Fiche de révision : Mathématiques : probabilités et géométrie

📋 Plan du Cours

1. Nombres relatifs et priorités
2. Calculs avec les fractions
3. Puissances et notation scientifique
4. Développements algébriques
5. Factorisations algébriques
6. Résolution des équations
7. Divisibilité et nombres premiers
8. Notion générale de fonction
9. Fonctions affines et droites
10. Proportionnalité et pourcentages
11. Pourcentages et évolutions
12. Vocabulaire des probabilités
13. Calculer une probabilité
14. Moyenne médiane et étendue
15. Fréquences et histogrammes
16. Théorème de Thalès
17. Triangles semblables
18. Trigonométrie dans le triangle rectangle

📖 1. Nombres relatifs et priorités

★ À maîtriser

📌 Pour additionner des nombres relatifs de même signe, on conserve leur signe et on additionne leurs distances à zéro ; pour des signes contraires, on conserve le signe du nombre de plus grande distance à zéro et on soustrait les distances.

📌 Dans un calcul, les parenthèses et les expressions avec exposant sont prioritaires, puis les multiplications et divisions se calculent de gauche à droite, avant les additions et soustractions.

Compléments

• Les règles de signes donnent $4\times(-5)=-20$ et $(-12)\div(-3)=4$.

💡 Astuce mémo

PEMDAS rappelle l’ordre des priorités

📖 2. Calculs avec les fractions

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un dénominateur commun non nul $D$, on a $\frac{a}{D}+\frac{b}{D}=\frac{a+b}{D}$ et $\frac{a}{D}-\frac{b}{D}=\frac{a-b}{D}$.

📐 Formule — Pour des fractions non nulles, $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$ et $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

Compléments

• Pour additionner ou soustraire des fractions de dénominateurs différents, on transforme au moins une fraction afin d'obtenir un dénominateur commun, puis on effectue l'opération sur les numérateurs et on simplifie.

💡 Astuce mémo

Même dénominateur pour additionner, inversion pour diviser

📖 3. Puissances et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Produit de $n$ facteurs égaux à $a$.
• Notation scientifique : La notation scientifique écrit un nombre sous la forme $a\times10^n$, avec $1\leq a<10$ et un exposant entier.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour un nombre non nul $a$ et un entier positif $n$, une puissance d'exposant négatif vérifie $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses : le signe appartient au nombre ; sans parenthèses, il reste devant la puissance

📖 4. Développements algébriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — La distributivité simple transforme un produit en somme selon $a(b+c)=ab+ac$.

• Pour développer une double distributivité, chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde, puis les termes semblables sont réduits.

📐 Formule — L'identité remarquable utilisée est $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

💡 Astuce mémo

Distribuer chaque facteur comme une branche vers chaque terme

📖 5. Factorisations algébriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression factorisée : Formée de facteurs multipliés entre eux.

📝 Points essentiels

• 🔄 Pour factoriser avec un facteur commun:

  1. Repérer le facteur commun
  2. Le placer devant une parenthèse
  3. Écrire les facteurs restants dans la parenthèse

• Pour factoriser une différence de carrés, on reconnaît deux carrés puis on applique $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

💡 Astuce mémo

Facteur commun ou différence de carrés → produit de facteurs

📖 6. Résolution des équations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation : Opération à trous dans laquelle les trous sont remplacés par une inconnue.

📝 Points essentiels

• Résoudre une équation consiste à regrouper les termes en $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, réduire chaque membre, puis isoler $x$.

📌 Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul : $a\times b=0\Rightarrow a=0\text{ ou }b=0$.

💡 Astuce mémo

Développer, regrouper, réduire, isoler

📖 7. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

📝 Points essentiels

📌 Un entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 5 si ce chiffre est 0 ou 5, par 10 s'il est 0, par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, et par 9 si cette somme est divisible par 9.

• Tout nombre non premier peut être décomposé en produit de facteurs premiers, et l'ordre des facteurs n'a pas d'importance.

💡 Astuce mémo

Diviser, tester, décomposer, simplifier

📖 8. Notion générale de fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Machine mathématique qui, à un nombre donné, fait correspondre un autre nombre ; le nombre de départ est la variable.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La fonction qui associe à $x$ le nombre $4x$ se note $f:x\mapsto4x$ ou $f(x)=4x$.

📌 L'image de 2 par une fonction est 5 lorsque $f(2)=5$ ; 2 est alors un antécédent de 5.

💡 Astuce mémo

L’image est obtenue à partir d’un antécédent ; un antécédent peut être multiple

📖 9. Fonctions affines et droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Fonction de la forme $x\mapsto ax+b$.

📝 Points essentiels

📌 Une fonction linéaire est de la forme $x\mapsto ax$ et traduit une situation de proportionnalité, tandis qu'une fonction constante est de la forme $x\mapsto b$.

📌 La représentation graphique d'une fonction affine est une droite, celle d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine, et celle d'une fonction constante est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Linéaire : b = 0 et passe par l’origine ; affine : ax + b

📖 10. Proportionnalité et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportionnalité : Situation dans laquelle les nombres d'une ligne d'un tableau s'obtiennent en multipliant ceux de l'autre ligne par un même coefficient.

📝 Points essentiels

📌 Sur un graphique, une situation de proportionnalité est représentée par une droite qui passe par l'origine du repère.

📐 Formule — Pour calculer une proportion de $N\%$ d'un nombre, on multiplie ce nombre par $\frac{N}{100}$.

📐 Formule — Augmenter un nombre de $N\%$ revient à le multiplier par $1+\frac{N}{100}$, tandis que diminuer un nombre de $N\%$ revient à le multiplier par $1-\frac{N}{100}$.

💡 Astuce mémo

Pourcentage d’évolution → coefficient multiplicateur

📖 11. Pourcentages et évolutions

📝 Points essentiels

• 80 % de 25 élèves correspondent à $\frac{80}{100}\times25=20$ élèves.

• Après une réduction de 35 % sur un blouson à 160 €, le nouveau prix est $160\times0{,}65=104\text{ EUR}$.

💡 Astuce mémo

Pourcentage → coefficient multiplicateur → nouvelle valeur

📖 12. Vocabulaire des probabilités

🔑 Notions clés & Définitions

• Expérience aléatoire : Expérience qui possède plusieurs résultats possibles, appelés issues, et pour laquelle il est impossible de prévoir lequel se produira.
• Événement : Constitué d'une ou plusieurs issues d'une même expérience aléatoire.
• Événement contraire : L'ensemble de toutes les issues n'appartenant pas à A.

💡 Astuce mémo

Issue = résultat unique ; événement = une ou plusieurs issues

📖 13. Calculer une probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : Nombre compris entre 0 et 1 qui exprime la chance qu'a un événement de se produire.

📝 Points essentiels

📌 Un événement de probabilité 0 est impossible, un événement de probabilité 1 est certain, et lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, il y a équiprobabilité.

📐 Formule — En équiprobabilité, la probabilité d'un événement A vérifie $P(A)=\frac{\text{nombre d'issues favorables à }A}{\text{nombre total d'issues}}$.

📐 Formule — La probabilité de l'événement contraire vérifie $P(\overline{A})=1-P(A)$.

📖 14. Moyenne médiane et étendue

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : Obtenue en divisant la somme des valeurs par leur nombre.
• Médiane : Partage une série ordonnée en deux groupes de même effectif.
• Étendue : Différence entre sa plus grande valeur et sa plus petite valeur.

📝 Points essentiels

• La moyenne pondérée se calcule en divisant la somme des produits de chaque valeur par son coefficient par la somme des coefficients.

💡 Astuce mémo

Même moyenne, étendues différentes : régularité ≠ moyenne

📖 15. Fréquences et histogrammes

📝 Points essentiels

📐 Formule — La fréquence d'une valeur ou d'une catégorie est donnée par $\text{Fréquence}=\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$.

• Pour calculer des fréquences en pourcentage, on calcule d'abord l'effectif total, puis on divise chaque effectif par ce total et on multiplie le résultat par 100.

💡 Astuce mémo

Effectif → total → fréquence → représentation

📖 16. Théorème de Thalès

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si deux triangles sont formés par des droites sécantes et que leurs côtés correspondants sont parallèles, alors les rapports de longueurs correspondantes sont égaux : $\frac{AB'}{AB}=\frac{AC'}{AC}=\frac{B'C'}{BC}$.

• Pour calculer une longueur avec Thalès, on identifie les triangles en situation de Thalès, on écrit les rapports de côtés correspondants, puis on utilise un produit en croix.

📌 Si les points sont alignés dans le même ordre et que deux rapports de longueurs correspondantes sont égaux, alors les deux droites correspondantes sont parallèles.

💡 Astuce mémo

Parallèles → triangles semblables → rapports proportionnels

📖 17. Triangles semblables

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : Triangles qui ont des angles deux à deux égaux.

★ À maîtriser

📌 Pour montrer que deux triangles sont semblables avec les angles, il suffit de vérifier deux couples d'angles égaux deux à deux, car le troisième couple est alors égal grâce à la somme de 180° dans un triangle.

📌 Deux triangles sont semblables si les longueurs des côtés de l'un sont proportionnelles aux longueurs des côtés correspondants de l'autre.

Compléments

• Le coefficient de proportionnalité entre deux triangles semblables est appelé coefficient d'agrandissement ou de réduction.

💡 Astuce mémo

Angles égaux ou côtés proportionnels : deux critères, même conclusion

📖 18. Trigonométrie dans le triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie axiale : Transforme une figure par effet miroir par rapport à un axe ; le segment reliant un point à son image est perpendiculaire à l'axe et ses extrémités sont à égale distance de l'axe.
• Symétrie centrale : Fait tourner une figure d'un demi-tour autour d'un point O ; O est le milieu du segment reliant un point M à son image M'.
• Translation : Fait glisser une figure selon une flèche qui définit une direction, un sens et une longueur.
• Rotation : Fait tourner une figure autour d'un point selon un angle et un sens donnés, en conservant la distance au centre.
• Homothétie : Transformation qui agrandit ou réduit une figure ; un point et son image sont alignés avec le centre O, et l'image de O est O.
• Sphère : Ensemble des points situés à la même distance de O, appelée rayon.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans un triangle rectangle, $\cos(\text{angle})=\frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin(\text{angle})=\frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$ et $\tan(\text{angle})=\frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$.

📌 Le cosinus ne s'applique jamais à l'angle droit, sa valeur est sans unité et elle est comprise entre 0 et 1.

• Pour calculer un angle ou une longueur, on identifie les côtés connus par rapport à l'angle, on choisit cosinus, sinus ou tangente, puis on utilise la calculatrice en mode degré si nécessaire.

📌 Pour une homothétie de rapport k, les longueurs sont multipliées par |k| et les aires par $k^2$ ; dans le cours, pour k positif, les longueurs sont multipliées par k et les aires par $k^2$.

📌 Pour une homothétie de rapport k, les volumes sont multipliés par $k^3$.

📌 Pour un rapport positif, le point et son image sont du même côté du centre O, tandis que pour un rapport négatif, ils sont de part et d'autre du centre O.

📐 Formule — L'aire d'une sphère de rayon R est $A=4\pi R^2$ et le volume d'une boule de rayon R est $V=\frac{4}{3}\pi R^3$.

📌 Une section de sphère par un plan est un cercle, et lorsque le plan passe par le centre de la sphère, cette section est un grand cercle.

💡 Astuce mémo

CAH SOH TOA

📊 Tableaux de synthèse

Types de fonctions

Critères des triangles semblables