Mathématiques Analyse et Probabilités

📋 Plan du Cours

1. Loi binomiale et calculs de probabilité
2. Suites récurrentes et géométriques
3. Étude de la fonction logarithme
4. Croissance et évolution d’une population

📖 1. Loi binomiale et calculs de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi binomiale : Le nombre de lettres affranchies au tarif urgent suit la loi binomiale $X\sim\mathcal{B}\left(5,\frac{3}{10}\right)$, car 5 lettres sont envoyées et chacune est affranchie au tarif urgent avec une probabilité de 3/10.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une variable aléatoire $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, la probabilité d’obtenir exactement k succès est $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$.

📐 Formule - Pour $X\sim\mathcal{B}(n,p)$, l’espérance vaut $E(X)=np$ et la variance vaut $V(X)=np(1-p)$.

Compléments

• Pour l’envoi de 5 lettres avec une probabilité d’affranchissement urgent de 3/10, $P(X=2)=\binom{5}{2}\left(\frac{3}{10}\right)^2\left(\frac{7}{10}\right)^3$ et $\binom{5}{2}=10$.

• La probabilité qu’au moins une lettre soit affranchie au tarif urgent est $P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-\binom{5}{0}\left(\frac{3}{10}\right)^0\left(\frac{7}{10}\right)^5$, avec $\binom{5}{0}=1$.

• Pour $X\sim\mathcal{B}\left(5,\frac{3}{10}\right)$, $E(X)=\frac{3}{2}$ et $V(X)=\frac{21}{20}$.