Fiche de révision : Maîtrise du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition et forme développée du trinôme
2. Parabole, orientation et sommet
3. Axe de symétrie et abscisse du sommet
4. Forme canonique et sommet sous forme a(x-α)²+β
5. Racines et forme factorisée selon le nombre de solutions
6. Somme et produit des racines
7. Discriminant et résolution de l’équation du second degré
8. Factorisation via discriminant et signe du trinôme

📖 1. Définition et forme développée du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur R de la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme développée : La forme développée est l’écriture directe $f(x)=ax^2+bx+c$ du polynôme du second degré.
• Trinôme : Un trinôme est une expression du type $ax^2+bx+c$ où $a,b,c$ sont des réels et $a\neq 0$.
• Parabole : La parabole est la courbe représentative de $y=ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

• $a,b,c$ sont des réels et $a\neq 0$ pour qu’il s’agisse d’un polynôme du second degré.
• La courbe $y=ax^2+bx+c$ est une parabole.
• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut.
• Si $a<0$, la parabole est tournée vers le bas.
• Le sommet correspond au point le plus bas si $a>0$ et au point le plus haut si $a<0$.
• Le coefficient $c$ est l’ordonnée du point d’abscisse 0, donc l’intersection avec l’axe des ordonnées.

💡 Astuce mémo

Pense à $c$ comme « ordonnée à l’origine » : c’est la valeur de $f(0)$.

📖 2. Parabole, orientation et sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet de la parabole : Le sommet de la parabole est le point extrémal de la courbe, minimum si $a>0$ et maximum si $a<0$.
• Orientation de la parabole : L’orientation de la parabole dépend du signe de $a$ : vers le haut si $a>0$ et vers le bas si $a<0$.
• Courbe représentative : La courbe représentative d’un polynôme du second degré est la parabole associée à l’équation $y=ax^2+bx+c$.

📝 Points essentiels

• Le sommet est le point le plus bas lorsque la parabole est tournée vers le haut.
• Le sommet est le point le plus haut lorsque la parabole est tournée vers le bas.
• L’orientation est déterminée uniquement par le signe de $a$.
• Le sommet est un repère central pour lire les variations de $f$ via son abscisse.
• Le sommet a pour coordonnées $(x_s,y_s)$, avec $x_s$ l’abscisse du sommet.
• Le point d’intersection avec l’axe des ordonnées a pour ordonnée $c$.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ : $+$ vers le haut (minimum), $-$ vers le bas (maximum).

📖 3. Axe de symétrie et abscisse du sommet

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe de symétrie : L’axe de symétrie est la droite verticale parallèle à l’axe des ordonnées qui passe par le sommet de la parabole.
• Abscisse du sommet : L’abscisse du sommet est la coordonnée $x_s$ du sommet, qui fixe la position de l’axe de symétrie.
• Équation de l’axe de symétrie : L’équation de l’axe de symétrie est une droite de la forme $x=x_s$.

📝 Points essentiels

• L’axe de symétrie est parallèle à l’axe des ordonnées.
• L’axe de symétrie passe par le sommet.
• L’équation de l’axe de symétrie est $x=x_s$.
• Si deux points $A(x_a,y_a)$ et $B(x_b,y_b)$ ont la même ordonnée, alors le milieu de $[AB]$ appartient à l’axe.
• Dans ce cas, $x_s=(x_a+x_b)/2$.
• On peut aussi déterminer $x_s$ par la formule $x_s=-b/(2a)$.

💡 Astuce mémo

Même ordonnée ⇒ même « hauteur » : l’axe est au milieu des abscisses, donc moyenne $(x_a+x_b)/2$.

📖 4. Forme canonique et sommet sous forme a(x-α)²+β

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique est l’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ d’un polynôme du second degré.
• Sommet sous forme $(\alpha;\beta)$ : Dans $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, le sommet a pour coordonnées $(\alpha;\beta)$.
• Coordonnées du sommet : Les coordonnées du sommet sont $(\alpha,\beta)$ dans la forme canonique.
• Identités remarquables : Les identités remarquables sont des transformations algébriques utilisées pour passer à la forme canonique sans calculer directement le sommet.

📝 Points essentiels

• Toute fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ peut s’écrire sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Le point $(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole.
• On peut obtenir la forme canonique sans chercher explicitement les coordonnées du sommet en utilisant des identités remarquables.
• Exemple : $3x^2+6x+1$ se réécrit en $3(x+1)^2-2$.
• Dans l’exemple, l’abscisse du sommet est $\alpha=-1$ et l’ordonnée est $\beta=-2$.
• La forme canonique met en évidence la « distance » à l’abscisse du sommet via $(x-\alpha)^2$.

💡 Astuce mémo

Forme canonique : $x-\alpha$ au carré et $+\beta$ à la fin ⇒ sommet directement $(\alpha;\beta)$.

📖 5. Racines et forme factorisée selon le nombre de solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines du polynôme : Les racines d’un polynôme $ax^2+bx+c$ sont les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$.
• Forme factorisée : La forme factorisée est l’écriture d’un polynôme du second degré à partir de ses racines, sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$ ou $a(x-x_0)^2$.
• Racine double : Une racine double est une unique racine $x_0$ telle que le polynôme s’écrive $a(x-x_0)^2$.
• Nombre de racines : Le nombre de racines réelles d’un polynôme du second degré peut être 0, 1 ou 2 selon le discriminant.

📝 Points essentiels

• Les racines sont les abscisses des points d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses.
• Il peut y avoir 0, 1 ou 2 racines réelles.
• Si le polynôme admet deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si le polynôme admet une seule racine $x_0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$.
• Si le polynôme n’admet pas de racine, la forme factorisée n’existe pas sur R.
• Les racines sont exactement les solutions de $f(x)=0$.

💡 Astuce mémo

Factorisée = zéros : chaque facteur $(x-x_i)$ s’annule quand $x=x_i$.

📖 6. Somme et produit des racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme des racines : La somme des racines est la valeur $S=x_1+x_2$ lorsque le polynôme a deux racines distinctes.
• Produit des racines : Le produit des racines est la valeur $P=x_1x_2$ lorsque le polynôme a deux racines distinctes.
• Deux racines distinctes : Deux racines distinctes signifie que l’équation $ax^2+bx+c=0$ admet deux solutions réelles différentes $x_1$ et $x_2$.

📝 Points essentiels

• On suppose $f(x)=ax^2+bx+c$ avec deux racines distinctes $x_1$ et $x_2$.
• La somme des racines vaut $S=-b/a$.
• Le produit des racines vaut $P=c/a$.
• Ces relations relient directement les coefficients $a,b,c$ aux racines.
• Les formules s’appliquent dans le cas de deux racines distinctes.
• La somme et le produit permettent de retrouver des informations sur les racines sans les calculer toutes.

💡 Astuce mémo

Vite fait : $S=-b/a$ (le $b$ change de signe) et $P=c/a$ (le $c$ reste).

📖 7. Discriminant et résolution de l’équation du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
• Équation du second degré : Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$.
• Solution unique : Une solution unique correspond au cas où $\Delta=0$ pour l’équation $ax^2+bx+c=0$.
• Deux solutions distinctes : Deux solutions distinctes correspond au cas où $\Delta>0$ pour l’équation $ax^2+bx+c=0$.

📝 Points essentiels

• Le discriminant est défini par $\Delta=b^2-4ac$.
• Si $\Delta<0$, l’équation $ax^2+bx+c=0$ n’a pas de solution réelle.
• Si $\Delta=0$, l’équation a une unique solution réelle $x_0=-b/(2a)$.
• Si $\Delta>0$, l’équation a deux solutions réelles distinctes $x_1=(-b-\sqrt{\Delta})/(2a)$ et $x_2=(-b+\sqrt{\Delta})/(2a)$.
• Le discriminant sert à décider rapidement du nombre de solutions réelles.
• Les formules de $x_1$ et $x_2$ utilisent $\sqrt{\Delta}$ et le même dénominateur $2a$.

💡 Astuce mémo

$\Delta$ décide : négatif zéro réel, nul une racine, positif deux racines.

📖 8. Factorisation via discriminant et signe du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation selon le discriminant : La factorisation d’un trinôme dépend du discriminant : elle existe sous forme carrée si $\Delta=0$ et sous forme produit si $\Delta>0$.
• Signe d’un trinôme : Le signe d’un trinôme du second degré indique si $f(x)$ est positif, nul ou négatif selon $x$.
• **Signe de $a** : Le signe de$a$ détermine le sens de la parabole et influence le signe du polynôme à l’extérieur des racines.
• Racines et changement de signe : Les racines sont les points où le trinôme vaut 0, ce qui structure le signe de $f(x)$ sur les intervalles.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a(x-x_0)^2$ avec $x_0$ racine de $f$.
• Si $\Delta>0$, alors $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $x_1$ et $x_2$ racines de $f$.
• Si $\Delta<0$, il n’existe pas de forme factorisée sur R.
• Pour étudier le signe, on utilise le signe de $a$ et la position des racines.
• Si $a>0$ et $x_1<x_2$, alors $f(x)$ est positif à l’extérieur des racines et négatif entre $x_1$ et $x_2$.
• Si $a<0$ et $x_1<x_2$, alors $f(x)$ est négatif à l’extérieur des racines et positif entre $x_1$ et $x_2$.

💡 Astuce mémo

Extérieur des racines : même signe que $a$ ; entre les racines : signe opposé à $a$.

📊 Tableaux de synthèse

Solutions selon le discriminant

Signe du trinôme selon $a$

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ avec le produit $c/a$ des racines.
2. Croire que la factorisation existe toujours : si $\Delta<0$, il n’y a pas de factorisation sur R.
3. Se tromper de formule pour la solution unique : quand $\Delta=0$, c’est $x_0=-b/(2a)$.
4. Inverser le signe du trinôme entre les racines : pour $a>0$, c’est négatif entre $x_1$ et $x_2$.
5. Oublier que $c$ est l’ordonnée à l’origine, donc $f(0)=c$.
6. Mélanger l’axe de symétrie avec une autre droite : l’axe est toujours $x=x_s$ (vertical).

✅ Checklist Examen

1. Savoir reconnaître et écrire une fonction polynôme du second degré en forme développée $ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
2. Savoir déterminer l’orientation de la parabole (vers le haut ou vers le bas) à partir du signe de $a$ et identifier le rôle du sommet.
3. Savoir écrire l’équation de l’axe de symétrie $x=x_s$ et calculer $x_s$ avec $x_s=-b/(2a)$ ou via la moyenne des abscisses de deux points de même ordonnée.
4. Savoir passer à la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ et lire directement le sommet $(\alpha;\beta)$.
5. Savoir définir les racines comme solutions de $f(x)=0$ et relier le nombre de racines (0,1,2) à la réalité des solutions.
6. Savoir écrire la forme factorisée selon le nombre de racines : $a(x-x_1)(x-x_2)$ si deux racines distinctes, $a(x-x_0)^2$ si racine unique, et conclure l’absence de factorisation sur R si aucune racine.
7. Savoir utiliser les relations somme/produit : $x_1+x_2=-b/a$ et $x_1x_2=c/a$ quand il y a deux racines distinctes.
8. Savoir calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et résoudre l’équation $ax^2+bx+c=0$ selon le signe de $\Delta$.
9. Savoir factoriser via le discriminant (forme carrée si $\Delta=0$, produit si $\Delta>0$) et déterminer le signe du trinôme sur les intervalles à partir de $a$ et des racines.