Fiche de révision : Nombres réels et vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Ensembles des nombres entiers
2. Nombres décimaux et rationnels
3. Nombres irrationnels et réels
4. Classification et nature des nombres
5. Intervalles de nombres réels
6. Inéquations et opérations d’intervalles
7. Valeur absolue et distance
8. Définition et propriétés des vecteurs
9. Somme et produit de vecteurs
10. Colinéarité et coordonnées
11. Milieu et distance dans un repère

📖 1. Ensembles des nombres entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres entiers naturels : Nombre entier positif ou nul, et l’ensemble des entiers naturels est noté ℕ = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; …}.
• Nombres entiers relatifs : Nombre entier positif ou négatif, et l’ensemble des entiers relatifs est noté ℤ = {… ; −3 ; −2 ; −1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}.

💡 Astuce mémo

ℕ positif ou nul, ℤ positif ou négatif

📖 2. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres décimaux : Nombre qui s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule, et l’ensemble des nombres décimaux est noté 𝔻.
• Nombres rationnels : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction a/b avec a entier et b entier non nul, et l’ensemble des rationnels est noté ℚ.

📝 Points essentiels

📌 Tout nombre décimal peut s’écrire comme la fraction d’un entier par une puissance de 10, par exemple 2,36 = 236/100.

💡 Astuce mémo

Décimal fini, rationnel fractionnaire

📖 3. Nombres irrationnels et réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres irrationnels : Nombre qui ne peut pas s’écrire à l’aide d’une fraction, comme √2 ou √3.
• Nombres réels : Nombre rationnel ou irrationnel, et l’ensemble des nombres réels est noté ℝ.

📝 Points essentiels

• La démonstration par l’absurde de l’irrationalité de √2 suppose √2 = a/b avec a et b premiers entre eux, puis déduit que a et b sont tous deux pairs, ce qui contredit leur caractère premier entre eux.

💡 Astuce mémo

Fraction impossible → irrationalité → appartenance à ℝ

📖 4. Classification et nature des nombres

📝 Points essentiels

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

• Pour reconnaître le plus petit ensemble d’un nombre, on le simplifie ou on l’approxime, puis on vérifie successivement s’il est naturel, entier, décimal, rationnel ou seulement réel.

💡 Astuce mémo

ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ

📖 5. Intervalles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble des nombres réels x tels que 2 ≤ x ≤ 4, noté [2 ; 4].

★ À maîtriser

📌 Un intervalle fermé contient ses extrémités, tandis qu’un intervalle ouvert ne contient aucune de ses extrémités.

Compléments

• Les inégalités usuelles se traduisent notamment par x ≥ 2 ⇔ x ∈ [2 ; +∞[, x > −1 ⇔ x ∈ ]−1 ; +∞[, x ≤ 3 ⇔ x ∈ ]−∞ ; 3] et x < 2 ⇔ x ∈ ]−∞ ; 2[.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 6. Inéquations et opérations d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à A et à B, notée A ∩ B.
• Réunion : Ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, notée A ∪ B.

★ À maîtriser

• Résoudre une inéquation consiste à transformer l’inégalité comme une équation afin d’obtenir l’ensemble des valeurs de l’inconnue, puis à l’écrire sous forme d’intervalle.

Compléments

• L’inéquation 2x − 3 < 4 a pour ensemble de solutions l’intervalle ]−∞ ; 7/2[.

💡 Astuce mémo

Intersection = à la fois ; réunion = au moins un des deux

📖 7. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Ce nombre sans son signe, par exemple |−5| = 5 et |5| = 5.
• Distance entre deux réels : La distance entre deux nombres J et K sur une droite graduée est |J − K|.

★ À maîtriser

• L’équation |x − 5| = 2 signifie que x est à distance 2 de 5, donc ses solutions sont x = 3 ou x = 7.

• L’inéquation |x − 5| ≤ 2 signifie que x est à une distance inférieure ou égale à 2 de 5, donc x ∈ [3 ; 7].

Compléments

• La distance entre 1,5 et 4 est |1,5 − 4| = 2,5.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, |x−a| mesure la distance entre x et a

📖 8. Définition et propriétés des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Flèche qui définit une translation et qui est caractérisée par une direction, un sens et une longueur.
• Vecteurs opposés : Même direction et même longueur, mais des sens contraires ; ainsi BA⃗ = −AB⃗.
• Vecteur nul : Nul lorsque ses deux points sont confondus, et tout vecteur AA est égal au vecteur nul noté 0⃗.

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs sont égaux lorsqu’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur, et leur longueur est appelée leur norme.

💡 Astuce mémo

Direction, sens et longueur : le vecteur nul n’a pas de déplacement

📖 9. Somme et produit de vecteurs

★ À maîtriser

• L’enchaînement d’une translation de vecteur u⃗ puis d’une translation de vecteur v⃗ est une translation de vecteur u⃗ + v⃗.

• La relation de Chasles donne AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.

• La différence de deux vecteurs se transforme en somme avec l’opposé selon u⃗ − v⃗ = u⃗ + (−v⃗).

• Pour tout réel k, le vecteur k u⃗ a la même direction que u⃗, une norme multipliée par |k| et un sens identique si k est positif ou contraire si k est négatif.

Compléments

📌 Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si AC⃗ = AB⃗ + AD⃗.

💡 Astuce mémo

Translation 1 puis translation 2 → somme des vecteurs

📖 10. Colinéarité et coordonnées

🔑 Notions clés & Définitions

• Colinéarité : Deux vecteurs non nuls u⃗ et v⃗ sont colinéaires s’il existe un réel k tel que u⃗ = k v⃗ ; le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.
• Repère du plan : Triplet (O, u⃗, v⃗) dans lequel O est un point et u⃗ et v⃗ sont deux vecteurs non colinéaires.

★ À maîtriser

• Si A(x_A ; y_A) et B(x_B ; y_B), alors les coordonnées du vecteur AB⃗ sont $\begin{pmatrix}x_B-x_A\y_B-y_A\end{pmatrix}$.

• Pour deux vecteurs u⃗ = (x ; y) et v⃗ = (x' ; y'), on a u⃗ + v⃗ = (x + x' ; y + y'), k u⃗ = (kx ; ky) et −u⃗ = (−x ; −y).

Compléments

📌 Un repère orthogonal possède deux vecteurs de directions perpendiculaires, tandis qu’un repère orthonormé est orthogonal et ses deux vecteurs ont une norme égale à 1.

💡 Astuce mémo

Coordonnées proportionnelles → vecteurs colinéaires → droites parallèles ou points alignés

📖 11. Milieu et distance dans un repère

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant de deux vecteurs : Le nombre xy' − yx' est le déterminant des vecteurs u⃗ = (x ; y) et v⃗ = (x' ; y'), noté det(u⃗ ; v⃗).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Deux vecteurs u⃗ = (x ; y) et v⃗ = (x' ; y') sont colinéaires si et seulement si $xy' - yx' = 0$.

📌 Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, et trois points sont alignés si deux vecteurs construits à partir de ces points sont colinéaires.

📊 Tableaux de synthèse

Classification des nombres