Fiche de révision : Mathématiques du brevet

📋 Plan du Cours

1. Fractions et calcul littéral
2. Équations et proportionnalité
3. Puissances et règles de calcul
4. Probabilités
5. Aires et volumes

📖 1. Fractions et calcul littéral

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le produit de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📐 Formule — La division de deux fractions vérifie $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

📐 Formule — Développer une expression consiste à appliquer $a(b+c)=ab+ac$.

📐 Formule — Factoriser une expression consiste à appliquer $ab+ac=a(b+c)$.

📌 Pour additionner ou soustraire des fractions, il faut les mettre au même dénominateur puis effectuer le calcul des numérateurs.

💡 Astuce mémo

Développer ouvre les parenthèses ; factoriser les referme.

📖 2. Équations et proportionnalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de proportionnalité : le nombre constant obtenu en divisant chaque valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première

★ À maîtriser

📌 Dans une situation de proportionnalité où une valeur manque, on peut la calculer par un produit en croix, par exemple $\frac{6\times4}{2}=12$.

📌 La représentation graphique d’une situation de proportionnalité est une droite qui passe par l’origine.

• Pour résoudre une équation, on réduit d’abord les expressions, puis on regroupe les termes contenant l’inconnue d’un côté et les nombres de l’autre afin d’isoler x.

• Dans le tableau quantités-prix, les rapports $6:2=3$, $12:4=3$ et $21:7=3$ montrent que le coefficient de proportionnalité est 3.

Compléments

• Dans l’équation $3x-12+7=2x+9$, la réduction puis le regroupement donnent $3x-5=2x+9$, puis $x=14$.

💡 Astuce mémo

Équation : réduire → regrouper → isoler.

📖 3. Puissances et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : le produit de n facteurs égaux à a, où a est la base et n est l’exposant

★ À maîtriser

📐 Formule — Les règles de multiplication et de division des puissances de même base sont $a^m\times a^n=a^{m+n}$ et $a^m:a^n=a^{m-n}$.

📐 Formule — Une puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^n=a^{m\times n}$.

📌 Les valeurs particulières sont $a^1=a$, $a^0=1$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

• Pour une base négative, $(-2)^2=4$ et $(-2)^3=-8$, car un exposant pair donne un résultat positif et un exposant impair un résultat négatif.

Compléments

📐 Formule — Les puissances d’un produit et d’un quotient vérifient $(a\times b)^n=a^n\times b^n$ et $(a:b)^n=a^n:b^n$.

• Les puissances de 10 vérifient $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1000$, $10^{-1}=0{,}1$, $10^{-2}=0{,}01$ et $10^{-3}=0{,}001$.

💡 Astuce mémo

Avec des parenthèses, le signe moins est soumis à l’exposant ; sans parenthèses, il reste extérieur.

📖 4. Probabilités

📝 Points essentiels

📐 Formule — La probabilité d’une issue est le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles : $P=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.

• Pour une expérience de pile ou face, il y a 2 issues possibles et 1 issue favorable, donc la probabilité vaut $\frac{1}{2}=0{,}5$.

💡 Astuce mémo

Cas favorables au numérateur, cas possibles au dénominateur.

📖 5. Aires et volumes

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’aire d’un carré de côté c vérifie $A=c\times c$, tandis que l’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur l vérifie $A=L\times l$.

📐 Formule — L’aire d’un triangle de base b et de hauteur h vérifie $A=\frac{b\times h}{2}$.

📐 Formule — Le volume d’un solide vérifie $V=\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$.

📐 Formule — Le périmètre d’un cercle de rayon r vérifie $P=2\pi r$, tandis que son aire vérifie $A=\pi r^2$.

💡 Astuce mémo

Carré : c×c ; rectangle : L×l ; triangle : base×hauteur÷2.