Fiche de révision : Mathématiques générales : fonctions et dérivées

📋 Plan du Cours

1. Équations et ensembles numériques
2. Fonctions et opérations fondamentales
3. Limites et continuité
4. Dérivation à une variable
5. Dérivées partielles et équations
6. Suites et méthode de Newton
7. Séries numériques et entières
8. Séries entières et convergence
9. Séries de Taylor
10. Nombres complexes et calculs
11. Géométrie et fonctions complexes
12. Systèmes linéaires et méthode de Gauss
13. Matrices et déterminants
14. Espaces vectoriels et générateurs
15. Bases et dimension des espaces vectoriels
16. Systèmes homogènes et espaces de solutions
17. Applications linéaires, noyau et image
18. Valeurs propres et vecteurs propres

📖 1. Équations et ensembles numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Relation entre différentes quantités, variables ou inconnues qui possède un ensemble de solutions.
• Nombres rationnels : Nombres qui s’écrivent comme un quotient $\frac{a}{b}$ avec $a\in\mathbb{Z}$ et $b\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.
• Espace réel : Ensemble des n-uplets de nombres réels.

📝 Points essentiels

• Les ensembles numériques vérifient la suite d’inclusion $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Fonctions et opérations fondamentales

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Application qui associe à chaque élément $x\in A$ une valeur $f(x)\in B$.
• Fonction polynomiale : Fonction de la forme $f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ avec tous les coefficients $a_i\in\mathbb{R}$.
• Composition : Si $f:A\to B$ et $g:B\to C$, leur composée $g\circ f:A\to C$ est définie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.

★ À maîtriser

📌 Le domaine de définition contient les arguments, l’ensemble d’arrivée contient les valeurs possibles, et chaque valeur associée est une image.

📌 Le quotient $f/g$ est défini sur l’ensemble $\{x\in A\mid g(x)\neq0\}$ par $(f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$.

Compléments

📌 Pour deux fonctions $f,g:A\to\mathbb{R}$, on définit $f+g$ et $fg$ point par point, ainsi que $\lambda f$ par $(\lambda f)(x)=\lambda f(x)$.

💡 Astuce mémo

Domaine = entrées, arrivée = sorties

📖 3. Limites et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : La limite de f en c vaut L lorsque les valeurs $f(x)$ se rapprochent de L quand x se rapproche de c.
• Continuité : Une fonction f est continue en un point intérieur c si $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$.

★ À maîtriser

📌 La limite $\lim_{x\to c}f(x)=L$ existe si et seulement si les limites à gauche et à droite existent et sont égales à L.

📌 Si $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ près de c et si $\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, alors $\lim_{x\to c}f(x)=L$.

Compléments

• Pour $f(x)=x\sin(1/x)$, l’encadrement $-|x|\leq f(x)\leq|x|$ donne $\lim_{x\to0}f(x)=0$ par le théorème des gendarmes.

💡 Astuce mémo

Limites latérales égales → limite globale

📖 4. Dérivation à une variable

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : Limite $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ lorsqu’elle existe.

★ À maîtriser

• Pour $f(x)=x^2$, la pente de la tangente en x=1 vaut 2 et la tangente a pour équation $y=2x-1$.

📐 Formule - Les dérivées usuelles comprennent $\frac{d}{dx}x^r=rx^{r-1}$, $\frac{d}{dx}e^x=e^x$, $\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x$, $\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$ et $\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$.

📌 La règle de la chaîne donne $(g\circ u)'(a)=g'(u(a))u'(a)$ lorsque u est dérivable en a et g en u(a).

📌 La règle de l’Hospital permet de remplacer une limite de quotient par le quotient des dérivées lorsque les hypothèses de dérivabilité, de dénominateur dérivé non nul et de limite du quotient dérivé sont satisfaites.

Compléments

📐 Formule - Pour une fonction dérivable et inversible f de réciproque g, si $f'(a)\neq0$ et $b=f(a)$, alors $g'(b)=\frac{1}{f'(g(b))}$.

• La règle de l’Hospital donne $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12$.

💡 Astuce mémo

Sécante rapprochée → tangente → dérivée

📖 5. Dérivées partielles et équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée partielle : Pour une fonction $f:A\subseteq\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, la dérivée partielle selon x est $\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$, et celle selon y est définie de manière analogue.
• Équation différentielle : Relation entre une fonction à une variable et ses dérivées.
• Solution différentielle : Fonction suffisamment dérivable qui satisfait l’équation.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le plan tangent au graphe de f en $(a,b,f(a,b))$ est $z=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)$.

📐 Formule - Le modèle de Malthus s’écrit $u'(t)=bu(t)$, tandis que le modèle de Verhulst s’écrit $u'(t)=(b-mu)u=bu-mu^2$.

💡 Astuce mémo

EDO : une variable ; EDP : plusieurs variables

📖 6. Suites et méthode de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Fonction $u:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$, notée $(u_n)$ avec $u_n=u(n)$.
• Convergence d’une suite : La suite $(u_n)$ converge vers ℓ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N(\varepsilon)\in\mathbb{N}$ tel que $|u_n-\ell|<\varepsilon$ pour tout $n\geq N(\varepsilon)$.

★ À maîtriser

📌 Le théorème des gendarmes pour les suites affirme que si $u_n\leq v_n\leq w_n$ et si $u_n$ et $w_n$ convergent vers ℓ, alors $v_n$ converge vers ℓ.

📐 Formule - La méthode de Newton cherche une solution de $f(x)=0$ en définissant $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

• La méthode pratique de Newton consiste à choisir une approximation initiale, calculer le terme suivant, puis arrêter lorsque $|x_{n+1}-x_n|$ est inférieur au seuil de précision fixé.

Compléments

• Pour $f(x)=x^2-2$ et $x_0=1$, la méthode de Newton donne $x_{n+1}=\frac{x_n^2+2}{2x_n}$ et converge vers $\sqrt2\approx1.414213562373$.

💡 Astuce mémo

Choisir x₀ → itérer → contrôler l’écart

📖 7. Séries numériques et entières

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Une série de terme général $a_n$ est l’expression $\sum_{k=0}^{\infty}a_k$, qui converge lorsque la suite de ses sommes partielles $S_n=\sum_{k=0}^n a_k$ converge.
• Série entière : Expression $\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$ dont les $a_k$ sont les coefficients.
• Domaine de convergence : Ensemble des réels x pour lesquels la série entière converge.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si $|r|<1$, la série géométrique $\sum_{k=0}^{\infty}ar^k$ converge et vaut $\frac{a}{1-r}$.

📌 Si, à partir d’un certain rang, $0\leq a_k\leq c_k$ et si $\sum c_k$ converge, alors $\sum a_k$ converge.

📌 Si, à partir d’un certain rang, $a_k\geq d_k\geq0$ et si $\sum d_k$ diverge, alors $\sum a_k$ diverge.

• La série harmonique $\sum_{k=1}^{\infty}\frac1k$ diverge.

📌 Pour une série entière, la convergence en $x=c$ implique la convergence pour tout $|x|<|c|$, tandis que la divergence en c implique la divergence pour tout $|x|>|c|$.

💡 Astuce mémo

Convergence en x : certaines valeurs, divergence pour d’autres

📖 8. Séries entières et convergence

📝 Points essentiels

• La série harmonique $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$ diverge.

📌 Pour une série entière, la convergence en $x=c$ entraîne la convergence pour tout $|x|<|c|$, tandis que la divergence en $x=c$ entraîne la divergence pour tout $|x|>|c|$.

💡 Astuce mémo

Convergence sous une borne, divergence au-dessus

📖 9. Séries de Taylor

🔑 Notions clés & Définitions

• Série de Taylor : Série $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le théorème de Taylor donne $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x)$ avec $\lim_{x\to x_0}\frac{R_n(x)}{(x-x_0)^n}=0$.

📐 Formule - Pour tout réel x, $\cos(x)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}$.

Compléments

📐 Formule - La formule du reste de Lagrange affirme que $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}$ pour un c situé entre x₀ et x.

💡 Astuce mémo

Dérivées → coefficients → reste → série

📖 10. Nombres complexes et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Nombre de la forme $a+ib$ avec a,b réels et $i^2=-1$.
• Parties réelle et imaginaire : Pour $z=a+ib$, a est la partie réelle et b est la partie imaginaire, notées $\operatorname{Re}(z)=a$ et $\operatorname{Im}(z)=b$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le produit de deux nombres complexes vérifie $(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$.

• Pour diviser par $c+id$, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué $c-id$ du dénominateur.

💡 Astuce mémo

Le plan complexe avec l’axe réel et l’axe imaginaire

📖 11. Géométrie et fonctions complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Module complexe : Pour $z=a+ib$, le module est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ et représente la distance entre l’origine et le point (a,b).
• Conjugué complexe : Le conjugué de $z=a+ib$ est $\overline z=a-ib$ et correspond au symétrique de z par rapport à l’axe réel.
• Argument principal : L’angle θ associé à z et appartenant à l’intervalle $(-\pi,\pi]$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si $z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1)$ et $z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2)$, alors $z_1z_2=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))$.

📐 Formule - Le théorème de de Moivre donne $z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta))$ lorsque $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$.

💡 Astuce mémo

Conjugué → module → argument → forme polaire

📖 12. Systèmes linéaires et méthode de Gauss

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Ensemble d’équations dont chaque membre gauche est une combinaison linéaire des inconnues.

📝 Points essentiels

• 🔄 La méthode de Gauss suit trois étapes :
  1. Échelonner le système
  2. Réduire le système
  3. Paramétrer les variables libres

📌 Les opérations consistant à multiplier une équation par un nombre non nul, échanger deux équations ou ajouter à une équation un multiple d’une autre ne modifient pas l’ensemble des solutions.

📌 Une ligne de la forme $0x_1+\cdots+0x_n=b$ avec $b\neq0$ rend le système incompatible, tandis que des variables sans pivot sont des variables libres et produisent des paramètres.

💡 Astuce mémo

Échelonner → réduire → paramétrer

📖 13. Matrices et déterminants

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Tableau rectangulaire de nombres comportant m lignes et n colonnes.
• Matrice inversible : Une matrice carrée A est inversible s’il existe une matrice $A^{-1}$ telle que $AA^{-1}=I= A^{-1}A$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si A est de type m×n et B de type n×p, leur produit AB est de type m×p et vérifie $(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$.

📌 La multiplication matricielle n’est pas commutative : en général $AB\neq BA$, et l’un des deux produits peut même être non défini.

• Pour une matrice carrée A, $A$ est inversible si et seulement si $\det(A)\neq0$.

💡 Astuce mémo

Produit matriciel : l’ordre compte, contrairement aux nombres

📖 14. Espaces vectoriels et générateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel : Ensemble V inclus dans $\mathbb R^k$ qui contient 0 et est stable par addition et par multiplication par un scalaire réel.
• Combinaison linéaire : Expression $\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_pv_p$ avec des scalaires réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$.
• Espace engendré : Ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de S, noté $\operatorname{Vect}(S)$.

📝 Points essentiels

• Pour réduire une partie génératrice, on place ses vecteurs en colonnes d’une matrice, on échelonne cette matrice, puis on conserve les vecteurs correspondant aux colonnes contenant un pivot.

💡 Astuce mémo

Stabilité → combinaison linéaire → générateurs → pivots

📖 15. Bases et dimension des espaces vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie génératrice : Ensemble de vecteurs qui permet d’écrire tout élément de V comme une combinaison linéaire de ses vecteurs.
• Base : Partie de V qui est à la fois génératrice de V et libre.
• Dimension : Nombre d’éléments contenus dans une base de V.

★ À maîtriser

• Pour extraire une partie génératrice minimale, on forme la matrice dont les colonnes sont les vecteurs générateurs, on l’échelonne par la méthode des pivots, puis on conserve les vecteurs correspondant aux colonnes pivot.

Compléments

• Dans une base B de V, tout vecteur v de V s’écrit d’une manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs de B.

💡 Astuce mémo

Générateurs → pivots → base → dimension

📖 16. Systèmes homogènes et espaces de solutions

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace des solutions homogènes : Pour une matrice A de taille m×n, l’ensemble K des solutions de $Ax=0$ est un espace vectoriel.

★ À maîtriser

📐 Formule - La dimension de l’espace des solutions de $Ax=0$ vérifie $\dim(K)=n-\operatorname{rang}(A)$.

Compléments

• Pour le système homogène donné par la matrice de rang 2 à trois variables, les solutions sont $K=\operatorname{Vect}\{(1{,}1{,}1)\}$ et donc $\dim(K)=1$.

💡 Astuce mémo

Rang élevé → moins de variables libres → noyau plus petit

📖 17. Applications linéaires, noyau et image

🔑 Notions clés & Définitions

• Application linéaire : Une fonction f de $\mathbb{R}^n$ vers $\mathbb{R}^m$ est linéaire si elle vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) et f(λx)=λf(x).
• Noyau : Le noyau de f est l’ensemble $\operatorname{Ker}(f)=\{x\in\mathbb{R}^n\mid f(x)=0\}$.
• Image : L’image de f est l’ensemble $\operatorname{Im}(f)=\{y\in\mathbb{R}^m\mid \exists x\in\mathbb{R}^n,20f(x)=y\}$.

📝 Points essentiels

• Toute matrice A de taille m×n définit une application linéaire $L_A(x)=Ax$ de $\mathbb{R}^n$ vers $\mathbb{R}^m$, et toute application linéaire entre ces espaces est représentée par une telle matrice.

📐 Formule - Pour une application associée à A, on a $\dim(\operatorname{Im}(f))=\operatorname{rang}(A)$ et $\dim(\operatorname{Ker}(f))=n-\operatorname{rang}(A)$.

💡 Astuce mémo

Noyau : arrive sur 0 ; image : peut être atteint

📖 18. Valeurs propres et vecteurs propres

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur propre : Un réel λ est une valeur propre d’une matrice carrée A s’il existe un vecteur non nul x tel que $Ax=\lambda x$.
• Vecteur propre : Un vecteur propre est un vecteur non nul x associé à une valeur propre λ et vérifiant $Ax=\lambda x$.
• Gradient : Le gradient de f en a est le vecteur des dérivées partielles premières, $\nabla f(a)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right)$.
• Intégrale définie : L’intégrale définie de f sur [a,b] est la limite des sommes de rectangles $\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x$, avec $\Delta x=(b-a)/n$.
• Primitive : Fonction F telle que F'=f.
• Intégrale double : L’intégrale double de f sur un rectangle D=[a,b]×[c,d] est la limite des sommes $\iint_D f(x,y)\,dA=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\sum_{\ell=1}^n f(x_k,y_\ell)\Delta A$.

📝 Points essentiels

• Pour une matrice 2×2, λ est une valeur propre de A si et seulement si $\det(A-\lambda I_2)=0$.

• Un minimum ou maximum global concerne tout le domaine, tandis qu’un minimum ou maximum local concerne seulement un intervalle ouvert autour du point.

• Si f est dérivable et possède un extremum local en un point intérieur a de son domaine, alors $f'(a)=0$.

• Un point stationnaire vérifie $f'(a)=0$, mais il n’est pas nécessairement un extremum local, comme le montre f(x)=x^4-2x^3 en x=0.

• Pour rechercher les extrema globaux d’une fonction à une variable, on résout f'(x)=0 puis on compare les valeurs aux points stationnaires, aux bords du domaine et aux limites éventuelles.

• Si f''(a)>0 en un point stationnaire, alors a est un minimum local, tandis que si f''(a)<0, alors a est un maximum local.

• L’intégrale définie représente une aire algébrique : les régions situées sous l’axe des abscisses sont comptées négativement.

• Si F est une primitive de f, alors le théorème fondamental donne $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$.

📐 Formule - Si f est positive sur D, l’intégrale double représente le volume sous son graphe, et sa valeur moyenne sur D vaut $\frac{1}{(b-a)(d-c)}\iint_D f(x,y)\,dA$.

📌 Le théorème de Fubini permet de calculer une intégrale double sur un rectangle en intégrant successivement par rapport à y puis x, ou par rapport à x puis y, avec le même résultat.

💡 Astuce mémo

Déterminant nul → valeurs propres → systèmes homogènes

📊 Tableaux de synthèse

Types de fonctions et dérivées

Issues d’un système linéaire