Fiche de révision : Mathématiques 2nde DS1

📋 Plan du Cours

1. Divisibilité et parité
2. Ensembles de nombres réels
3. Calculs avec les fractions
4. Pourcentages et évolutions
5. Distributivité et développement

📖 1. Divisibilité et parité

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité : Vérifie $a \mid b \Longleftrightarrow b=a\times k$ avec un entier k.
• Parité : Un nombre pair s’écrit $n=2k$ et un nombre impair s’écrit $n=2k+1$, avec k entier.

★ À maîtriser

📌 Un entier est divisible par 2 lorsque son dernier chiffre est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 3 ou par 9 lorsque la somme de ses chiffres est respectivement divisible par 3 ou par 9, par 5 lorsque son dernier chiffre est 0 ou 5, et par 10 lorsque son dernier chiffre est 0.

Compléments

• Dans l’égalité $24=6\times4$, 6 est un diviseur de 24 et 24 est un multiple de 6.

• Pour démontrer que la somme de deux nombres impairs est paire, on écrit les nombres sous la forme $a=2k+1$ et $b=2p+1$, puis on obtient $a+b=2(k+p+1)$ et on conclut que la somme est paire.

💡 Astuce mémo

Diviseur : il partage ; multiple : il est partagé.

📖 2. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : S’écrit $a/b$ avec a et b entiers et $b\ne0$.
• Nombres naturels : $0{,}1{,}2,\ldots$.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont inclus selon la chaîne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

📌 Les nombres décimaux ont une écriture décimale finie, alors que les nombres réels comprennent aussi les nombres irrationnels comme $\sqrt2$ et $\pi$.

Compléments

• Dans la classification des ensembles, 5 appartient à $\mathbb{N}$, −3 à $\mathbb{Z}$, 2/3 à $\mathbb{Q}$, 0,75 à $\mathbb{D}$, et $\sqrt2$ ainsi que $\pi$ sont irrationnels.

💡 Astuce mémo

Naturels → entiers → décimaux → rationnels → réels.

📖 3. Calculs avec les fractions

★ À maîtriser

📌 Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les mettre au même dénominateur, puis additionner ou soustraire les numérateurs.

📐 Formule — Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📌 Pour diviser par une fraction, on inverse uniquement la deuxième fraction puis on multiplie.

Compléments

• On a $\frac23+\frac56=\frac46+\frac56=\frac96=\frac32$.

• On a $\frac23\div\frac57=\frac23\times\frac75=\frac{14}{15}$.

💡 Astuce mémo

Addition : même dénominateur ; multiplication : terme à terme ; division : inverse puis multiplie.

📖 4. Pourcentages et évolutions

★ À maîtriser

📐 Formule — Un pourcentage p % de x vaut $\frac{p}{100}\times x$.

📐 Formule — Une augmentation de p % se calcule en multipliant par $1+\frac{p}{100}$.

📐 Formule — Une diminution de p % se calcule en multipliant par $1-\frac{p}{100}$.

📌 Une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 20 % ne ramène pas au prix initial, car $100\times1{,}20\times0{,}80=96$.

Compléments

• Une augmentation de 15 % de 80 € donne $80\times1{,}15=92\,EUR$.

• Une diminution de 15 % de 80 € donne $80\times0{,}85=68\,EUR$.

💡 Astuce mémo

+p % multiplie par 1+p/100, tandis que −p % multiplie par 1−p/100.

📖 5. Distributivité et développement

★ À maîtriser

📐 Formule — La distributivité simple s’écrit $a(b+c)=ab+ac$.

📐 Formule — La double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

• Pour développer un produit de deux binômes, on effectue les quatre produits croisés, puis on réduit les termes semblables.

Compléments

• Avec une soustraction, $4(x-3)=4x-12$.

• Le développement de $(x+2)(x-5)$ donne $x^2-5x+2x-10=x^2-3x-10$.

💡 Astuce mémo

Simple : deux produits ; double : quatre produits.

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles de nombres