QCM : Mathématiques Analyse et Probabilités (8 questions)

Question 1

1. Pour une variable aléatoire $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ , quelle formule donne la probabilité d’obtenir exactement $k$ succès ?

P(X=k)=np^k(1-p)^{n-k}

P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}

P(X=k)=\binom{n}{k}p^{n-k}(1-p)^k

P(X=k)=\binom{k}{n}p^k(1-p)^{n-k}

Explication

La loi binomiale associe au résultat de $k$ succès le coefficient $\binom{n}{k}$ , puis les probabilités de succès et d’échec correspondantes. L’expression qui échange les exposants de $p$ et de $1-p$ ne représente pas la probabilité de exactement $k$ succès.

Answer

$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$

Question 2

2. Une variable suit une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0{,}25$ ; quelles sont son espérance et sa variance ?

E(X)=2

et

V(X)=1{,}5

E(X)=6

et

V(X)=1{,}5

E(X)=2{,}25

et

V(X)=1{,}5

E(X)=2

et

V(X)=6

Explication

Les formules donnent $E(X)=np=8\times0{,}25=2$ et $V(X)=np(1-p)=8\times0{,}25\times0{,}75=1{,}5$ . La valeur 6 correspond à $n(1-p)$ et ne constitue pas la variance.

Answer

$$E(X)=2$$ et $$V(X)=1{,}5$$

Question 3

3. On définit $v_n=u_n^2+4$ pour une suite $u_n$ donnée ; quelle caractérisation de $v_n$ est établie ?

C’est une suite géométrique de premier terme 4 et de raison 5.

C’est une suite arithmétique de premier terme 5 et de raison 4.

C’est une suite géométrique de premier terme 5 et de raison 2.

C’est une suite géométrique de premier terme 5 et de raison 4.

Explication

La suite transformée $v_n=u_n^2+4$ est géométrique, avec $v_0=5$ et une raison égale à 4. Une raison de 2 ne correspond pas à cette caractérisation, même si elle conserve le premier terme.

Answer

C’est une suite géométrique de premier terme 5 et de raison 4.

Question 4

4. Sachant que $v_n=5\times4^n$ , que $v_n=u_n^2+4$ et que $u_n\geq0$ , quelle expression obtient-on pour $u_n$ ?

u_n=\sqrt{5\times4^n-4}

u_n=\sqrt{5\times4^n+4}

u_n=\sqrt{5\times4^{n-1}-4}

u_n=5\times4^n-4

Explication

En remplaçant $v_n$ dans $v_n=u_n^2+4$ , on obtient $u_n^2=5\times4^n-4$ ; la condition $u_n\geq0$ impose la racine carrée positive. Ajouter 4 sous la racine ne résoudrait pas l’équation issue de la définition de $v_n$ .

Answer

$$u_n=\sqrt{5\times4^n-4}$$

Question 5

5. Pour la fonction $f(x)=\ln(x^2+1)$ , que représente le point d’abscisse $x=0$ dans son étude ?

Un point où la fonction n’est pas définie, car le logarithme exige un argument négatif.

Un point où la fonction atteint son minimum, car elle décroît puis croît.

Un point où la fonction atteint son maximum, car elle croît puis décroît.

Un point d’inflexion où la convexité de la fonction change.

Explication

La dérivée est négative pour $x<0$ et positive pour $x>0$ , donc la fonction atteint un minimum en $x=0$ . Ce n’est pas un maximum : le changement de signe de la dérivée indique ici un passage de la décroissance à la croissance.

Answer

Un point où la fonction atteint son minimum, car elle décroît puis croît.

Question 6

6. Dans le modèle de croissance sans prédateur, combien de temps faut-il à une population initiale de 100 rongeurs pour atteindre 300 rongeurs ?

4\ln(3)

ans, soit environ quatre ans

\ln(3)

ans, soit environ un an

4\ln(2)

ans, soit environ trois ans

4\ln(4)

ans, soit environ six ans

Explication

La population suit $g(t)=100e^{t/4}$ ; résoudre $g(t)=300$ donne $e^{t/4}=3$ , donc $t=4\ln(3)$ , soit environ quatre ans. Le temps $4\ln(2)$ correspondrait à un doublement de la population, et non à son triplement.

Answer

$$4\ln(3)$$ ans, soit environ quatre ans

Question 7

7. Dans le calcul de la probabilité qu’au moins une lettre soit affranchie au tarif urgent, quel rôle joue le calcul de la probabilité complémentaire ?

Il permet de calculer cette probabilité en soustrayant de 1 la probabilité qu’aucune lettre ne soit urgente.

Il permet de calculer cette probabilité en multipliant la probabilité d’une lettre urgente par le nombre de lettres.

Il permet de calculer cette probabilité en ajoutant les probabilités d’exactement une et deux lettres urgentes.

Il permet de calculer cette probabilité en soustrayant de 1 la probabilité qu’exactement une lettre soit urgente.

Explication

L’événement « au moins une lettre urgente » est le complément de l’événement « aucune lettre urgente », donc sa probabilité vaut un moins la probabilité que le nombre de succès soit nul. Calculer la probabilité d’exactement une lettre urgente ne suffit pas, car l’événement visé inclut aussi les cas où plusieurs lettres sont urgentes.

Answer

Il permet de calculer cette probabilité en soustrayant de 1 la probabilité qu’aucune lettre ne soit urgente.

Question 8

8. Quelle différence distingue la suite géométrique auxiliaire $v_n$ de la suite récurrente $u_n$ dans leur mode de définition ?

La suite

v_n

est définie par une relation de récurrence, tandis que

u_n

est donnée directement par une puissance de 4.

La suite

v_n

alterne entre des valeurs positives et négatives, tandis que

u_n

est constante.

La suite

v_n

est définie par une somme de termes, tandis que

u_n

suit une relation linéaire.

La suite

v_n

possède une raison constante, tandis que

u_n

est définie à partir du terme précédent par une racine carrée.

Explication

La suite auxiliaire $v_n$ est géométrique, avec une raison constante égale à 4, alors que la suite initiale est donnée par la récurrence $u_{n+1}=2\sqrt{u_n^2+3}$ . La suite $v_n$ est aussi caractérisée par une expression explicite en puissance de 4, mais ce n’est pas son mode de définition distinctif dans la comparaison.

Answer

La suite $$v_n$$ possède une raison constante, tandis que $$u_n$$ est définie à partir du terme précédent par une racine carrée.

QCM : Mathématiques Analyse et Probabilités (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une variable aléatoire $X\sim\mathcal{B}(n,p)$ , quelle formule donne la probabilité d’obtenir exactement $k$ succès ?

2. Une variable suit une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0{,}25$ ; quelles sont son espérance et sa variance ?

3. On définit $v_n=u_n^2+4$ pour une suite $u_n$ donnée ; quelle caractérisation de $v_n$ est établie ?

4. Sachant que $v_n=5\times4^n$ , que $v_n=u_n^2+4$ et que $u_n\geq0$ , quelle expression obtient-on pour $u_n$ ?

5. Pour la fonction $f(x)=\ln(x^2+1)$ , que représente le point d’abscisse $x=0$ dans son étude ?

6. Dans le modèle de croissance sans prédateur, combien de temps faut-il à une population initiale de 100 rongeurs pour atteindre 300 rongeurs ?

7. Dans le calcul de la probabilité qu’au moins une lettre soit affranchie au tarif urgent, quel rôle joue le calcul de la probabilité complémentaire ?

8. Quelle différence distingue la suite géométrique auxiliaire $v_n$ de la suite récurrente $u_n$ dans leur mode de définition ?

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QCM : Mathématiques Analyse et Probabilités (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une variable aléatoire X∼B(n,p)X\sim\mathcal{B}(n,p)X∼B(n,p), quelle formule donne la probabilité d’obtenir exactement kkk succès ?

2. Une variable suit une loi binomiale de paramètres n=8n=8n=8 et p=0,25p=0{,}25p=0,25 ; quelles sont son espérance et sa variance ?

3. On définit vn=un2+4v_n=u_n^2+4vn​=un2​+4 pour une suite unu_nun​ donnée ; quelle caractérisation de vnv_nvn​ est établie ?

4. Sachant que vn=5×4nv_n=5\times4^nvn​=5×4n, que vn=un2+4v_n=u_n^2+4vn​=un2​+4 et que un≥0u_n\geq0un​≥0, quelle expression obtient-on pour unu_nun​ ?

5. Pour la fonction f(x)=ln⁡(x2+1)f(x)=\ln(x^2+1)f(x)=ln(x2+1), que représente le point d’abscisse x=0x=0x=0 dans son étude ?

6. Dans le modèle de croissance sans prédateur, combien de temps faut-il à une population initiale de 100 rongeurs pour atteindre 300 rongeurs ?

7. Dans le calcul de la probabilité qu’au moins une lettre soit affranchie au tarif urgent, quel rôle joue le calcul de la probabilité complémentaire ?

8. Quelle différence distingue la suite géométrique auxiliaire vnv_nvn​ de la suite récurrente unu_nun​ dans leur mode de définition ?

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2. Une variable suit une loi binomiale de paramètres $n=8$ et $p=0{,}25$ ; quelles sont son espérance et sa variance ?

3. On définit $v_n=u_n^2+4$ pour une suite $u_n$ donnée ; quelle caractérisation de $v_n$ est établie ?

4. Sachant que $v_n=5\times4^n$ , que $v_n=u_n^2+4$ et que $u_n\geq0$ , quelle expression obtient-on pour $u_n$ ?

5. Pour la fonction $f(x)=\ln(x^2+1)$ , que représente le point d’abscisse $x=0$ dans son étude ?

8. Quelle différence distingue la suite géométrique auxiliaire $v_n$ de la suite récurrente $u_n$ dans leur mode de définition ?