QCM : Maîtrise des limites de suites — 18 questions

Question 1

1. Que signifie le fait qu’une suite admet une limite réelle finie égale à l ?

Ses termes deviennent tous égaux à l dès le rang 0

Ses termes oscillent sans se rapprocher d’une valeur fixe

Ses termes restent dans un intervalle ouvert centré en l à partir d’un certain rang

Ses termes sont toujours compris entre 0 et l

Explication

Une suite a pour limite réelle l si, à partir d’un certain rang, tous ses termes appartiennent à tout intervalle ouvert centré en l. Cela exprime que les termes se rapprochent de l quand n devient grand.

Answer

Ses termes restent dans un intervalle ouvert centré en l à partir d’un certain rang

Question 2

2. Quelle propriété est nécessaire pour qu’une suite ait une limite unique ?

Elle doit être géométrique

Elle doit être monotone

Si elle admet une limite, cette limite est unique

Elle doit être bornée

Explication

Le cours indique que dès qu’une suite admet une limite, cette limite est unique. La monotonie ou la bornitude ne suffisent pas à elles seules à garantir cette unicité.

Answer

Si elle admet une limite, cette limite est unique

Question 3

3. Comment caractérise-t-on une suite majorée ?

Il existe un réel m tel que tous ses termes vérifient u_n \ge m

Il existe un réel M tel que tous ses termes vérifient u_n \le M

Ses termes finissent par être strictement positifs

Il existe deux réels m et M tels que m \le u_n \le M

Explication

Une suite est majorée s’il existe un plafond M au-dessus duquel aucun terme ne monte. La condition avec deux bornes correspond plutôt à une suite bornée.

Answer

Il existe un réel M tel que tous ses termes vérifient u_n \le M

Question 4

4. Quelle affirmation décrit correctement une suite bornée ?

Elle est forcément convergente

Elle ne peut pas osciller

Elle tend nécessairement vers 0

Elle est à la fois majorée et minorée

Explication

Une suite bornée est encadrée entre une borne inférieure et une borne supérieure, donc elle est à la fois majorée et minorée. En revanche, elle peut très bien osciller sans converger.

Answer

Elle est à la fois majorée et minorée

Question 5

5. Que conclut-on si u_n \le v_n à partir d’un certain rang et si v_n tend vers +∞ ?

Aucune conclusion n’est possible

u_n tend vers la même limite finie que v_n

u_n tend vers +∞

u_n tend vers 0

Explication

Par le théorème de comparaison des limites, une suite située en dessous d’une suite qui diverge vers +∞ diverge elle aussi vers +∞. Le sens de l’inégalité est compatible avec la divergence de référence.

Answer

u_n tend vers +∞

Question 6

6. Que permet de déduire le théorème de comparaison si u_n \ge v_n à partir d’un certain rang et si v_n tend vers -∞ ?

u_n tend vers -∞

u_n tend vers +∞

u_n converge vers une valeur finie

u_n est nécessairement bornée

Explication

Si une suite est au-dessus d’une suite qui plonge vers -∞, elle doit elle aussi tendre vers -∞. Le théorème fonctionne dans le sens de la divergence de la suite de comparaison.

Answer

u_n tend vers -∞

Question 7

7. Dans le théorème des gendarmes, quelle condition d’encadrement doit vérifier la suite u_n ?

u_n = v_n = w_n pour tout n

u_n \le v_n + w_n pour tout n

v_n < w_n et u_n est quelconque

v_n \le u_n \le w_n à partir d’un certain rang

Explication

Le théorème exige un encadrement double du type v_n \le u_n \le w_n à partir d’un certain rang. Sans cette inégalité des deux côtés, on ne peut pas conclure par les gendarmes.

Answer

v_n \le u_n \le w_n à partir d’un certain rang

Question 8

8. Que peut-on conclure si v_n \le u_n \le w_n et si v_n et w_n convergent vers la même limite l ?

u_n converge aussi vers l

u_n converge forcément plus lentement que v_n

u_n diverge vers +∞

u_n n’a pas de limite

Explication

Si deux suites encadrantes convergent vers la même valeur, la suite intermédiaire converge vers cette même valeur. C’est précisément le principe du théorème des gendarmes.

Answer

u_n converge aussi vers l

Question 9

9. Quelle est la limite de q^n lorsque q > 1 ?

+∞

0

1

La suite ne converge pas

Explication

Quand q est strictement supérieur à 1, les puissances q^n grandissent sans borne. La limite est donc +∞.

Answer

Elle ne converge pas

Answer

Elle diverge vers +∞

Answer

On a u_n ≤ l pour tout n

Answer

Quand v_n tend vers une valeur non nulle

Answer

Factoriser par le terme de plus haut degré

Question 10

10. Quel comportement a la suite q^n lorsque q \le -1 ?

Elle converge vers 1

Elle ne converge pas

Elle converge vers 0

Elle converge vers une valeur négative

Explication

Pour q \le -1, la suite géométrique ne converge pas, notamment à cause des alternances de signe et d’amplitude. Le cas q = -2 illustre cette absence de limite.

Question 11

11. Quelle conclusion s’impose pour une suite croissante qui n’est pas majorée ?

Elle diverge vers +∞

Elle diverge vers −∞

Elle converge vers 0

Elle converge vers une limite finie

Explication

Une suite croissante non majorée ne peut pas se stabiliser vers une valeur finie ; elle tend vers +∞. La majoration est donc la condition qui distingue convergence et divergence vers +∞ pour une suite croissante.

Question 12

12. Si une suite croissante admet une limite finie l, quelle propriété vérifie-t-elle pour tout n ?

On a u_n = l pour tout n

On a u_n < 0 pour tout n

On a u_n ≥ l pour tout n

On a u_n ≤ l pour tout n

Explication

Pour une suite croissante convergente vers l, tous ses termes restent inférieurs ou égaux à la limite. Cela traduit le fait qu’une suite croissante qui converge est nécessairement majorée par sa limite.

Question 13

13. Que vaut la limite de la somme de deux suites quand u_n → l et v_n → l' ?

l − l'

l / l'

l × l'

l + l'

Explication

Lorsque les deux limites existent et qu’il n’y a pas de forme indéterminée, la limite de la somme est la somme des limites. On obtient donc l + l'.

Question 14

14. Dans quel cas peut-on conclure que u_n / v_n tend vers l / l' ?

Quand v_n tend vers 0

Quand u_n et v_n sont seulement bornées

Quand u_n tend vers +∞

Quand v_n tend vers une valeur non nulle

Explication

La règle du quotient s’applique lorsque le dénominateur converge vers une valeur non nulle. Si v_n tend vers 0, on tombe au contraire dans une situation potentiellement indéterminée ou divergente.

Question 15

15. Quelle forme est une forme indéterminée classique pour un produit de suites ?

l / l'

l + l'

1 × 1

0 × ∞

Explication

Le produit 0 × ∞ ne permet pas de conclure directement, car l’expression peut donner des comportements différents selon les suites. C’est l’une des formes indéterminées à reconnaître avant d’appliquer une règle de limites.

Question 16

16. Quelle technique est la plus adaptée pour calculer la limite d’un quotient de polynômes en n ?

Multiplier par le plus petit degré

Additionner les termes constants

Remplacer n par 0

Factoriser par le terme de plus haut degré

Explication

Pour lever l’indétermination d’un quotient de polynômes, on factorise par le terme dominant, c’est-à-dire le terme de plus haut degré. Les termes de plus faible degré deviennent alors négligeables pour la limite.

Question 17

17. Quelle est la limite de e^x lorsque x tend vers +∞ ?

+∞

1

0

−∞

Explication

La fonction exponentielle croît sans borne quand x augmente, donc e^x tend vers +∞. Cette propriété est centrale dans l’étude des limites de l’exponentielle.

Question 18

18. Quelle est la limite de e^x lorsque x tend vers −∞ ?

1

Aucune limite

0

+∞

Explication

Quand x tend vers −∞, l’exponentielle décroît vers 0. On peut le comprendre en reliant e^x à une puissance d’une quantité de module inférieur à 1.

QCM : Maîtrise des limites de suites — 18 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que signifie le fait qu’une suite admet une limite réelle finie égale à l ?

2. Quelle propriété est nécessaire pour qu’une suite ait une limite unique ?

3. Comment caractérise-t-on une suite majorée ?

4. Quelle affirmation décrit correctement une suite bornée ?

5. Que conclut-on si u_n \le v_n à partir d’un certain rang et si v_n tend vers +∞ ?

6. Que permet de déduire le théorème de comparaison si u_n \ge v_n à partir d’un certain rang et si v_n tend vers -∞ ?

7. Dans le théorème des gendarmes, quelle condition d’encadrement doit vérifier la suite u_n ?

8. Que peut-on conclure si v_n \le u_n \le w_n et si v_n et w_n convergent vers la même limite l ?

9. Quelle est la limite de q^n lorsque q > 1 ?

10. Quel comportement a la suite q^n lorsque q \le -1 ?

11. Quelle conclusion s’impose pour une suite croissante qui n’est pas majorée ?

12. Si une suite croissante admet une limite finie l, quelle propriété vérifie-t-elle pour tout n ?

13. Que vaut la limite de la somme de deux suites quand u_n → l et v_n → l' ?

14. Dans quel cas peut-on conclure que u_n / v_n tend vers l / l' ?

15. Quelle forme est une forme indéterminée classique pour un produit de suites ?

16. Quelle technique est la plus adaptée pour calculer la limite d’un quotient de polynômes en n ?

17. Quelle est la limite de e^x lorsque x tend vers +∞ ?

18. Quelle est la limite de e^x lorsque x tend vers −∞ ?

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