QCM : Mathématiques générales : fonctions et dérivées (64 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Que décrit une équation ?

Une relation entre des quantités, des variables ou des inconnues, accompagnée d’un ensemble de solutions
Une définition d’un ensemble numérique, accompagnée de ses éléments particuliers
Une représentation graphique de variables, accompagnée d’un axe de coordonnées
Une opération entre des nombres réels, accompagnée d’un tableau de valeurs possibles

Une relation entre des quantités, des variables ou des inconnues, accompagnée d’un ensemble de solutions

Explication

Une équation exprime une relation entre différentes quantités, variables ou inconnues et possède un ensemble de solutions. Une représentation graphique peut illustrer une équation, mais elle ne constitue pas sa définition.

2. Quelle inclusion entre les ensembles numériques est correcte ?

Z⊂N⊂R⊂Q\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{Q}
N⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
N⊂Q⊂Z⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{R}
R⊂Q⊂Z⊂N\mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Explication

Chaque entier naturel est entier, chaque entier est rationnel et chaque rationnel est réel, d’où cette chaîne d’inclusions. L’inclusion inverse entre Q\mathbb{Q} et R\mathbb{R} est fausse, car certains réels sont irrationnels.

3. Dans une fonction f:A→Bf:A\to B, quel rôle joue l’ensemble AA ?

Il contient les valeurs possibles obtenues après application de la fonction
Il contient les images effectivement produites par chaque argument
Il contient les coefficients utilisés dans l’expression de la fonction
Il contient les arguments auxquels la fonction peut être appliquée

Il contient les arguments auxquels la fonction peut être appliquée

Explication

Dans une fonction f:A→Bf:A\to B, chaque élément de AA est un argument et possède une image dans BB. L’ensemble BB est l’ensemble d’arrivée, tandis que les images sont les valeurs associées aux arguments.

4. Laquelle des expressions définit une fonction polynomiale ?

f(x)=a0ln⁡(x)+a1f(x)=a_0\ln(x)+a_1 avec tous les aia_i réels
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0 avec tous les aia_i réels
f(x)=a0sin⁡(x)+a1f(x)=a_0\sin(x)+a_1 avec tous les aia_i réels
f(x)=a1x+a0f(x)=\frac{a_1}{x}+a_0 avec tous les aia_i réels

$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$ avec tous les $$a_i$$ réels

Explication

Une fonction polynomiale est une somme finie de puissances entières positives ou nulles de xx, dont les coefficients sont réels. Les expressions contenant une division par xx, un sinus ou un logarithme ne sont pas de cette forme polynomiale.

5. Si ff et gg sont définies sur AA, quel est le domaine de définition de f/gf/g ?

L’ensemble des points où f(x)=g(x)f(x)=g(x)
L’ensemble {x∈A∣g(x)≠0}\{x\in A\mid g(x)\neq0\}
L’ensemble A∪{x∣g(x)=0}A\cup\{x\mid g(x)=0\}
L’ensemble {x∈A∣f(x)≠0}\{x\in A\mid f(x)\neq0\}

L’ensemble $$\{x\in A\mid g(x)\neq0\}$$

Explication

Le quotient est défini par (f/g)(x)=f(x)g(x)(f/g)(x)=\frac{f(x)}{g(x)} lorsque le dénominateur g(x)g(x) est non nul. Les zéros de ff ne posent pas de problème pour le quotient, tandis que les zéros de gg doivent être exclus.

6. Si f:A→Bf:A\to B et g:B→Cg:B\to C, comment calcule-t-on la composée g∘fg\circ f ?

On applique d’abord ff à xx, puis gg au résultat obtenu
On multiplie les valeurs f(x)f(x) et g(x)g(x) pour obtenir une valeur dans CC
On additionne les valeurs f(x)f(x) et g(x)g(x) dans l’ensemble d’arrivée
On applique d’abord gg à xx, puis ff au résultat obtenu

On applique d’abord $$f$$ à $$x$$, puis $$g$$ au résultat obtenu

Explication

La composée est définie par (g∘f)(x)=g(f(x))(g\circ f)(x)=g(f(x)) : ff transforme d’abord xx en un élément de BB, puis gg transforme cet élément en un élément de CC. L’ordre inverse correspondrait à f∘gf\circ g et n’est pas garanti ici.

7. Que signifie lim⁡x→cf(x)=L\lim_{x\to c}f(x)=L ?

La fonction est définie en cc et possède une valeur différente de LL
Les valeurs de f(x)f(x) se rapprochent de LL lorsque xx se rapproche de cc
La valeur f(c)f(c) est nécessairement égale à LL lorsque xx se rapproche de cc
La fonction prend la valeur LL pour tout xx suffisamment proche de cc

Les valeurs de $$f(x)$$ se rapprochent de $$L$$ lorsque $$x$$ se rapproche de $$c$$

Explication

La limite décrit le comportement des valeurs de la fonction lorsque la variable s’approche de cc. Elle peut exister même si f(c)f(c) n’est pas définie ou n’est pas égale à LL, contrairement à la continuité en cc.

8. Quelle condition caractérise l’existence de lim⁡x→cf(x)=L\lim_{x\to c}f(x)=L ?

La limite à droite existe et vaut LL, tandis que la limite à gauche peut être absente
La limite à gauche existe et vaut LL, tandis que la limite à droite peut être différente
La valeur f(c)f(c) existe et vaut LL, même si les limites latérales diffèrent
Les limites à gauche et à droite existent et sont toutes deux égales à LL

Les limites à gauche et à droite existent et sont toutes deux égales à $$L$$

Explication

La limite en cc existe si et seulement si les deux limites latérales existent et coïncident avec LL. L’existence de f(c)f(c) ne suffit pas lorsque les comportements à gauche et à droite sont différents.

9. Dans le théorème des gendarmes, quelles hypothèses permettent de conclure que lim⁡x→cf(x)=L\lim_{x\to c}f(x)=L ?

Une fonction minore ff près de cc et sa limite vaut LL
Une fonction majore ff près de cc et sa limite vaut LL
Deux fonctions encadrent ff près de cc et leurs limites valent toutes deux LL
Deux fonctions encadrent ff près de cc, même si leurs limites sont différentes

Deux fonctions encadrent $$f$$ près de $$c$$ et leurs limites valent toutes deux $$L$$

Explication

Le théorème exige un encadrement g(x)≤f(x)≤h(x)g(x)\leq f(x)\leq h(x) et deux bornes dont les limites communes valent LL. Une seule borne ou deux limites distinctes ne suffit pas à imposer la limite de ff.

10. Quelle condition caractérise la dérivabilité de ff en aa ?

La fonction possède une limite finie en aa
La fonction est bornée dans un voisinage de aa
La fonction prend une valeur nulle en aa
La limite du quotient différentiel existe en aa

La limite du quotient différentiel existe en $$a$$

Explication

La dérivabilité en aa exige l’existence de la limite lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}. La continuité en aa ne suffit pas à garantir cette limite, car elle ne contrôle pas le quotient différentiel.

11. Pour f(x)=x2f(x)=x^2, quelle est l’équation de la tangente au graphe au point d’abscisse 11 ?

y=x+1y=x+1
y=2x+1y=2x+1
y=x−1y=x-1
y=2x−1y=2x-1

$$y=2x-1$$

Explication

La dérivée vaut f′(1)=2f'(1)=2 et le point de contact est (1,1)(1,1), d’où l’équation y−1=2(x−1)y-1=2(x-1). La valeur 22 représente la pente, et non l’équation complète de la tangente.

12. Quelle dérivée usuelle est correcte pour une fonction définie sur un intervalle où l’expression a un sens ?

ddxcos⁡x=−sin⁡x\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x
ddxcos⁡x=sin⁡x\frac{d}{dx}\cos x=\sin x
ddxex=xex−1\frac{d}{dx}e^x=xe^{x-1}
ddxln⁡x=ln⁡x\frac{d}{dx}\ln x=\ln x

$$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$

Explication

La dérivée de cos⁡x\cos x est −sin⁡x-\sin x. La dérivée de ln⁡x\ln x vaut 1x\frac1x, tandis que celle de exe^x reste exe^x.

13. Si uu est dérivable en aa et gg en u(a)u(a), comment s’écrit la dérivée de g∘ug\circ u en aa ?

(g∘u)′(a)=g′(u′(a))u(a)(g\circ u)'(a)=g'(u'(a))u(a)
(g∘u)′(a)=g′(u(a))u′(a)(g\circ u)'(a)=g'(u(a))u'(a)
(g∘u)′(a)=g′(a)+u′(a)(g\circ u)'(a)=g'(a)+u'(a)
(g∘u)′(a)=g(u(a))u′(a)(g\circ u)'(a)=g(u(a))u'(a)

$$(g\circ u)'(a)=g'(u(a))u'(a)$$

Explication

La règle de la chaîne multiplie la dérivée extérieure évaluée en u(a)u(a) par la dérivée intérieure évaluée en aa. Une somme de dérivées correspond à une autre structure, pas à une composition.

14. Lorsqu’on calcule ∂f∂x(a,b)\frac{\partial f}{\partial x}(a,b), quelle variable est maintenue constante ?

La variable yy reste constante
Les deux variables varient simultanément
La valeur f(a,b)f(a,b) reste constante
La variable xx reste constante

La variable $$y$$ reste constante

Explication

La dérivée partielle selon xx fait varier xx tout en maintenant yy fixe. Pour la dérivée selon yy, c’est au contraire xx qui reste constant.

15. Quelle expression représente le plan tangent au graphe de ff en (a,b,f(a,b))(a,b,f(a,b)) ?

z=f(x,y)+∂f∂x(a,b)(x+a)+∂f∂y(a,b)(y+b)z=f(x,y)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x+a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y+b)
z=f(a,b)+∂f∂x(a,b)(x−a)+∂f∂y(a,b)(y−b)z=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)
z=f(a,b)+∂f∂x(a,b)(y−b)+∂f∂y(a,b)(x−a)z=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(y-b)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(x-a)
z=f(a,b)+∂f∂x(x,y)(x−a)+∂f∂y(x,y)(y−b)z=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)(y-b)

$$z=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)$$

Explication

Le plan tangent utilise la valeur de la fonction et les deux dérivées partielles évaluées au point de contact, avec les écarts x−ax-a et y−by-b. Les autres expressions déplacent les coordonnées, les points d’évaluation ou les rôles des variables.

16. Que décrit une équation différentielle ?

Une relation algébrique entre deux constantes indépendantes
Une formule donnant une fonction sans faire intervenir ses variations
Une relation entre une fonction d’une variable et ses dérivées
Une égalité entre deux fonctions de deux variables sans dérivée

Une relation entre une fonction d’une variable et ses dérivées

Explication

Une équation différentielle relie une fonction à une variable à une ou plusieurs de ses dérivées. Une équation algébrique peut déterminer des valeurs sans exprimer cette relation de variation.

17. Quelle différence mathématique distingue les modèles de Malthus et de Verhulst ?

Malthus ajoute le terme de limitation −mu2-mu^2 au modèle de Verhulst
Verhulst remplace la dérivée par une constante indépendante de uu
Malthus décrit une croissance quadratique tandis que Verhulst décrit une croissance linéaire
Verhulst ajoute le terme de limitation −mu2-mu^2 au modèle de Malthus

Verhulst ajoute le terme de limitation $$-mu^2$$ au modèle de Malthus

Explication

Le modèle de Malthus est u′(t)=bu(t)u'(t)=bu(t), tandis que Verhulst introduit −mu2-mu^2, ce qui limite la croissance. La présence de ce terme quadratique est donc propre au modèle de Verhulst dans cette comparaison.

18. Comment définit-on une suite numérique (un)\left(u_n\right) ?

Comme une fonction de R2\mathbb{R}^2 vers R\mathbb{R}
Comme une fonction de R\mathbb{R} vers N\mathbb{N}
Comme une fonction de N\mathbb{N} vers R\mathbb{R}
Comme une constante réelle indexée par un intervalle

Comme une fonction de $$\mathbb{N}$$ vers $$\mathbb{R}$$

Explication

Une suite numérique est une fonction u:N→Ru:\mathbb{N}\to\mathbb{R}, et son terme d’indice nn est noté un=u(n)u_n=u(n). Son domaine est donc constitué des entiers naturels, tandis que ses valeurs sont réelles.

19. Quelle condition exprime la convergence de (un)\left(u_n\right) vers ℓ\ell ?

Les termes unu_n sont égaux à ℓ\ell à partir d’un certain rang
Il existe un ε>0\varepsilon>0 tel que ∣un−ℓ∣<ε|u_n-\ell|<\varepsilon pour tout nn
Pour tout ε>0\varepsilon>0, il existe NN tel que ∣un−ℓ∣<ε|u_n-\ell|<\varepsilon dès que n≥Nn\geq N
Pour tout nn, on a ∣un−ℓ∣<1n|u_n-\ell|<\frac1n

Pour tout $$\varepsilon>0$$, il existe $$N$$ tel que $$|u_n-\ell|<\varepsilon$$ dès que $$n\geq N$$

Explication

La convergence signifie que tout voisinage de rayon ε\varepsilon autour de ℓ\ell contient les termes à partir d’un certain rang. Elle ne demande pas que les termes deviennent exactement égaux à ℓ\ell.

20. Si un≤vn≤wnu_n\leq v_n\leq w_n pour tout nn et si unu_n et wnw_n convergent vers ℓ\ell, que peut-on conclure ?

La suite vnv_n oscille entre les limites des deux bornes
La suite vnv_n diverge vers +∞+\infty
La suite vnv_n converge vers la moyenne des deux bornes
La suite vnv_n converge vers ℓ\ell

La suite $$v_n$$ converge vers $$\ell$$

Explication

Le théorème des gendarmes impose à la suite intermédiaire la même limite que les deux suites qui l’encadrent. La moyenne des bornes n’est pas la conclusion du théorème, même si leurs limites coïncident.

21. Quelle itération définit la méthode de Newton pour résoudre approximativement f(x)=0f(x)=0 ?

xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
xn+1=xn+f(xn)f′(xn)x_{n+1}=x_n+\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
xn+1=f(xn)xn−f′(xn)x_{n+1}=\frac{f(x_n)}{x_n-f'(x_n)}
xn+1=xn−f′(xn)f(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f'(x_n)}{f(x_n)}

$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

Explication

La méthode de Newton corrige l’approximation courante en retranchant le rapport entre la valeur de la fonction et sa dérivée. Inverser ce rapport ou changer le signe ne correspond pas à l’itération de Newton.

22. Quand une série de terme général ana_n est-elle dite convergente ?

Lorsque la suite de ses sommes partielles Sn=∑k=0nakS_n=\sum_{k=0}^n a_k converge
Lorsque la suite de ses termes ana_n est bornée
Lorsque la suite de ses termes ana_n reste strictement positive
Lorsque la suite de ses sommes partielles devient constante après un rang

Lorsque la suite de ses sommes partielles $$S_n=\sum_{k=0}^n a_k$$ converge

Explication

Une série converge lorsque la suite de ses sommes partielles Sn=∑k=0nakS_n=\sum_{k=0}^n a_k admet une limite. La positivité, la constance éventuelle ou le caractère borné des termes ne suffisent pas à définir la convergence d’une série.

23. Quelle est la valeur de la série géométrique ∑k=0∞3(12)k\sum_{k=0}^{\infty}3\left(\frac{1}{2}\right)^k ?

66
32\frac{3}{2}
La série diverge car son premier terme vaut 33
33

$$6$$

Explication

Ici, a=3a=3 et r=12r=\frac{1}{2}, donc ∣r∣<1|r|<1 et la somme vaut a1−r=31−1/2=6\frac{a}{1-r}=\frac{3}{1-1/2}=6. La valeur du premier terme n’empêche pas la convergence lorsque la raison a une valeur absolue inférieure à 11.

24. Pour montrer que la série ∑ak\sum a_k converge par comparaison, quelle condition suffit-il de vérifier à partir d’un certain rang ?

Vérifier que 0≤ak≤ck0\leq a_k\leq c_k et que ∑ck\sum c_k converge
Vérifier que aka_k et ckc_k ont la même limite non nulle
Vérifier que ak≤ck≤0a_k\leq c_k\leq0 et que ∑ck\sum c_k diverge
Vérifier que ak≥ck≥0a_k\geq c_k\geq0 et que ∑ck\sum c_k converge

Vérifier que $$0\leq a_k\leq c_k$$ et que $$\sum c_k$$ converge

Explication

La comparaison par majoration garantit la convergence lorsque 0≤ak≤ck0\leq a_k\leq c_k à partir d’un certain rang et que la série majorante converge. Une minoration par une série convergente ne fournit pas ce résultat.

25. Quel énoncé décrit correctement la série harmonique ∑k=1∞1k\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} ?

Elle diverge malgré le fait que son terme général tende vers zéro
Elle converge parce que son terme général tend vers zéro
Elle converge comme une série géométrique de raison 12\frac{1}{2}
Elle diverge parce que ses termes deviennent alternativement positifs et négatifs

Elle diverge malgré le fait que son terme général tende vers zéro

Explication

La série harmonique diverge, même si 1k→0\frac{1}{k}\to0, car la convergence du terme général vers zéro est une condition nécessaire mais non suffisante. Elle n’est pas une série géométrique et ses termes ne sont pas alternativement signés.

26. Une série entière converge en x=cx=c. Que peut-on en déduire pour une valeur xx telle que ∣x∣<∣c∣|x|<|c| ?

La série converge en xx
La série diverge en xx
La série devient nécessairement une série harmonique en xx
La série possède nécessairement la même somme qu’en cc

La série converge en $$x$$

Explication

La convergence d’une série entière en cc se propage vers l’intérieur : elle entraîne la convergence pour tout xx vérifiant ∣x∣<∣c∣|x|<|c|. Elle ne permet pas de conclure que les sommes en deux points sont identiques.

27. Quelle propriété distingue la série harmonique ∑k=1∞1k\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} d’une série convergente obtenue par comparaison par majoration ?

La série harmonique converge, tandis qu’une série dominée par une série convergente diverge
La série harmonique alterne, tandis qu’une série dominée possède des termes positifs
La série harmonique diverge, tandis qu’une série dominée par une série convergente peut converger
La série harmonique est géométrique, tandis qu’une série dominée est nécessairement entière

La série harmonique diverge, tandis qu’une série dominée par une série convergente peut converger

Explication

La série harmonique est divergente, alors qu’une série à termes positifs majorée à partir d’un certain rang par une série convergente converge. La série harmonique n’est ni alternée ni géométrique.

28. Quelle expression représente la série de Taylor d’une fonction infiniment dérivable ff centrée en x0x_0 ?

∑k=0∞f(k)(x)k!(x0−x)k\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x)}{k!}(x_0-x)^k
∑k=0∞f(k)(x0)(x−x0)k\sum_{k=0}^{\infty}f^{(k)}(x_0)(x-x_0)^k
∑k=0∞f(k)(x0)k!(x−x0)k\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k
∑k=0∞f(k)(0)k!xk\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$

Explication

La série de Taylor utilise les dérivées évaluées au centre x0x_0, les puissances de x−x0x-x_0 et les facteurs k!k!. L’expression centrée en zéro correspond au cas particulier de Maclaurin, tandis que l’absence de factorielle donne une formule incorrecte.

29. Dans la formule de Taylor f(x)=∑k=0nf(k)(x0)k!(x−x0)k+Rn(x)f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x), que représente Rn(x)R_n(x) ?

La dérivée d’ordre nn évaluée au point x0x_0
Le reste qui mesure l’écart entre f(x)f(x) et le polynôme de Taylor d’ordre nn
La somme infinie de tous les termes de la série centrée en zéro
Le terme de degré exactement nn du polynôme de Taylor

Le reste qui mesure l’écart entre $$f(x)$$ et le polynôme de Taylor d’ordre $$n$$

Explication

Rn(x)R_n(x) est le reste, c’est-à-dire l’erreur commise lorsqu’on remplace la fonction par la somme finie jusqu’à l’ordre nn. Le polynôme de Taylor correspond à la somme finie, et non au reste.

30. Quelle série entière représente cos⁡(x)\cos(x) pour tout réel xx ?

∑m=0∞(−1)mx2m+1(2m+1)!\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m x^{2m+1}}{(2m+1)!}
∑m=0∞x2m(2m)!\sum_{m=0}^{\infty}\frac{x^{2m}}{(2m)!}
∑m=0∞(−1)mxmm!\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m x^m}{m!}
∑m=0∞(−1)mx2m(2m)!\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}

$$\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^m x^{2m}}{(2m)!}$$

Explication

Le développement de cos⁡(x)\cos(x) ne contient que les puissances paires x2mx^{2m}, avec des signes alternés et le dénominateur (2m)!(2m)!. La série en puissances impaires correspond au développement de sin⁡(x)\sin(x).

31. Quelle expression définit un nombre complexe ?

a+iba+ib avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=−1i^2=-1
a−ba-b avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=−1i^2=-1
a+iba+ib avec a,b∈Ca,b\in\mathbb{C} et i2=1i^2=1
ab+iab+i avec a,b∈Ra,b\in\mathbb{R} et i2=−1i^2=-1

$$a+ib$$ avec $$a,b\in\mathbb{R}$$ et $$i^2=-1$$

Explication

Un nombre complexe s’écrit a+iba+ib, où les coefficients aa et bb sont réels et où i2=−1i^2=-1. L’expression utilisant i2=1i^2=1 ne définit pas l’unité imaginaire complexe.

32. Pour z=5−3iz=5-3i, quelles sont sa partie réelle et sa partie imaginaire ?

Re⁡(z)=−3i\operatorname{Re}(z)=-3i et Im⁡(z)=5\operatorname{Im}(z)=5
Re⁡(z)=5\operatorname{Re}(z)=5 et Im⁡(z)=−3i\operatorname{Im}(z)=-3i
Re⁡(z)=5\operatorname{Re}(z)=5 et Im⁡(z)=−3\operatorname{Im}(z)=-3
Re⁡(z)=−3\operatorname{Re}(z)=-3 et Im⁡(z)=5\operatorname{Im}(z)=5

$$\operatorname{Re}(z)=5$$ et $$\operatorname{Im}(z)=-3$$

Explication

Dans l’écriture a+iba+ib, la partie réelle est le coefficient réel aa et la partie imaginaire est le coefficient bb. Ainsi, dans 5−3i5-3i, la partie imaginaire vaut −3-3, et non −3i-3i.

33. En développant (2+3i)(4−i) (2+3i)(4-i) , quelle expression obtient-on ?

8−3i8-3i
5+10i5+10i
11+10i11+10i
11+2i11+2i

$$11+10i$$

Explication

La formule donne ac−bd+i(ad+bc)ac-bd+i(ad+bc) ; ici, elle conduit à 8−(−3)+i(−2+12)=11+10i8-(-3)+i(-2+12)=11+10i. Le terme réel ne correspond donc pas à un simple produit des parties réelles.

34. Quelle opération permet de calculer a+ibc+id\frac{a+ib}{c+id} lorsque c+id≠0c+id\neq0 ?

Soustraire idid au numérateur et au dénominateur
Multiplier le numérateur et le dénominateur par c+idc+id
Multiplier le numérateur et le dénominateur par c−idc-id
Diviser séparément les parties réelles et imaginaires

Multiplier le numérateur et le dénominateur par $$c-id$$

Explication

On rationalise le dénominateur en multipliant les deux termes de la fraction par le conjugué c−idc-id. Multiplier par le dénominateur lui-même ne supprime pas la partie imaginaire du dénominateur.

35. Que représente le module de z=a+ibz=a+ib dans le plan complexe ?

La distance entre les points de coordonnées (a,b)(a,b) et (a,−b)(a,-b)
La distance entre l’origine et le point de coordonnées (a,b)(a,b)
Le point symétrique de (a,b)(a,b) par rapport à l’axe réel
L’angle entre l’axe réel et le point de coordonnées (a,b)(a,b)

La distance entre l’origine et le point de coordonnées $$(a,b)$$

Explication

Le module est ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^2+b^2}, c’est donc une distance réelle positive entre l’origine et le point représentant zz. Le point symétrique correspond au conjugué, pas au module.

36. Quel est le conjugué de z=−2+7iz=-2+7i ?

z‾=2−7i\overline z=2-7i
z‾=2+7i\overline z=2+7i
z‾=−2+7i\overline z=-2+7i
z‾=−2−7i\overline z=-2-7i

$$\overline z=-2-7i$$

Explication

Le conjugué de a+iba+ib est a−iba-ib : seule le signe de la partie imaginaire change. Géométriquement, cette transformation réalise une symétrie par rapport à l’axe réel.

37. Dans quel intervalle l’argument principal Arg⁡(z)\operatorname{Arg}(z) est-il choisi ?

(−π,π](-\pi,\pi]
[−π,π)[-\pi,\pi)
(−2π,2π](-2\pi,2\pi]
[0,2π][0,2\pi]

$$(-\pi,\pi]$$

Explication

L’argument principal est l’angle choisi dans l’intervalle (−π,π](-\pi,\pi]. L’intervalle [−π,π)[-\pi,\pi) exclut au contraire π\pi et inclut −π-\pi, ce qui correspond à une convention différente.

38. Si z1=r1(cos⁡θ1+isin⁡θ1)z_1=r_1(\cos\theta_1+i\sin\theta_1) et z2=r2(cos⁡θ2+isin⁡θ2)z_2=r_2(\cos\theta_2+i\sin\theta_2), quels sont le module et un argument du produit z1z2z_1z_2 ?

Le module est r1+r2r_1+r_2 et un argument est θ1θ2\theta_1\theta_2
Le module est r1+r2r_1+r_2 et un argument est θ1+θ2\theta_1+\theta_2
Le module est r1r2r_1r_2 et un argument est θ1+θ2\theta_1+\theta_2
Le module est r1r2r_1r_2 et un argument est θ1−θ2\theta_1-\theta_2

Le module est $$r_1r_2$$ et un argument est $$\theta_1+\theta_2$$

Explication

La forme trigonométrique du produit possède un module égal au produit des modules et un argument égal à la somme des arguments. La soustraction des arguments intervient dans d’autres opérations, comme le quotient.

39. Quelle propriété caractérise un système linéaire à mm équations et nn inconnues ?

Les inconnues apparaissent toutes avec le même coefficient
Le système comporte autant d’équations que d’inconnues
Chaque équation contient nécessairement un produit de deux inconnues
Chaque membre gauche est une combinaison linéaire des inconnues

Chaque membre gauche est une combinaison linéaire des inconnues

Explication

Dans un système linéaire, chaque membre gauche est formé par une combinaison linéaire des inconnues. Le nombre d’équations et le nombre d’inconnues peuvent être différents, et les produits d’inconnues ne sont pas linéaires.

40. Dans quel ordre les étapes principales de la méthode de Gauss sont-elles réalisées ?

Paramétrer, échelonner, puis réduire les variables principales
Échelonner, paramétrer, puis supprimer les pivots
Réduire, paramétrer, puis échelonner le système
Échelonner, réduire, puis paramétrer les variables libres

Échelonner, réduire, puis paramétrer les variables libres

Explication

La méthode commence par la mise sous forme échelonnée, se poursuit par la réduction, puis utilise les variables libres pour paramétrer les solutions. Le paramétrage ne peut pas précéder l’identification des variables libres.

41. Laquelle de ces opérations conserve l’ensemble des solutions d’un système linéaire ?

Multiplier une équation par zéro
Supprimer une équation sans comparer les autres
Remplacer une équation par une constante choisie
Multiplier une équation par un nombre non nul

Multiplier une équation par un nombre non nul

Explication

Multiplier une équation par un nombre non nul produit une équation équivalente et conserve donc les solutions. Une multiplication par zéro détruit l’information portée par l’équation et n’est pas une opération équivalente.

42. Que peut-on conclure si une forme échelonnée contient une ligne 0x1+⋯+0xn=50x_1+\cdots+0x_n=5 ?

La variable correspondant au dernier pivot est libre
Toutes les variables peuvent être choisies comme paramètres
Le système possède une unique solution
Le système est incompatible

Le système est incompatible

Explication

La ligne indique que 0=50=5, ce qui est impossible ; le système n’a donc aucune solution. Une variable libre apparaît plutôt lorsqu’une colonne ne contient pas de pivot, sans produire de contradiction.

43. Que représente une matrice de type m×nm\times n ?

Un tableau carré contenant m×nm\times n lignes et colonnes
Un tableau de nombres avec nn lignes et mm colonnes
Un tableau de nombres avec mm lignes et nn colonnes
Une liste de m+nm+n nombres organisée en une seule ligne

Un tableau de nombres avec $$m$$ lignes et $$n$$ colonnes

Explication

Une matrice de type m×nm\times n possède mm lignes et nn colonnes. L’ordre des deux nombres indique donc d’abord le nombre de lignes, puis celui des colonnes.

44. Si AA est de type 2×32\times3 et BB de type 3×43\times4, quel est le type du produit ABAB ?

Une matrice de type 2×32\times3
Une matrice de type 2×42\times4
Une matrice de type 4×24\times2
Une matrice de type 3×33\times3

Une matrice de type $$2\times4$$

Explication

Les dimensions intérieures, 33 et 33, coïncident, donc le produit est défini et conserve les dimensions extérieures 2×42\times4. Le résultat ne reprend pas les dimensions de l’une des matrices prises séparément.

45. Quelle propriété décrit correctement la multiplication matricielle pour deux matrices compatibles ?

On a toujours AB=BAAB=BA lorsque les deux produits sont définis
On a généralement AB≠BAAB\neq BA, et l’un des produits peut être non défini
La multiplication matricielle est commutative comme celle des nombres réels
Les produits ABAB et BABA ont toujours des dimensions identiques

On a généralement $$AB\neq BA$$, et l’un des produits peut être non défini

Explication

La multiplication matricielle n’est généralement pas commutative : l’ordre des facteurs peut modifier le résultat. Même lorsque ABAB est défini, BABA peut avoir d’autres dimensions ou ne pas être défini.

46. Quelle condition caractérise l’inversibilité d’une matrice carrée AA ?

La matrice AA possède autant de lignes que de colonnes
Il existe une matrice A−1A^{-1} telle que AA−1=I=A−1AAA^{-1}=I=A^{-1}A
Le produit A2A^2 est égal à la matrice identité II
Il existe une matrice BB telle que A+B=IA+B=I

Il existe une matrice $$A^{-1}$$ telle que $$AA^{-1}=I=A^{-1}A$$

Explication

Une matrice carrée est inversible lorsqu’elle possède un inverse qui donne la matrice identité à gauche et à droite. Le fait d’être carrée est nécessaire pour cette définition, mais ne suffit pas à garantir l’existence de l’inverse.

47. Lequel des ensembles suivants peut être un espace vectoriel selon le critère donné ?

Un ensemble stable par multiplication scalaire mais non stable par addition
Un ensemble contenant 00 mais non stable par multiplication scalaire
Un ensemble contenant 00 et stable par addition et par multiplication scalaire
Un ensemble stable par addition mais dépourvu du vecteur nul

Un ensemble contenant $$0$$ et stable par addition et par multiplication scalaire

Explication

Un espace vectoriel doit contenir le vecteur nul et être stable par addition ainsi que par multiplication par un scalaire réel. La stabilité par addition ne suffit donc pas si le vecteur nul n’appartient pas à l’ensemble.

48. Laquelle des expressions suivantes est une combinaison linéaire de v1,…,vpv_1,\ldots,v_p ?

v1v2+⋯+vp−1vpv_1v_2+\cdots+v_{p-1}v_p formé par des produits de vecteurs
v1+⋯+vpv_1+\cdots+v_p sans coefficients scalaires associés
λ1v1+⋯+λpvp\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_pv_p avec des scalaires réels λi\lambda_i
λ1+⋯+λp\lambda_1+\cdots+\lambda_p formé à partir de scalaires réels

$$\lambda_1v_1+\cdots+\lambda_pv_p$$ avec des scalaires réels $$\lambda_i$$

Explication

Une combinaison linéaire associe à chaque vecteur un coefficient scalaire, puis additionne les vecteurs ainsi pondérés. Une somme sans coefficients explicites est un cas particulier, mais elle ne donne pas la forme générale demandée.

49. Que contient l’espace Vect⁡(S)\operatorname{Vect}(S) engendré par un ensemble de vecteurs SS ?

Les seuls vecteurs présents initialement dans SS
Toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de SS
Les vecteurs obtenus en multipliant chaque élément de SS par un coefficient fixé
Les vecteurs de SS auxquels on ajoute leurs produits deux à deux

Toutes les combinaisons linéaires des vecteurs de $$S$$

Explication

Par définition, Vect⁡(S)\operatorname{Vect}(S) rassemble toutes les combinaisons linéaires possibles des vecteurs de SS. Il peut donc contenir de nombreux vecteurs qui ne figuraient pas dans l’ensemble générateur initial.

50. Quelle méthode permet de réduire une partie génératrice à l’aide d’une matrice ?

Placer les vecteurs en colonnes, échelonner la matrice et garder les colonnes pivot
Placer les vecteurs en lignes, puis garder les lignes sans pivot après échelonnement
Additionner tous les vecteurs, puis conserver ceux dont les coordonnées sont positives
Calculer le déterminant de chaque vecteur et supprimer ceux de déterminant nul

Placer les vecteurs en colonnes, échelonner la matrice et garder les colonnes pivot

Explication

La procédure consiste à placer les vecteurs en colonnes, à échelonner la matrice, puis à retenir les vecteurs correspondant aux colonnes contenant un pivot. Les colonnes pivot repèrent ainsi les vecteurs nécessaires à la partie génératrice réduite.

51. Que signifie dire qu’une partie SS est génératrice d’un espace vectoriel VV ?

Les vecteurs de SS sont tous indépendants et forment une famille minimale
Tout vecteur de VV s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de SS
Chaque vecteur de VV est égal à la somme des vecteurs de SS sans coefficients
Les vecteurs de SS appartiennent à VV mais ne permettent pas d’obtenir les autres vecteurs

Tout vecteur de $$V$$ s’écrit comme une combinaison linéaire des vecteurs de $$S$$

Explication

Une partie génératrice permet d’exprimer chaque élément de l’espace comme une combinaison linéaire de ses vecteurs. Cette propriété ne garantit pas à elle seule que la famille soit libre ou minimale.

52. Lorsqu’on extrait une partie génératrice minimale par échelonnement, quels vecteurs conserve-t-on ?

Les vecteurs correspondant aux colonnes sans pivot de la matrice échelonnée
Les vecteurs dont toutes les coordonnées sont non nulles
Les vecteurs placés dans les dernières colonnes avant l’échelonnement
Les vecteurs correspondant aux colonnes pivot de la matrice échelonnée

Les vecteurs correspondant aux colonnes pivot de la matrice échelonnée

Explication

Les colonnes pivot indiquent les vecteurs à conserver pour obtenir une partie génératrice minimale. Les colonnes sans pivot correspondent aux vecteurs qui peuvent être supprimés sans modifier l’espace engendré.

53. À quelles deux conditions une partie de VV est-elle une base de VV ?

Elle contient le vecteur nul et possède des vecteurs distincts
Elle contient autant de vecteurs que les coordonnées utilisées
Elle est à la fois génératrice de VV et libre
Elle est stable par addition et comporte plusieurs vecteurs

Elle est à la fois génératrice de $$V$$ et libre

Explication

Une base doit permettre d’engendrer tout l’espace et ne comporter aucune relation linéaire non triviale entre ses vecteurs. Elle est donc simultanément génératrice et libre.

54. Comment définit-on la dimension d’un espace vectoriel VV ?

Comme le nombre de pivots d’une matrice représentant n’importe quel système
Comme le nombre de coefficients utilisés dans une combinaison linéaire particulière
Comme le nombre de vecteurs dans une base de VV
Comme le nombre total de vecteurs appartenant à VV

Comme le nombre de vecteurs dans une base de $$V$$

Explication

La dimension est le nombre d’éléments d’une base, et ce nombre est identique pour toutes les bases de l’espace. Le nombre de pivots peut coïncider dans un contexte matriciel, mais il ne constitue pas la définition générale de la dimension.

55. Pour une matrice AA de taille m×nm\times n, quelle propriété possède l’ensemble des solutions de Ax=0Ax=0 ?

Il contient uniquement le vecteur nul
Il forme un espace vectoriel
Il forme une matrice carrée
Il correspond à l’image de AA

Il forme un espace vectoriel

Explication

L’ensemble des solutions d’un système homogène est fermé pour l’addition et la multiplication scalaire, donc il forme un espace vectoriel. Il peut contenir des vecteurs non nuls et ne se confond pas avec l’image de la matrice.

56. Une matrice AA possède n=5n=5 colonnes et un rang égal à 33. Quelle est la dimension de l’espace des solutions de Ax=0Ax=0 ?

22
88
55
33

$$2$$

Explication

La formule donne dim⁡(K)=n−rang⁡(A)=5−3=2\dim(K)=n-\operatorname{rang}(A)=5-3=2. Le rang compte les pivots, tandis que la dimension du noyau compte les variables libres.

57. Quelle condition caractérise une application linéaire f:Rn→Rmf:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m ?

Elle respecte les sommes et les multiplications scalaires
Elle conserve les longueurs et les angles des vecteurs
Elle respecte les scalaires mais pas forcément les sommes
Elle respecte les sommes mais pas forcément les scalaires

Elle respecte les sommes et les multiplications scalaires

Explication

Une application linéaire vérifie à la fois f(x+y)=f(x)+f(y)f(x+y)=f(x)+f(y) et f(λx)=λf(x)f(\lambda x)=\lambda f(x). Le respect d’une seule de ces propriétés ne suffit pas à établir la linéarité.

58. Quelle application linéaire est définie par une matrice AA de taille m×nm\times n ?

LA:Rm→Rn, x↦AxL_A:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n,\ x\mapsto Ax
LA:Rm→Rm, x↦xAL_A:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^m,\ x\mapsto xA
LA:Rn→Rn, x↦A+xL_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n,\ x\mapsto A+x
LA:Rn→Rm, x↦AxL_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\ x\mapsto Ax

$$L_A:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,\ x\mapsto Ax$$

Explication

La multiplication à gauche par une matrice m×nm\times n transforme un vecteur de Rn\mathbb{R}^n en un vecteur de Rm\mathbb{R}^m. Toute application linéaire entre ces espaces peut être représentée de cette manière.

59. Que représente le noyau d’une application f:Rn→Rmf:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m ?

L’ensemble des valeurs atteintes par l’application
L’ensemble des valeurs non atteintes par l’application
L’ensemble des vecteurs envoyés sur eux-mêmes
L’ensemble des vecteurs envoyés sur le vecteur nul

L’ensemble des vecteurs envoyés sur le vecteur nul

Explication

Le noyau est défini par Ker⁡(f)={x∈Rn∣f(x)=0}\operatorname{Ker}(f)=\{x\in\mathbb{R}^n\mid f(x)=0\}, donc il regroupe les antécédents de zéro. Les valeurs effectivement obtenues constituent l’image.

60. Une application linéaire associée à une matrice AA de taille m×nm\times n possède un rang égal à rr. Quelle est la dimension de son noyau ?

r−nr-n
n−rn-r
m+n−rm+n-r
m−rm-r

$$n-r$$

Explication

La dimension du noyau vérifie dim⁡(Ker⁡(f))=n−rang⁡(A)=n−r\dim(\operatorname{Ker}(f))=n-\operatorname{rang}(A)=n-r. La dimension de l’image, quant à elle, est égale à rr.

61. Quand un réel λ\lambda est-il une valeur propre d’une matrice carrée AA ?

Lorsqu’il existe un vecteur non nul xx tel que Ax=λxAx=\lambda x
Lorsqu’un vecteur non nul vérifie Ax=x+λAx=x+\lambda
Lorsqu’un vecteur quelconque vérifie Ax=λ+xAx=\lambda+x
Lorsqu’il existe un vecteur nul xx tel que Ax=λxAx=\lambda x

Lorsqu’il existe un vecteur non nul $$x$$ tel que $$Ax=\lambda x$$

Explication

Une valeur propre est un scalaire pour lequel l’équation Ax=λxAx=\lambda x possède une solution non nulle. Le vecteur nul satisfait cette équation pour tout scalaire et ne permet donc pas de définir une valeur propre.

62. Quel vecteur est un vecteur propre de AA associé à λ\lambda ?

Un vecteur quelconque vérifiant Ax=λ+xAx=\lambda+x
Un vecteur non nul vérifiant Ax=x+λAx=x+\lambda
Un vecteur non nul xx vérifiant Ax=λxAx=\lambda x
Un vecteur nul vérifiant Ax=λxAx=\lambda x

Un vecteur non nul $$x$$ vérifiant $$Ax=\lambda x$$

Explication

Un vecteur propre doit être non nul et satisfaire Ax=λxAx=\lambda x pour une valeur propre λ\lambda. Le vecteur nul est exclu, même s’il vérifie formellement l’équation.

63. Pour une matrice 2×22\times2, quel critère permet de déterminer si λ\lambda est une valeur propre ?

Vérifier que det⁡(A−λI2)=0\det(A-\lambda I_2)=0
Résoudre directement Ax=λAx=\lambda sans condition supplémentaire
Vérifier que det⁡(A−λI2)≠0\det(A-\lambda I_2)\ne0
Vérifier que det⁡(A+λI2)=1\det(A+\lambda I_2)=1

Vérifier que $$\det(A-\lambda I_2)=0$$

Explication

Le critère caractéristique est det⁡(A−λI2)=0\det(A-\lambda I_2)=0, car cette condition rend le système homogène associé compatible avec un vecteur non nul. La recherche des vecteurs propres intervient ensuite en résolvant ce système.

64. Si une fonction dérivable possède un extremum local en un point intérieur aa de son domaine, quelle condition doit-elle satisfaire en ce point ?

f′′(a)=0f''(a)=0
f′(a)=1f'(a)=1
f′(a)=0f'(a)=0
f(a)=0f(a)=0

$$f'(a)=0$$

Explication

Un extremum local situé en un point intérieur d’une fonction dérivable vérifie la condition nécessaire f′(a)=0f'(a)=0. Cette condition ne garantit toutefois pas à elle seule qu’un point stationnaire soit un extremum.

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