Fiche de révision : Mathématiques : Pythagore et proportionnalité

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Pythagore
2. Calculer une longueur
3. Réciproque et contraposée
4. Division et divisibilité
5. Nombres premiers et fractions
6. PGCD et PPCM
7. Ratios et partages
8. Quatrième proportionnelle
9. Proportionnalité et pourcentages
10. Évolutions successives

📖 1. Théorème de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : le côté opposé à l’angle droit et le plus grand côté du triangle

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés : $h^2=a^2+b^2$.

💡 Astuce mémo

Triangle rectangle → hypoténuse² = côté² + côté²

📖 2. Calculer une longueur

★ À maîtriser

• Pour calculer une longueur manquante, on écrit d’abord l’égalité de Pythagore, puis on effectue les calculs nécessaires et on termine par une racine carrée.

Compléments

• Si un triangle rectangle a deux côtés de longueurs 9 et 12, alors son hypoténuse vérifie $AC^2=9^2+12^2=225$, donc $AC=15$.

💡 Astuce mémo

Égalité → calcul → racine carrée

📖 3. Réciproque et contraposée

★ À maîtriser

📌 Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

Compléments

• Dans le triangle IJK, $KJ^2=17^2=289$ et $IK^2+IJ^2=8^2+15^2=289$ ; d’après la réciproque, le triangle IJK est rectangle en I.

💡 Astuce mémo

Égalité des carrés : rectangle ; inégalité : non rectangle

📖 4. Division et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : les nombres entiers positifs ou nuls qui servent à compter les objets : 0, 1, 2, etc.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La division euclidienne de a par b, avec b non nul, s’écrit $a=b\times q+r$ avec $r<b$.

📌 Si le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors a est un multiple de b et b est un diviseur de a.

• Un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8, par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ou de 9, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et par 10 s’il se termine par 0.

💡 Astuce mémo

Division → reste nul → multiple et diviseur

📖 5. Nombres premiers et fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : un nombre qui possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même

★ À maîtriser

• Pour décomposer un entier supérieur ou égal à 2 en facteurs premiers, on effectue des divisions successives par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1, puis on écrit le produit des facteurs trouvés.

Compléments

• Les nombres premiers de 0 à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

💡 Astuce mémo

Le crible élimine les composés et laisse les nombres premiers

📖 6. PGCD et PPCM

🔑 Notions clés & Définitions

• PGCD : le plus grand entier naturel qui divise simultanément tous ces nombres
• PPCM : le plus petit entier naturel différent de zéro qui est multiple de tous ces nombres

📝 Points essentiels

• La décomposition de 990 est $990=2\times3^2\times5\times11$ et celle de 1260 est $1260=2^2\times3^2\times5\times7$ ; leur PGCD vaut 90 et leur PPCM vaut 13860.

📌 Un problème demandant le plus grand nombre de groupes de même composition conduit généralement à utiliser le PGCD, tandis qu’un problème demandant quand un événement se reproduira le plus tôt possible conduit à utiliser le PPCM.

💡 Astuce mémo

PGCD pour regrouper ; PPCM pour faire coïncider

📖 7. Ratios et partages

★ À maîtriser

📌 Une fraction compare une partie à un total, tandis qu’un ratio compare deux quantités entre elles.

📌 Deux nombres a et b sont dans le ratio i:j si $\frac{a}{i}=\frac{b}{j}$.

Compléments

📌 Trois nombres x, y et z sont dans le ratio 2:3:7 si $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{7}$, ce qui correspond aux parts 2/12, 3/12 et 7/12.

💡 Astuce mémo

Fraction : partie/total ; ratio : quantité/quantité

📖 8. Quatrième proportionnelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient de proportionnalité : le nombre non nul par lequel on multiplie les valeurs d’une grandeur pour obtenir celles de l’autre

★ À maîtriser

• Les méthodes possibles sont:
  • coefficient de proportionnalité
  • retour à l’unité
  • produit en croix
  • propriété de linéarité

Compléments

• Si 3,5 litres d’essence coûtent 4,90 €, alors 8 litres coûtent $x=\frac{8\times4{,}90}{3{,}5}=11{,}2$ € par produit en croix.

💡 Astuce mémo

Coefficient, unité, croix ou linéarité

📖 9. Proportionnalité et pourcentages

📝 Points essentiels

📌 Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant celles de l’autre par un même coefficient non nul.

📌 Deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si leurs représentations graphiques sont des points alignés avec l’origine du repère.

📐 Formule - Dans un tableau de proportionnalité, l’égalité des produits en croix s’écrit $a\times d=b\times c$.

📐 Formule - Pour calculer t % d’une quantité, on multiplie cette quantité par $\frac{t}{100}$.

💡 Astuce mémo

Même coefficient → produits en croix → proportionnalité

📖 10. Évolutions successives

★ À maîtriser

📐 Formule - Augmenter un nombre de t % revient à le multiplier par $1+\frac{t}{100}$, tandis que le diminuer de t % revient à le multiplier par $1-\frac{t}{100}$.

📌 Pour retrouver une valeur initiale après une évolution, on divise la valeur finale par le coefficient multiplicateur correspondant.

📌 Lors d’évolutions successives, on multiplie les coefficients multiplicateurs pour obtenir le coefficient global et on n’additionne jamais les pourcentages.

Compléments

• Une hausse de 10 % suivie d’une baisse de 10 % donne un coefficient global $1{,}1\times0{,}9=0{,}99$, soit une réduction globale de 1 %.

• Pour une consommation passant de 14 000 kWh à 9 000 kWh, le coefficient est environ 0,64 et la diminution est de 36 %.

💡 Astuce mémo

Coefficient initial → coefficients successifs → coefficient global

📊 Tableaux de synthèse

PGCD ou PPCM