Fiche de révision : Mathématiques Analyse et Probabilités

📋 Plan du Cours

1. Loi binomiale et calculs de probabilité
2. Suites récurrentes et géométriques
3. Étude de la fonction logarithme
4. Croissance et évolution d’une population

📖 1. Loi binomiale et calculs de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Le nombre de lettres affranchies au tarif urgent suit la loi binomiale $X\sim\mathcal{B}\left(5,\frac{3}{10}\right)$, car 5 lettres sont envoyées et chacune est affranchie au tarif urgent avec une probabilité de 3/10.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable aléatoire $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, la probabilité d’obtenir exactement k succès est $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

📐 Formule - Pour $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, l’espérance vaut $E(X)=np$ et la variance vaut $V(X)=np(1-p)$.

Compléments

• Pour l’envoi de 5 lettres avec une probabilité d’affranchissement urgent de 3/10, $P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{3}{10}\right)^2\left(\frac{7}{10}\right)^3$ et $\binom{5}{2}=10$.

• La probabilité qu’au moins une lettre soit affranchie au tarif urgent est $P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-\binom{5}{0}\left(\frac{3}{10}\right)^0\left(\frac{7}{10}\right)^5$, avec $\binom{5}{0}=1$.

• Pour $X\sim\mathcal{B}\left(5,\frac{3}{10}\right)$, $E(X)=\frac{3}{2}$ et $V(X)=\frac{21}{20}$.

📖 2. Suites récurrentes et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : La suite définie par $v_n=u_n^2+4$ est géométrique, de premier terme $v_0=5$ et de raison 4.

★ À maîtriser

• La suite est définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2\sqrt{u_n^2+3}$ pour tout entier naturel n.

📐 Formule - La suite géométrique de premier terme 5 et de raison 4 s’écrit $v_n=5\times4^n$.

📐 Formule - Comme $u_n\geq0$, l’expression de la suite initiale est $u_n=\sqrt{5\times4^n-4}$.

Compléments

• Les deux premiers termes calculés à partir de la récurrence sont $u_1=4$ et $u_2=2\sqrt{19}$.

• Pour établir la géométricité de $v_n=u_n^2+4$, on calcule $v_{n+1}=u_{n+1}^2+4=4(u_n^2+3)+4=4v_n$.

💡 Astuce mémo

De la suite récurrente à la suite géométrique, puis à l’expression de la suite initiale.

📖 3. Étude de la fonction logarithme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction étudiée : La fonction étudiée est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln(x^2+1)$.

★ À maîtriser

• L’équation $f(x)=2$ équivaut à $x^2+1=e^2$ et admet les solutions $x=\pm\sqrt{e^2-1}$.

📐 Formule - La dérivée de $f(x)=\ln(x^2+1)$ est $f'(x)=\frac{2x}{x^2+1}$.

• La dérivée $f'(x)$ est négative si $x<0$, nulle en 0 et positive si $x>0$.

• La fonction f admet un minimum en $x=0$, car sa dérivée passe de négative à positive en ce point.

Compléments

📐 Formule - La dérivée seconde est $f''(x)=\frac{2(1-x^2)}{(x^2+1)^2}$, donc f est convexe sur $[-1;1]$.

💡 Astuce mémo

La dérivée passe de négative à positive en 0, tandis que la dérivée seconde reste positive sur [-1;1].

📖 4. Croissance et évolution d’une population

★ À maîtriser

📌 Une augmentation annuelle de 25 % signifie que l’augmentation de population pendant une année vaut un quart de la population présente, ce qui conduit au modèle différentiel $y'=\frac{y}{4}$.

• Avec une population initiale de 100 rongeurs, la solution est $g(t)=100e^{t/4}$.

📐 Formule - Avec l’effet du prédateur, la population est modélisée par $g(t)=\frac{100}{4-3e^{-t/4}}$.

• Pour cette fonction g, $g'(t)<0$ sur $\mathbb{R}_+$, donc la population décroît, et $\lim_{t\to+\infty}g(t)=25$.

Compléments

📐 Formule - La solution générale de $y'=\frac{y}{4}$ est $g(t)=Ke^{t/4}$, où K est une constante.

• La population atteint 300 rongeurs lorsque $t=4\ln(3)$, soit environ 4 ans, et les dépasse ensuite pour la première fois.

💡 Astuce mémo

Sans prédateur, la croissance exponentielle dépasse 300 ; avec prédateur, la population décroît vers 25.