équation (x−11)² = 169 : L’équation (x−11)²=169 cherche les valeurs de x rendant égal à 169 le carré de x−11.

📝 Points essentiels

• Pour x²=25, comme 25>0, les solutions sont x=5 et x=−5.
• Pour 3x²=21, on simplifie en x²=7 puis, comme 7>0, les solutions sont x=√7 et x=−√7.
• Pour x²=−9, comme −9<0, l’équation n’admet aucune solution.
• Pour 16x²−7=9, on obtient x²=1 puis les solutions sont x=1/4 et x=−1/4.
• Pour (x−11)²=169, on a x−11=13 ou x−11=−13, donc x=24 ou x=−2.

💡 Astuce mémo

Toujours viser x seul : si c’est un carré, deux racines avec des signes opposés (ou aucune si a<0).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre “produit” et “somme” : si c’est une addition comme A+B, ce n’est pas une équation-produit.
2. Croire que “égal à 0” suffit : si le membre égal à 0 n’a pas un produit de facteurs de l’autre côté, ce n’est pas une équation-produit nul.
3. Oublier la condition “au moins un facteur nul” : de A×B=0 on ne déduit pas A=B=0, mais A=0 ou B=0.
4. Mauvais signe lors des solutions de x²=a : pour a>0, il faut chercher deux valeurs opposées, pas une seule.
5. Traiter a<0 comme s’il existait des solutions réelles : x²=a avec a négatif n’a aucune solution réelle.
6. En cas de forme (x−11)²=a, oublier que l’on résout d’abord x−11=±√a avant de calculer x.

✅ Checklist Examen

1. Identifier si une équation est une équation-produit nul en vérifiant qu’un membre est un produit et que l’autre membre vaut 0.
2. Déterminer les facteurs à mettre séparément à zéro dans une équation-produit nul.
3. Résoudre une équation-produit nul en appliquant A×B=0 ⇒ A=0 ou B=0.
4. Calculer les solutions pour 2x+4( )3x−5( )=0 et donner S sous forme d’ensemble.
5. Calculer les solutions pour 7y 5y+3( )=0 et donner S sous forme d’ensemble.
6. Utiliser le signe de a pour décider si x²=a a 0, 1 ou 2 solutions réelles.
7. Donner les solutions de x²=a quand a>0 sous la forme √a et −√a.
8. Résoudre x²=25 et vérifier que les solutions sont 5 et −5.
9. Résoudre une équation ramenée à x²=a, par exemple 3x²=21.
10. Résoudre une équation linéaire en x², par exemple 16x²−7=9, jusqu’à trouver x² puis x.
11. Résoudre une équation avec carré d’une expression, par exemple (x−11)²=169, via x−11=±√169.
12. Conclure correctement “aucune solution” pour x²=−9 et pour toute équation x²=a avec a<0.