Fiche de révision : Mathématiques pures 1

📋 Plan du Cours

1. Équations du second degré
2. Fonctions et transformations
3. Géométrie analytique
4. Mesure des angles et secteurs
5. Trigonométrie
6. Suites et séries
7. Dérivation
8. Intégration et applications

📖 1. Équations du second degré

★ À maîtriser

• La mise sous forme canonique d’un trinôme permet d’écrire un polynôme quadratique sous forme de carré complété afin de localiser le sommet de sa parabole ou d’en esquisser le graphe.

📐 Formule — Le discriminant du trinôme $ax^2+bx+c$ est $\Delta=b^2-4ac$ et permet de déterminer le nombre de racines réelles de l’équation $ax^2+bx+c=0$.

• Une équation quadratique se résout par factorisation, mise sous forme canonique ou utilisation de la formule quadratique, et une inégalité quadratique se résout en étudiant le signe de l’expression.

Compléments

• Un système composé d’une équation linéaire et d’une équation quadratique peut être résolu en substituant l’expression obtenue dans l’équation linéaire dans l’équation quadratique.

💡 Astuce mémo

Carré complété → discriminant → résolution

📖 2. Fonctions et transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe des éléments d’un domaine à des valeurs appartenant à son ensemble d’arrivée, avec un domaine et une image déterminés.

★ À maîtriser

• Une fonction injective, ou one-one, prend des valeurs distinctes pour des éléments distincts de son domaine et possède alors une fonction inverse.

• La composée $gf$ ne peut être formée que si l’image de $f$ est incluse dans le domaine de $g$.

• Les transformations usuelles de $y=f(x)$ sont $y=f(x)+a$, $y=f(x+a)$, $y=af(x)$ et $y=f(ax)$, correspondant respectivement à des translations ou à des étirements et réflexions selon les valeurs utilisées.

Compléments

• Le graphe d’une fonction injective et celui de sa fonction inverse sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

💡 Astuce mémo

Fonction injective ↔ inverse graphique par symétrie autour de y = x

📖 3. Géométrie analytique

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme pente-ordonnée à l’origine d’une droite est $y=mx+c$, sa forme point-pente est $y-y_1=m(x-x_1)$ et sa forme générale est $ax+by+c=0$.

• Deux droites parallèles ont le même gradient, tandis que deux droites perpendiculaires ont des gradients dont le produit vaut -1 lorsque ces gradients sont définis.

📐 Formule — L’équation $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ représente un cercle de centre $(a,b)$ et de rayon $r$.

Compléments

• Les problèmes portant sur des droites et des cercles se résolvent algébriquement en utilisant notamment la perpendicularité du rayon à la tangente, l’angle inscrit dans un demi-cercle et les propriétés de symétrie.

💡 Astuce mémo

Droites parallèles : mêmes gradients ; perpendiculaires : gradients opposés inverses

📖 4. Mesure des angles et secteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Radian : Un radian est l’angle au centre qui intercepte sur un cercle un arc de longueur égale au rayon.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un angle $\theta$ mesuré en radians, la longueur d’arc est $s=r\theta$ et l’aire du secteur est $A=\frac12r^2\theta$.

Compléments

• La conversion entre degrés et radians s’effectue en utilisant la correspondance entre un tour complet, 360 degrés et $2\pi$ radians.

📖 5. Trigonométrie

📝 Points essentiels

• Les graphes des fonctions sinus, cosinus et tangente peuvent être esquissés pour des angles de toute amplitude en degrés ou en radians, notamment pour des fonctions comme $y=3\sin x$ ou $y=1-\cos 2x$.

• Les valeurs exactes du sinus, du cosinus et de la tangente doivent être connues pour 30°, 45°, 60° et les angles associés.

📐 Formule — Les identités trigonométriques fondamentales sont $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$ et $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$.

• Pour résoudre une équation trigonométrique simple, on détermine toutes les solutions appartenant à l’intervalle spécifié, sans utiliser de forme générale de solution.

💡 Astuce mémo

Graphes → valeurs exactes → identités → équations

📖 6. Suites et séries

🔑 Notions clés & Définitions

• Progression arithmétique : Une progression arithmétique est une suite dont les termes successifs diffèrent d’une constante, et trois nombres a, b, c sont dans cette progression si $2b=a+c$.
• Progression géométrique : Une progression géométrique est une suite dont les termes successifs ont un rapport constant, et trois nombres a, b, c sont dans cette progression si $b^2=ac$.

★ À maîtriser

• Le développement de $(a+b)^n$ s’effectue pour un entier positif n à l’aide des coefficients binomiaux et de la notation $n!$.

• Pour une progression arithmétique ou géométrique, les formules du terme général et de la somme des n premiers termes permettent de résoudre des problèmes sur les suites.

Compléments

📌 Une progression géométrique possède une somme à l’infini seulement lorsqu’elle converge, et cette somme se calcule avec la formule correspondante.

💡 Astuce mémo

Progression arithmétique : différence constante ; géométrique : rapport constant

📖 7. Dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée en un point est la limite des gradients d’une suite de cordes qui se rapprochent de la tangente en ce point, et se note notamment $f'(x)$ ou $\frac{dy}{dx}$.

📝 Points essentiels

• La dérivée de $x^n$, pour tout exposant rationnel n, ainsi que les règles de somme, différence, multiple constant et chaîne permettent de dériver des fonctions composées.

• La dérivation permet de déterminer les gradients, les tangentes et les normales, d’étudier les fonctions croissantes ou décroissantes et de résoudre des problèmes de taux de variation, y compris les taux liés.

📌 Un point stationnaire vérifie une dérivée première nulle, et sa nature de maximum ou de minimum peut être déterminée avec la dérivée seconde.

💡 Astuce mémo

Dérivée nulle → point stationnaire → maximum ou minimum selon la nature

📖 8. Intégration et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégration : L’intégration est le processus inverse de la dérivation et permet d’intégrer des multiples constants, des sommes, des différences et des expressions de la forme $(ax+b)^n$ pour tout n rationnel sauf -1.

📝 Points essentiels

📌 La constante d’intégration se détermine en utilisant une condition connue sur la courbe, par exemple les coordonnées d’un point donné.

• Une intégrale définie permet de calculer l’aire d’une région limitée par une courbe et des droites parallèles aux axes, par une courbe et une droite ou par deux courbes.

• Le volume d’un solide de révolution s’obtient par intégration lorsqu’une région est mise en rotation autour de l’un des axes, y compris lorsqu’elle ne touche pas l’axe de rotation.

💡 Astuce mémo

Dériver décrit une variation ; intégrer reconstitue une fonction ou une aire

📊 Tableaux de synthèse

Progressions arithmétiques et géométriques