Fiche de révision : Mathématiques 1 : fonctions et optimisation

📋 Plan du Cours

1. Dérivation et étude des fonctions
2. Limites et croissances comparées
3. Optimisation à une variable
4. Applications économiques à une variable
5. Développements limités
6. Dérivées partielles et Hessienne
7. Convexité et optimisation à deux variables
8. Contrainte affine et différentielle

📖 1. Dérivation et étude des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée de f′ lorsque f′ est dérivable.

★ À maîtriser

📌 Sur un intervalle I, une fonction dérivable f est croissante si f′(x)≥0 pour tout x de I, décroissante si f′(x)≤0 pour tout x de I et constante si f′(x)=0 pour tout x de I.

📌 Une fonction deux fois dérivable est convexe sur I si f′′ est positive sur I et concave sur I si f′′ est négative sur I.

Compléments

• Le signe de ln(x) est négatif sur ]0;1[, nul en 1 et positif sur ]1;+∞[.

💡 Astuce mémo

Domaine → dérivée → signe → variations → limites → extremums

📖 2. Limites et croissances comparées

📝 Points essentiels

• Les limites de référence sont notamment lim x→−∞ x²=+∞, lim x→+∞ x²=+∞, lim x→±∞ 1/x=0, lim x→−∞ x³=−∞, lim x→+∞ x³=+∞, lim x→+∞ eˣ=+∞ et lim x→−∞ eˣ=0.

• Les quatre formes indéterminées sont ∞−∞, 0×∞, ∞/∞ et 0/0.

📌 À l’infini, le terme de plus haut degré domine dans un polynôme et le quotient des termes de plus haut degré détermine la limite d’une fraction rationnelle.

• La croissance comparée en +∞ s’écrit ln(x)≪x≪x²≪⋯≪xⁿ≪eˣ.

💡 Astuce mémo

À l’infini : logarithme ≪ puissances ≪ exponentielle

📖 3. Optimisation à une variable

🔑 Notions clés & Définitions

• Point critique : Une valeur x₀ vérifiant f′(x₀)=0.

📝 Points essentiels

• 🔄 L’étude d’une fonction suit les étapes suivantes:

  1. Déterminer le domaine de définition
  2. Calculer la dérivée
  3. Étudier le signe de la dérivée et construire le tableau de variations
  4. Calculer les images et les limites
  5. Donner les extremums

• Si f admet un extremum local ou global en x₀, alors f′(x₀)=0.

• En un point critique x₀, f′′(x₀)>0 implique un minimum local, f′′(x₀)<0 implique un maximum local et f′′(x₀)=0 ne permet pas de conclure.

• Si f est convexe sur I et possède un point critique x₀, elle admet un minimum global en x₀ ; si f est concave, elle admet un maximum global en x₀.

💡 Astuce mémo

Point critique → dérivée seconde → extremum local ou global

📖 4. Applications économiques à une variable

🔑 Notions clés & Définitions

• Coût total : L’ensemble des dépenses supportées par l’entreprise pour produire une quantité x.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le coût moyen est $CM(x)=\frac{C(x)}{x}$ et représente le coût moyen d’une unité.

📐 Formule — Le coût marginal vérifie $Cm(x)=C′(x)$ et représente le coût engendré par la production d’une unité supplémentaire.

📐 Formule — Le bénéfice est la différence entre le revenu et le coût total, soit $B(x)=R(x)-C(x)$.

Compléments

📐 Formule — Pour une entreprise en monopole, le revenu et le bénéfice vérifient respectivement $R(x)=xD(x)$ et $B(x)=xD(x)-C(x)$.

💡 Astuce mémo

Coût marginal : coût d’une unité supplémentaire ; coût moyen : coût par unité

📖 5. Développements limités

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : f admet un développement limité à l’ordre n en 0 s’il existe des réels a₀,…,aₙ tels que $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)$.
• Partie principale : Sa partie polynomiale a₀+a₁x+⋯+aₙxⁿ.

★ À maîtriser

📐 Formule — La formule de Taylor-Young donne $f(x)=f(0)+f′(0)x+\frac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)$ pour une fonction f de classe Cⁿ.

Compléments

📌 Pour additionner, multiplier ou composer des développements limités, on manipule leurs parties principales et on conserve uniquement les termes de degré inférieur ou égal à n ; un quotient se transforme en produit par l’inverse du dénominateur.

💡 Astuce mémo

Taylor → partie principale → opérations sur les DL

📖 6. Dérivées partielles et Hessienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle : La dérivée obtenue en faisant varier cette variable tout en maintenant les autres constantes.
• Gradient : Le vecteur colonne formé de toutes ses dérivées partielles.
• Matrice Hessienne : La matrice formée de toutes ses dérivées partielles secondes.

📝 Points essentiels

📌 Si f est de classe C², l’ordre des dérivations secondes n’a pas d’importance : par exemple, ∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x. — Schwarz

💡 Astuce mémo

Le gradient pointe avec les dérivées premières, la Hessienne organise les dérivées secondes

📖 7. Convexité et optimisation à deux variables

📝 Points essentiels

• Pour une fonction de deux variables de classe C², si RT−S²≥0 et R≥0 et T≥0, alors f est convexe ; si RT−S²≥0 et R≤0 et T≤0, alors f est concave.

• Pour optimiser f sans contrainte, tout extremum en (x₀,y₀) vérifie ∇f(x₀,y₀)=0, c’est-à-dire ∂f/∂x=0 et ∂f/∂y=0.

• En un point critique, si RT−S²>0 et R>0, il y a un minimum local ; si RT−S²>0 et R<0, il y a un maximum local ; si RT−S²<0, il n’y a pas d’extremum ; si RT−S²=0, on ne peut pas conclure.

💡 Astuce mémo

RT−S² positif : minimum si R>0, maximum si R<0 ; négatif : point-selle

📖 8. Contrainte affine et différentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Lagrangien : Pour le problème sous contrainte affine g(x,y)=ax+by+c=0, la fonction L(x,y,λ)=f(x,y)+λg(x,y).

★ À maîtriser

• Une solution du problème sous contrainte est nécessairement un point critique du Lagrangien : il existe λ₀ tel que ∇L(x₀,y₀,λ₀)=0.

• Le système des conditions du premier ordre sous contrainte est ∂L/∂x=0, ∂L/∂y=0 et ∂L/∂λ=0.

• Si f est convexe ou concave et g est affine, tout point critique du Lagrangien est une solution du problème : minimum sous contrainte si f est convexe et maximum sous contrainte si f est concave.

📐 Formule — La différentielle d’une fonction f(x,y) est $df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy$ et mesure la variation de f lorsque x et y varient simultanément.

Compléments

• Pour une fonction d’utilité U(x,y), ∂U/∂x est l’utilité marginale du bien A, notée UMx, et ∂U/∂y est l’utilité marginale du bien B, notée UMy.

💡 Astuce mémo

Lagrangien → système critique → nature de l’optimum → variation différentielle

📊 Tableaux de synthèse

Tests d’optimisation