QCM : Mathématiques : Pythagore et proportionnalité (23 questions)

Explication

L’hypoténuse est opposée à l’angle droit et constitue le plus grand côté du triangle rectangle. Un côté qui forme l’angle droit avec un autre est un côté de l’angle droit, et non l’hypoténuse.

Explication

Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, soit $h^2=a^2+b^2$. Écrire l’hypoténuse sans carré ou remplacer la somme des carrés par une somme simple ne respecte pas le théorème.

Explication

La méthode consiste à poser d’abord l’égalité de Pythagore, à effectuer les opérations nécessaires, puis à extraire la racine carrée. La soustraction des carrés intervient lorsqu’on cherche un côté, tandis que l’addition convient pour déterminer le carré de l’hypoténuse.

Explication

Le carré de l’hypoténuse vaut $9^2+12^2=81+144=225$, donc sa longueur est $\sqrt{225}=15$. La valeur $225$ correspond au carré de l’hypoténuse, tandis que $21$ additionne les longueurs au lieu de leurs carrés.

Explication

La réciproque du théorème de Pythagore permet de conclure que le triangle est rectangle lorsque le carré du plus grand côté égale la somme des carrés des deux autres côtés. Le théorème direct, lui, part d’un triangle déjà identifié comme rectangle.

Explication

Le côté $KJ$ est le plus grand et son carré est égal à la somme des carrés de $IK$ et $IJ$ ; la réciproque établit donc que le triangle est rectangle. Comme les deux côtés qui se rencontrent en I sont $IK$ et $IJ$, l’angle droit est en I.

Explication

On écrit $47=6\times7+5$, avec un reste inférieur au diviseur 6. Le quotient ne multiplie pas le reste : il multiplie le diviseur dans l’égalité de la division euclidienne.

Explication

Un reste nul signifie que $84=7\times12$, donc 84 est un multiple de 7 et 7 divise 84. La relation de divisibilité va ici du diviseur 7 vers le nombre 84.

Explication

120 se termine par 0, donc il est divisible par 2, 5 et 10, et la somme de ses chiffres vaut 3, donc il est divisible par 3. 135 est divisible par 3 et 5, mais son chiffre des unités est impair.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Le nombre 1 ne possède que le diviseur 1, tandis que 2 possède bien les diviseurs 1 et 2.

Explication

La décomposition consiste à effectuer des divisions successives par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1, puis à multiplier les facteurs trouvés : $84=2^2\times3\times7$. Diviser par des nombres impairs ne garantit pas une décomposition en facteurs premiers.

Explication

Le PGCD est le plus grand diviseur commun aux nombres considérés ; pour 18 et 30, il vaut 6. Le plus petit multiple commun non nul correspond au PPCM, et non au PGCD.

Explication

La recherche du plus grand nombre de groupes de même composition repose généralement sur le PGCD des effectifs, car celui-ci fournit un diviseur commun maximal. Le PPCM sert plutôt à déterminer le moment où des événements se reproduisent ensemble.

Explication

Une fraction partie/total compare une partie à l’ensemble, alors qu’un ratio met en relation deux quantités, souvent deux catégories distinctes. Confondre une fraction partie/total avec un ratio entre catégories efface cette différence de référence.

Explication

Dans un ratio $i:j$, chaque quantité est rapportée à la part qui lui correspond, ce qui donne $\frac{a}{i}=\frac{b}{j}$. L’association croisée entre $a$ et $j$ inverse les correspondances prévues par le ratio.

Explication

Le coefficient de proportionnalité est le facteur non nul multiplié par les valeurs d’une grandeur pour obtenir celles de l’autre. Une différence constante décrit plutôt une relation additive et ne définit pas ce coefficient.

Explication

Une quatrième proportionnelle peut être trouvée par plusieurs méthodes équivalentes, notamment le produit en croix, le retour à l’unité, le coefficient de proportionnalité ou la linéarité. Le produit en croix est une procédure de calcul, tandis que le coefficient décrit la relation entre les grandeurs.

Explication

La proportionnalité repose sur l’existence d’un même coefficient non nul reliant toutes les valeurs correspondantes. Des rapports différents selon les lignes indiquent au contraire que la relation n’est pas proportionnelle.

Explication

Deux grandeurs sont proportionnelles si leurs points représentatifs sont alignés sur une droite qui passe par l’origine. Une droite passant par un autre point ne suffit pas à établir la proportionnalité.

Explication

La propriété des produits en croix s’écrit $a\times d=b\times c$ pour les quatre termes correspondants du tableau. Une égalité de sommes ou un produit entre termes voisins ne traduit pas la proportionnalité.

Explication

Un pourcentage $t\%$ correspond au facteur $\frac{t}{100}$, donc $t\%$ de $Q$ vaut $Q\times\frac{t}{100}$. Multiplier par $\frac{100}{t}$ revient à utiliser le facteur inverse et ne calcule pas la part demandée.

Explication

Une diminution de $t\%$ se traduit par une multiplication par $1-\frac{t}{100}$, donc ici par $0,82$. Le coefficient $1,18$ correspondrait à une augmentation de 18 %, et non à une diminution.

Explication

Le coefficient de l’augmentation est $1,15$, donc la valeur initiale se retrouve par $276\div1,15=240$. Soustraire 15 % de la valeur finale ne permet pas d’annuler correctement l’évolution appliquée à la valeur initiale.