QCM : Mathématiques pures 1 (28 questions)

Explication

La forme canonique, obtenue par carré complété, fait apparaître les coordonnées du sommet de la parabole. Le nombre de racines réelles est plutôt déterminé par le discriminant.

Explication

Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est calculé par $\Delta=b^2-4ac$. La valeur obtenue permet ensuite de déterminer le nombre de racines réelles.

Explication

Une inégalité quadratique se résout en déterminant les intervalles où l’expression est positive ou négative. Le sommet peut aider à comprendre la parabole, mais il ne suffit pas à résoudre l’inégalité.

Explication

L’image est l’ensemble des valeurs produites par la fonction lorsque les éléments du domaine sont utilisés. Le domaine correspond, lui, aux entrées autorisées.

Explication

Une fonction injective associe des valeurs distinctes à des éléments distincts de son domaine, ce qui permet de définir une fonction inverse sur son image. Une fonction injective peut avoir une représentation non linéaire.

Explication

Après l’application de $f$, les valeurs obtenues doivent pouvoir servir d’entrées à $g$. Il faut donc que l’image de $f$ soit incluse dans le domaine de $g$.

Explication

Une modification placée à l’extérieur de la fonction, telle que $f(x)+a$, déplace les valeurs verticalement et agit donc sur $y$. Une modification à l’intérieur, telle que $f(x+a)$, agit sur les valeurs de $x$.

Explication

Dans la forme pente-ordonnée à l’origine $y=mx+c$, $m$ mesure l’inclinaison de la droite. Le terme $c$ représente son ordonnée à l’origine.

Explication

Pour deux droites perpendiculaires dont les gradients existent, le produit des gradients est égal à $-1$. Des gradients égaux caractérisent plutôt des droites parallèles.

Explication

La forme donnée est l’équation cartésienne d’un cercle dont le centre est $(a,b)$ et dont le rayon vaut $r$. Les termes soustraits à $x$ et à $y$ déterminent les coordonnées du centre.

Explication

Un radian est l’angle au centre qui intercepte un arc de longueur égale au rayon. La mesure en degrés repose plutôt sur une division conventionnelle du tour, et non sur le rapport entre l’arc et le rayon.

Explication

L’aire d’un secteur mesuré en radians se calcule par $A=\frac12r^2\theta$, soit ici $\frac12\times 5^2\times 0{,}8$. L’expression doit donc dépendre du carré du rayon, contrairement à la formule de la longueur d’arc.

Explication

Le sinus et le cosinus sont définis pour tous les angles, tandis que la tangente n’est pas définie lorsque le cosinus est nul. Les trois fonctions n’ont donc pas exactement le même domaine de définition.

Explication

Les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente sont notamment attendues pour $30°$, $45°$ et $60°$, comme la valeur exacte de $\cos 60°$. Une valeur décimale arrondie constitue une approximation, pas une valeur exacte.

Explication

L’identité fondamentale donne $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$, lorsque le dénominateur est défini. La relation $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ est une autre identité, mais elle ne définit pas directement la tangente.

Explication

La résolution d’une équation trigonométrique simple consiste à déterminer toutes les solutions appartenant à l’intervalle spécifié. Une forme générale ne répond pas directement à une question limitée à un intervalle donné.

Explication

Le développement de $(a+b)^n$ pour un entier positif s’effectue à l’aide des coefficients binomiaux et de $n!$. Les puissances rationnelles relèvent d’un autre contexte mathématique et ne constituent pas la méthode demandée ici.

Explication

Trois nombres sont dans une progression arithmétique lorsque le terme central est la moyenne des deux autres, ce qui s’écrit $2b=a+c$. La condition $b^2=ac$ caractérise plutôt trois termes d’une progression géométrique.

Explication

Dans une progression géométrique, le rapport entre deux termes successifs est constant, ce qui donne pour trois termes consécutifs $b^2=ac$. La relation $2b=a+c$ correspond à une progression arithmétique.

Explication

Pour les progressions arithmétiques et géométriques, les formules du terme général et de la somme des $n$ premiers termes servent à résoudre des problèmes sur les suites. Les autres propositions concernent respectivement la trigonométrie, les secteurs circulaires ou des développements qui ne relèvent pas de cette règle.

Explication

La dérivée en un point est la limite des gradients de cordes lorsque leurs extrémités se rapprochent, ce qui donne le gradient de la tangente. Le gradient d’une corde concerne deux points distincts et ne représente pas directement la dérivée en un point.

Explication

La fonction donnée est une composition : une puissance est appliquée à l’expression intérieure $3x^2+1$, donc la règle de chaîne est nécessaire. La règle de puissance s’applique directement à une puissance de $x$, sans traiter à elle seule la composition intérieure.

Explication

Le signe de la dérivée première indique si la fonction augmente ou diminue sur un intervalle. L’aire sous une courbe relève de l’intégration, tandis que les autres opérations ne donnent pas directement les variations de la fonction.

Explication

Un point stationnaire satisfait $f'(x)=0$, et l’étude de $f''(x)$ peut indiquer s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum. Une valeur nulle de la fonction ou une dérivée constante ne suffit pas à caractériser un point stationnaire.

Explication

Une intégration indéfinie représente une famille de primitives et comporte une constante d’intégration, alors qu’une intégrale définie est évaluée entre des bornes et produit une valeur numérique. Les deux formes peuvent concerner des sommes et des puissances, donc cette distinction ne repose pas sur les expressions intégrées.

Explication

Une condition connue, comme les coordonnées d’un point appartenant à la courbe, permet de remplacer les coordonnées dans la primitive et de calculer la constante. La dérivée seconde, les bornes d’intégration et l’axe des abscisses ne fournissent pas nécessairement cette condition.

Explication

Une intégrale définie permet de calculer l’aire d’une région limitée par une courbe et des droites parallèles aux axes, par une droite ou par deux courbes. La pente d’une tangente et l’étude des points stationnaires relèvent de la dérivation, tandis qu’une constante de primitive se détermine par une condition.

Explication

Le volume d’un solide de révolution s’obtient par intégration, en additionnant des éléments de volume issus de sections ou de coquilles lorsque la région tourne autour d’un axe. Les autres méthodes ignorent la contribution géométrique des rayons et ne produisent pas le volume recherché.