QCM : Mathématiques 1 : fonctions et optimisation — 10 questions

Question 1

1. Sur un intervalle $I$ , quelle condition sur la dérivée permet d’affirmer qu’une fonction dérivable $f$ est croissante ?

On a

f''(x)\leq 0

pour tout

x\in I

.

On a

f'(x)\geq 0

pour tout

x\in I

.

On a

f''(x)\geq 0

pour tout

x\in I

.

On a

f'(x)\leq 0

pour tout

x\in I

.

Explication

Une dérivée positive ou nulle sur l’intervalle garantit que la fonction y est croissante. La condition portant sur $f''$ concerne plutôt la convexité ou la concavité, et non directement les variations de $f$ .

Answer

On a $$f'(x)\geq 0$$ pour tout $$x\in I$$.

Question 2

2. Quelle condition doit être remplie par la dérivée première f′(x) pour qu'une fonction f soit croissante sur un intervalle I ?

f′(x) ≥ 0 pour tout x de I

f′(x) > 0 pour tout x de I

f′(x) < 0 pour tout x de I

f′(x) ≤ 0 pour tout x de I

Explication

Une fonction est croissante si sa dérivée première est positive ou nulle sur l'intervalle. La condition f′(x) ≥ 0 garantit cette croissance, contrairement à une dérivée négative qui indiquerait une décroissance.

Answer

f′(x) ≥ 0 pour tout x de I

Question 3

3. Quelle relation caractérise la convexité d’une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ ?

Sa dérivée seconde est négative ou nulle sur

I

.

Sa dérivée première est positive ou nulle sur

I

.

Sa dérivée seconde est positive ou nulle sur

I

.

Sa dérivée première est négative ou nulle sur

I

.

Explication

Une fonction deux fois dérivable est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive ou nulle sur l’intervalle considéré. Une dérivée seconde négative ou nulle caractérise au contraire la concavité.

Answer

Sa dérivée seconde est positive ou nulle sur $$I$$.

Question 4

4. Quel est le rôle principal de la limite lorsque l'on étudie la croissance d'une fonction à l'infini ?

Identifier les points où la fonction n'est pas définie.

Calculer la valeur exacte de la fonction en un point.

Trouver la dérivée de la fonction à un point donné.

Déterminer le comportement asymptotique de la fonction.

Explication

La limite à l'infini permet de connaître le comportement asymptotique d'une fonction lorsque x tend vers l'infini ou moins l'infini. La dérivée ou la valeur en un point ne donnent pas directement cette information.

Answer

Déterminer le comportement asymptotique de la fonction.

Question 5

5. Quelle est la limite de $x^3$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ?

-\infty

0

Elle n’existe pas.

+\infty

Explication

Comme une puissance impaire conserve le signe de $x$ , $x^3$ tend vers $-\infty$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ . La limite de $x^2$ dans la même direction vaut en revanche $+\infty$ , car le carré rend les valeurs positives.

Answer

$$-\infty$$

Question 6

6. Quand une fonction à une variable atteint-t-elle un extremum local en un point critique x₀ ?

Lorsque la dérivée première f′(x₀) est positive et la dérivée seconde f′′(x₀) est négative.

Lorsque la dérivée première f′(x₀) est nulle et la dérivée seconde f′′(x₀) est nulle.

Lorsque la dérivée première f′(x₀) est positive et la dérivée seconde f′′(x₀) est nulle.

Lorsque la dérivée première f′(x₀) est nulle et la dérivée seconde f′′(x₀) est positive ou négative.

Explication

Un extremum local se produit lorsque la dérivée première est nulle en ce point critique. La nature de l'extrémum (minimum ou maximum) dépend du signe de la dérivée seconde, qui doit être positive pour un minimum ou négative pour un maximum.

Answer

Lorsque la dérivée première f′(x₀) est nulle et la dérivée seconde f′′(x₀) est positive ou négative.

Question 7

7. Quelle expression appartient aux formes indéterminées lors du calcul d’une limite ?

Une limite positive multipliée par une quantité tendant vers

+\infty

\infty-\infty

Une limite finie additionnée à

+\infty

Une constante non nulle multipliée par

+\infty

Explication

La forme $\infty-\infty$ est indéterminée, car la différence dépend de la vitesse à laquelle les deux termes divergent. Une limite finie additionnée à $+\infty$ possède au contraire une limite infinie déterminée.

Answer

$$\infty-\infty$$

Question 8

8. En quoi le développement limité d'une fonction à l'ordre n en 0 diffère-t-il d'une approximation polynomiale classique ?

Le développement limité inclut un terme de reste qui est négligeable à l'ordre n, contrairement à une approximation polynomiale qui ne considère que les termes jusqu'à l'ordre n.

Le développement limité ne prend en compte que la partie principale du polynôme, alors qu'une approximation polynomiale inclut tous les termes.

Le développement limité est une approximation exacte de la fonction près de 0, alors qu'une approximation polynomiale est seulement une estimation.

Le développement limité ne concerne que les fonctions analytiques, alors qu'une approximation polynomiale peut s'appliquer à toute fonction.

Explication

Le développement limité à l'ordre n comprend une partie principale et un reste qui devient négligeable lorsque x tend vers 0, ce qui différencie cette approche d'une simple approximation polynomiale. La différence principale réside dans la gestion du terme de reste, absent dans une approximation classique.

Answer

Le développement limité inclut un terme de reste qui est négligeable à l'ordre n, contrairement à une approximation polynomiale qui ne considère que les termes jusqu'à l'ordre n.

Question 9

9. Qui est crédité de la formulation de la définition du Hessien en tant que matrice des dérivées partielles secondes d'une fonction ?

Joseph-Louis Lagrange

Augustin-Louis Cauchy

Carl Gustav Jacob Jacobi

Isaac Newton

Explication

Carl Gustav Jacob Jacobi est crédité de la formulation du Hessien en tant que matrice des dérivées partielles secondes. Isaac Newton, Lagrange et Cauchy ont contribué à d'autres domaines de l'analyse ou de la mécanique, mais pas spécifiquement à cette définition.

Answer

Carl Gustav Jacob Jacobi

Question 10

10. Quelles sont les causes principales qui expliquent la convexité d'une fonction à deux variables de classe C² ?

La positivité de la déterminant de la matrice Hessienne et la positivité de ses éléments diagonaux.

La positivité de la déterminant de la matrice Hessienne et la négativité de ses éléments diagonaux.

L'annulation de la déterminant de la matrice Hessienne et la positivité de ses éléments diagonaux.

La négativité de la déterminant de la matrice Hessienne et la négativité de ses éléments diagonaux.

Explication

Une fonction est convexe si la matrice Hessienne est semi-définie positive, ce qui implique que le déterminant est positif ou nul et que ses éléments diagonaux sont positifs, assurant la convexité locale et globale.

Answer

La positivité de la déterminant de la matrice Hessienne et la positivité de ses éléments diagonaux.

QCM : Mathématiques 1 : fonctions et optimisation — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Sur un intervalle $I$ , quelle condition sur la dérivée permet d’affirmer qu’une fonction dérivable $f$ est croissante ?

2. Quelle condition doit être remplie par la dérivée première f′(x) pour qu'une fonction f soit croissante sur un intervalle I ?

3. Quelle relation caractérise la convexité d’une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ ?

4. Quel est le rôle principal de la limite lorsque l'on étudie la croissance d'une fonction à l'infini ?

5. Quelle est la limite de $x^3$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ?

6. Quand une fonction à une variable atteint-t-elle un extremum local en un point critique x₀ ?

7. Quelle expression appartient aux formes indéterminées lors du calcul d’une limite ?

8. En quoi le développement limité d'une fonction à l'ordre n en 0 diffère-t-il d'une approximation polynomiale classique ?

9. Qui est crédité de la formulation de la définition du Hessien en tant que matrice des dérivées partielles secondes d'une fonction ?

10. Quelles sont les causes principales qui expliquent la convexité d'une fonction à deux variables de classe C² ?

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QCM : Mathématiques 1 : fonctions et optimisation — 10 questions

Questions et réponses du QCM

1. Sur un intervalle III, quelle condition sur la dérivée permet d’affirmer qu’une fonction dérivable fff est croissante ?

2. Quelle condition doit être remplie par la dérivée première f′(x) pour qu'une fonction f soit croissante sur un intervalle I ?

3. Quelle relation caractérise la convexité d’une fonction deux fois dérivable sur un intervalle III ?

4. Quel est le rôle principal de la limite lorsque l'on étudie la croissance d'une fonction à l'infini ?

5. Quelle est la limite de x3x^3x3 lorsque xxx tend vers −∞-\infty−∞ ?

6. Quand une fonction à une variable atteint-t-elle un extremum local en un point critique x₀ ?

7. Quelle expression appartient aux formes indéterminées lors du calcul d’une limite ?

8. En quoi le développement limité d'une fonction à l'ordre n en 0 diffère-t-il d'une approximation polynomiale classique ?

9. Qui est crédité de la formulation de la définition du Hessien en tant que matrice des dérivées partielles secondes d'une fonction ?

10. Quelles sont les causes principales qui expliquent la convexité d'une fonction à deux variables de classe C² ?

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1. Sur un intervalle $I$ , quelle condition sur la dérivée permet d’affirmer qu’une fonction dérivable $f$ est croissante ?

3. Quelle relation caractérise la convexité d’une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ ?

5. Quelle est la limite de $x^3$ lorsque $x$ tend vers $-\infty$ ?