QCM : Nombres réels et vecteurs (32 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lequel des nombres suivants appartient à l’ensemble des entiers naturels N\mathbb{N} ?

−4-4
00
12\frac{1}{2}
2\sqrt{2}

$$0$$

Explication

Les entiers naturels comprennent les entiers positifs et zéro, donc 00 en fait partie. Le nombre −4-4 est un entier relatif négatif, mais il n’appartient pas à N\mathbb{N}.

2. Quelle caractéristique définit un nombre entier relatif appartenant à Z\mathbb{Z} ?

C’est un nombre qui ne peut pas s’écrire sous forme de fraction.
C’est une fraction dont le dénominateur est une puissance de dix.
C’est un nombre avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
C’est un entier positif ou négatif, y compris zéro.

C’est un entier positif ou négatif, y compris zéro.

Explication

Les entiers relatifs regroupent les entiers positifs, les entiers négatifs et zéro. Un nombre à écriture décimale finie relève de la définition des nombres décimaux, pas de celle des entiers relatifs.

3. Lequel des nombres suivants est un nombre décimal au sens de l’écriture après la virgule ?

π\pi
13\frac{1}{3}
2\sqrt{2}
2,752,75

$$2,75$$

Explication

Le nombre 2,752,75 possède un nombre fini de chiffres après la virgule, ce qui caractérise un nombre décimal. En revanche, 13\frac{1}{3} possède une écriture décimale périodique infinie.

4. Quelle fraction représente le nombre décimal 2,362,36 ?

23610\frac{236}{10}
236\frac{2}{36}
236100\frac{236}{100}
236\frac{23}{6}

$$\frac{236}{100}$$

Explication

Deux chiffres figurent après la virgule dans 2,362,36, donc le nombre s’écrit 236100\frac{236}{100}. Le dénominateur doit être une puissance de dix correspondant au nombre de chiffres décimaux.

5. Laquelle des expressions suivantes définit un nombre rationnel ?

Un nombre entier positif ou nul appartenant à N\mathbb{N}.
Un nombre qui ne s’exprime par aucune fraction d’entiers.
Un nombre qui s’écrit ab\frac{a}{b} avec aa entier et bb entier non nul.
Un nombre dont l’écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres.

Un nombre qui s’écrit $$\frac{a}{b}$$ avec $$a$$ entier et $$b$$ entier non nul.

Explication

Un nombre rationnel peut s’écrire comme le quotient de deux entiers, avec un dénominateur non nul. Une écriture décimale finie décrit plus précisément les nombres décimaux, qui constituent une partie des rationnels.

6. Lequel des nombres suivants est irrationnel ?

34\frac{3}{4}
2\sqrt{2}
0,1250,125
−7-7

$$\sqrt{2}$$

Explication

2\sqrt{2} ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers, donc il est irrationnel. Les trois autres nombres peuvent s’écrire comme des fractions d’entiers et sont donc rationnels.

7. Comment caractériser l’ensemble des nombres réels R\mathbb{R} ?

Il regroupe les nombres rationnels et les nombres irrationnels.
Il regroupe les entiers naturels et les entiers relatifs négatifs.
Il contient les nombres irrationnels mais exclut les nombres rationnels.
Il contient les nombres décimaux mais exclut les fractions non décimales.

Il regroupe les nombres rationnels et les nombres irrationnels.

Explication

Les nombres réels comprennent à la fois tous les nombres rationnels et tous les nombres irrationnels. Les fractions non décimales, comme 13\frac{1}{3}, sont rationnelles et appartiennent donc aussi à R\mathbb{R}.

8. Quelle chaîne représente correctement l’emboîtement des ensembles de nombres ?

N⊂D⊂Z⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{R}
R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb{R} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

Explication

Chaque ensemble est contenu dans le suivant, des naturels jusqu’aux réels. La proposition qui place les décimaux avant les entiers inverse cet emboîtement, car tout entier est un nombre décimal.

9. Pour déterminer le plus petit ensemble auquel appartient un nombre, quelle démarche faut-il suivre ?

Le comparer directement aux nombres réels, puis choisir l’ensemble le plus vaste.
Le convertir en nombre naturel, puis vérifier s’il appartient aussi aux ensembles suivants.
Le simplifier ou l’approximer, puis vérifier successivement les ensembles de nombres.
L’arrondir à l’unité, puis retenir l’ensemble correspondant à cette valeur arrondie.

Le simplifier ou l’approximer, puis vérifier successivement les ensembles de nombres.

Explication

Il faut d’abord obtenir une forme exploitable du nombre, puis tester son appartenance aux ensembles emboîtés dans l’ordre de précision. Choisir d’emblée les réels ne permet pas d’identifier le plus petit ensemble.

10. Quel intervalle représente l’ensemble des réels xx tels que 2≤x≤42 \le x \le 4 ?

[2 ; 4][2\ ;\ 4]
]2 ; 4[]2\ ;\ 4[
[2 ; 4[[2\ ;\ 4[
]2 ; 4]]2\ ;\ 4]

$$[2\ ;\ 4]$$

Explication

Les deux inégalités incluent 2 et 4, ce qui donne un intervalle fermé aux deux extrémités. Les intervalles comportant un crochet ouvert excluent l’extrémité correspondante.

11. Quelle affirmation distingue correctement un intervalle fermé d’un intervalle ouvert ?

Un intervalle fermé contient son extrémité gauche, tandis qu’un intervalle ouvert contient son extrémité droite.
Un intervalle fermé contient ses deux extrémités, tandis qu’un intervalle ouvert ne contient ni l’une ni l’autre.
Un intervalle fermé exclut ses deux extrémités, tandis qu’un intervalle ouvert les contient toutes les deux.
Un intervalle fermé contient une seule extrémité, tandis qu’un intervalle ouvert contient l’autre extrémité.

Un intervalle fermé contient ses deux extrémités, tandis qu’un intervalle ouvert ne contient ni l’une ni l’autre.

Explication

Les crochets indiquent que les bornes appartiennent à l’intervalle, alors que les bornes ouvertes en sont exclues. Ainsi, [−2 ; 5][-2\ ;\ 5] contient ses deux bornes, contrairement à ]2 ; 6[]2\ ;\ 6[.

12. Que signifie résoudre une inéquation ?

Transformer l’inégalité pour déterminer les valeurs possibles de l’inconnue, puis les écrire sous forme d’intervalle.
Remplacer l’inégalité par une égalité afin de trouver une valeur unique de l’inconnue.
Développer les expressions, puis retenir l’ensemble des nombres apparaissant dans l’inéquation.
Comparer les deux membres sans transformation, puis choisir l’intervalle contenant le plus grand nombre.

Transformer l’inégalité pour déterminer les valeurs possibles de l’inconnue, puis les écrire sous forme d’intervalle.

Explication

La résolution transforme l’inégalité comme une équation, mais aboutit généralement à un ensemble de valeurs. Une inéquation ne conduit donc pas forcément à une valeur unique.

13. Que représente l’intersection de deux ensembles AA et BB ?

L’ensemble des éléments qui appartiennent à AA mais pas à BB.
L’ensemble des éléments qui appartiennent à AA et à BB.
L’ensemble des éléments qui n’appartiennent ni à AA ni à BB.
L’ensemble des éléments qui appartiennent à AA ou à BB.

L’ensemble des éléments qui appartiennent à $$A$$ et à $$B$$.

Explication

L’intersection, notée A∩BA \cap B, conserve les éléments communs aux deux ensembles. La condition « appartenir à AA ou à BB » décrit la réunion, notée A∪BA \cup B.

14. Quelle notation désigne la réunion de deux ensembles AA et BB ?

A∖BA \setminus B
A∩BA \cap B
A∪BA \cup B
B∖AB \setminus A

$$A \cup B$$

Explication

La réunion, notée A∪BA \cup B, rassemble les éléments appartenant à AA ou à BB. Le symbole ∩\cap désigne au contraire l’intersection, formée des éléments communs.

15. Quelle est la valeur de ∣−5∣\lvert -5 \rvert ?

1
0
5
-5

5

Explication

La valeur absolue supprime le signe du nombre et représente sa distance à zéro, donc ∣−5∣=5\lvert -5 \rvert = 5. Le nombre initial peut être négatif, mais sa valeur absolue est positive ou nulle.

16. Comment calcule-t-on la distance entre deux nombres JJ et KK placés sur une droite graduée ?

J+KJ+K
∣J+K∣\lvert J+K \rvert
J−KJ-K
∣J−K∣\lvert J-K \rvert

$$\lvert J-K \rvert$$

Explication

La distance entre JJ et KK est donnée par la valeur absolue de leur différence, soit ∣J−K∣\lvert J-K \rvert. L’expression J−KJ-K seule peut être négative, alors qu’une distance est positive ou nulle.

17. Quelles sont les solutions de l’équation ∣x−5∣=2\lvert x-5 \rvert=2 ?

x=−3x=-3 ou x=7x=7
x=3x=3 ou x=−7x=-7
x=3x=3 ou x=7x=7
x=2x=2 ou x=5x=5

$$x=3$$ ou $$x=7$$

Explication

L’équation signifie que xx est situé à une distance de 2 de 5, ce qui donne les deux nombres 5−2=35-2=3 et 5+2=75+2=7. Les valeurs proposées avec un signe négatif ne correspondent pas aux deux positions autour de 5.

18. Quel intervalle représente l’inéquation ∣x−5∣≤2\lvert x-5 \rvert\leq 2 ?

]−∞ ; 3]]-\infty\,;\,3]
[3 ; 7][3\,;\,7]
[−7 ; −3][-7\,;\,-3]
[2 ; 5][2\,;\,5]

$$[3\,;\,7]$$

Explication

Cette inéquation décrit les nombres situés à une distance inférieure ou égale à 2 de 5, donc entre 5−2=35-2=3 et 5+2=75+2=7. L’intervalle est fermé puisque les bornes sont incluses.

19. Quelles caractéristiques définissent un vecteur ?

Une direction, un sens et une longueur
Un point, une pente et une surface
Une origine, une extrémité et une aire
Une distance, un angle et un périmètre

Une direction, un sens et une longueur

Explication

Un vecteur est une flèche caractérisée par une direction, un sens et une longueur. La direction indique la droite support, tandis que le sens précise l’une des deux orientations de cette droite.

20. Dans quelle situation deux vecteurs sont-ils égaux ?

Ils ont la même direction, le même sens et la même longueur
Ils ont des directions différentes, le même sens et la même longueur
Ils ont la même direction et le même sens, avec des longueurs différentes
Ils ont la même direction, des sens contraires et la même longueur

Ils ont la même direction, le même sens et la même longueur

Explication

Deux vecteurs sont égaux lorsque leurs trois caractéristiques sont identiques : direction, sens et longueur. Des vecteurs de même direction et de même longueur mais de sens contraires sont opposés, et non égaux.

21. Comment caractérise-t-on deux vecteurs opposés, comme AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} ?

Ils ont la même direction et le même sens, mais des longueurs contraires
Ils ont des directions différentes, mais le même sens et la même longueur
Ils ont des directions et des sens contraires, avec des longueurs différentes
Ils ont la même direction et la même longueur, mais des sens contraires

Ils ont la même direction et la même longueur, mais des sens contraires

Explication

Deux vecteurs opposés possèdent la même direction et la même longueur, mais leurs sens sont contraires. Ainsi, BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.

22. Quelle translation résulte de l’enchaînement d’une translation de vecteur u⃗\vec{u} puis d’une translation de vecteur v⃗\vec{v} ?

Une translation de vecteur u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}
Une translation de vecteur u⃗×v⃗\vec{u}\times\vec{v}
Une translation de vecteur u⃗−v⃗\vec{u}-\vec{v}
Une translation de vecteur −u⃗−v⃗-\vec{u}-\vec{v}

Une translation de vecteur $$\vec{u}+\vec{v}$$

Explication

La composition de deux translations successives correspond à une translation dont le vecteur est la somme u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}. Le vecteur opposé intervient dans une translation inverse, et non dans cet enchaînement.

23. Quelle égalité illustre la relation de Chasles pour trois points AA, BB et CC ?

AC→+BC→=AB→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}
AB→+AC→=BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
BA→+BC→=AC→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

Explication

La relation de Chasles additionne deux vecteurs mis bout à bout, de AA vers BB puis de BB vers CC, pour obtenir le vecteur de AA vers CC. Les autres égalités ne respectent pas cet enchaînement des points.

24. Comment réécrire la différence de vecteurs u⃗−v⃗\vec{u}-\vec{v} sous forme d’une somme ?

u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}
−u⃗+(−v⃗)-\vec{u}+(-\vec{v})
(−u⃗)+v⃗(-\vec{u})+\vec{v}
u⃗+(−v⃗)\vec{u}+(-\vec{v})

$$\vec{u}+(-\vec{v})$$

Explication

Soustraire v⃗\vec{v} revient à additionner son opposé, d’où u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v}). Remplacer la différence par une somme des deux vecteurs changerait le résultat.

25. Si k<0k<0, comment se compare le vecteur ku⃗k\vec{u} au vecteur u⃗\vec{u} ?

Il a la même direction, une norme multipliée par ∣k∣\lvert k\rvert et un sens contraire
Il a une direction différente, une norme multipliée par ∣k∣\lvert k\rvert et un sens contraire
Il a une direction contraire, une norme multipliée par kk et le même sens
Il a la même direction, une norme divisée par ∣k∣\lvert k\rvert et le même sens

Il a la même direction, une norme multipliée par $$\lvert k\rvert$$ et un sens contraire

Explication

La multiplication par un réel négatif conserve la direction, multiplie la norme par ∣k∣\lvert k\rvert et inverse le sens. Le signe de kk ne crée donc pas une nouvelle direction géométrique.

26. Que peut-on affirmer de deux vecteurs non nuls colinéaires ?

Ils sont portés par des droites perpendiculaires.
Leur somme est nécessairement le vecteur nul.
Il existe un réel kk tel que u⃗=kv⃗\vec{u}=k\vec{v}.
Ils possèdent nécessairement des normes égales à 11.

Il existe un réel $$k$$ tel que $$\vec{u}=k\vec{v}$$.

Explication

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu’un réel kk permet d’écrire l’un comme un multiple de l’autre. La colinéarité indique une même direction, mais n’impose ni des normes égales à 11 ni la perpendicularité.

27. Quelle condition définit un repère du plan (O,u⃗,v⃗)\left(O,\vec{u},\vec{v}\right) ?

Les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ont la même norme.
Le point OO est le milieu de tous les segments du plan.
Les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont perpendiculaires.
Les vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont non colinéaires.

Les vecteurs $$\vec{u}$$ et $$\vec{v}$$ sont non colinéaires.

Explication

Un repère du plan est constitué d’un point OO et de deux vecteurs non colinéaires. La perpendicularité et l’égalité des normes caractérisent des repères particuliers, pas tout repère du plan.

28. Si A(2;−1)A\left(2; -1\right) et B(5;3)B\left(5; 3\right), quelles sont les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} ?

(34)\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}
(72)\begin{pmatrix}7\\2\end{pmatrix}
(−3−4)\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}
(43)\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$$

Explication

Les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} s’obtiennent en soustrayant celles de AA à celles de BB : (5−2;3−(−1))=(3;4)\left(5-2;3-(-1)\right)=(3;4). L’expression (2−5;−1−3)\left(2-5;-1-3\right) correspondrait au vecteur opposé BA→\overrightarrow{BA}.

29. Si u⃗=(2;−3)\vec{u}=(2;-3) et v⃗=(−1;4)\vec{v}=(-1;4), quelles sont les coordonnées de 2u⃗+v⃗2\vec{u}+\vec{v} ?

(3;−2)(3;-2)
(5;−6)(5;-6)
(1;1)(1;1)
(0;5)(0;5)

$$(3;-2)$$

Explication

On calcule d’abord 2u⃗=(4;−6)2\vec{u}=(4;-6), puis on additionne v⃗\vec{v} pour obtenir (4+(−1);−6+4)=(3;−2)\left(4+(-1);-6+4\right)=(3;-2). Le résultat (5;−6)(5;-6) correspond à une multiplication de u⃗\vec{u} par un autre facteur, sans addition correcte de v⃗\vec{v}.

30. Les vecteurs u⃗=(3;2)\vec{u}=(3;2) et v⃗=(6;4)\vec{v}=(6;4) sont-ils colinéaires selon le critère du déterminant ?

Non, car leurs deux premières coordonnées sont différentes.
Oui, car 3×4−2×6=03\times4-2\times6=0.
Non, car leurs coordonnées sont toutes positives.
Oui, car 3+2=6+43+2=6+4.

Oui, car $$3\times4-2\times6=0$$.

Explication

Le critère donne xy′−yx′=3×4−2×6=0xy'-yx'=3\times4-2\times6=0, donc les vecteurs sont colinéaires. Des coordonnées différentes ou positives ne suffisent pas à conclure sur la colinéarité.

31. Comment note-t-on le nombre xy′−yx′xy'-yx' associé aux vecteurs u⃗=(x;y)\vec{u}=(x;y) et v⃗=(x′;y′)\vec{v}=(x';y') ?

coord⁡(u⃗;v⃗)\operatorname{coord}(\vec{u};\vec{v})
u⃗⋅v⃗\vec{u}\cdot\vec{v}
∥u⃗+v⃗∥\left\|\vec{u}+\vec{v}\right\|
det⁡(u⃗;v⃗)\det(\vec{u};\vec{v})

$$\det(\vec{u};\vec{v})$$

Explication

Le nombre xy′−yx′xy'-yx' est le déterminant des deux vecteurs et se note det⁡(u⃗;v⃗)\det(\vec{u};\vec{v}). Il s’agit d’une combinaison des coordonnées des deux vecteurs, et non de leur somme ni d’une notation de coordonnées séparées.

32. Quelle condition permet de conclure que trois points AA, BB et CC sont alignés ?

Les trois points possèdent des coordonnées deux à deux égales.
Les distances de chaque point à l’origine sont identiques.
Les vecteurs directeurs de deux droites quelconques sont perpendiculaires.
Deux vecteurs construits à partir de ces points sont colinéaires.

Deux vecteurs construits à partir de ces points sont colinéaires.

Explication

Trois points sont alignés lorsque deux vecteurs construits à partir d’eux, par exemple AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC}, sont colinéaires. La condition portant sur des vecteurs directeurs concerne plutôt le parallélisme de deux droites.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 64 flashcards sur Nombres réels et vecteurs.

Qu'est-ce qu'un nombre entier naturel ?

Un nombre entier positif ou nul.

Comment note-t-on l'ensemble des entiers naturels ?

ℕ.

Qu'est-ce qu'un nombre entier relatif ?

Un nombre entier positif ou négatif.

Voir les flashcards →

Approfondir avec la fiche

Consultez la fiche de révision complète sur Nombres réels et vecteurs.

Voir la fiche →

Cours similaires

Opérations sur les nombres relatifs

Mathématiques

La cellule eucaryote

SVT

Commande nerveuse du mouvement

SVT

Mathématiques pures 1

Mathématiques

Statistiques descriptives

Mathématiques

Biochimie de la kératine et du cheveu

Crée tes propres QCM

Importe ton cours et l'IA génère des QCM avec corrections en 30 secondes.

Générateur de QCM