Fiche de révision : Mécanique des milieux continus

📋 Plan du Cours

1. Cadre et grandeurs de la mécanique
2. Description des mouvements fluides
3. Outils différentiels des champs
4. Déformations et rotations
5. Compatibilité des déformations
6. Actions et conservation de la masse

📖 1. Cadre et grandeurs de la mécanique

★ À maîtriser

• Les milieux matériels sont composés d’un grand nombre de particules et peuvent être décrits comme solides, liquides ou gazeux.

• Les unités SI primaires sont :

  • la masse M en kilogrammes
  • la longueur L en mètres
  • le temps t en secondes

• La force a la dimension M.L.t⁻² et s’exprime en newtons, tandis que la pression et la contrainte ont la dimension M.L⁻¹.t⁻² et s’expriment en pascals.

Compléments

📐 Formule - La viscosité cinématique vérifie $\nu=\frac{\mu}{\rho}$ et possède la dimension L².t⁻¹, soit m².s⁻¹.

📖 2. Description des mouvements fluides

🔑 Notions clés & Définitions

• Description lagrangienne : suit le mouvement individuel de chaque particule au cours du temps et utilise les coordonnées initiales de la particule et le temps comme paramètres
• Description eulérienne : suit, en chaque point de l’espace et au cours du temps, des grandeurs macroscopiques locales telles que le champ des vitesses

• Tube de courant : l’ensemble des lignes de courant qui s’appuient sur un contour fermé à un instant donné

📝 Points essentiels

📌 La trajectoire est la courbe décrite par une particule au cours du temps, tandis qu’une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse à un instant donné.

💡 Astuce mémo

Lagrange suit la particule, Euler observe le point fixe.

📖 3. Outils différentiels des champs

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée particulaire : décrit l’évolution d’une grandeur physique liée à un élément matériel que l’on suit au cours de son mouvement
• Divergence : La divergence d’un champ de vitesse est la somme de ses dérivées partielles selon les trois directions et mesure le flux du vecteur dans un volume.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une grandeur scalaire G, la dérivée particulaire vérifie $\frac{dG}{dt}=\frac{\partial G}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\nabla G$.

Compléments

📐 Formule - Pour un champ de vitesse V, la divergence vérifie $\operatorname{div}\mathbf{V}=\frac{\partial V_1}{\partial x_1}+\frac{\partial V_2}{\partial x_2}+\frac{\partial V_3}{\partial x_3}$.

📖 4. Déformations et rotations

★ À maîtriser

📌 En mécanique des solides, les déformations sont décrites par le vecteur déplacement et le tenseur des déformations, tandis qu’en mécanique des fluides elles sont décrites par la vitesse et le tenseur des taux de déformations.

📐 Formule - Le tenseur infinitésimal des déformations est $\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}+\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$ et il est symétrique.

📌 Un solide est indéformable lorsque toutes les composantes du tenseur des déformations sont nulles, c’est-à-dire lorsque $\varepsilon_{ij}=0$.

📐 Formule - Le tenseur des taux de déformations est $D_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial V_i}{\partial x_j}+\frac{\partial V_j}{\partial x_i}\right)$ et le tenseur des taux de rotation est antisymétrique.

Compléments

📐 Formule - Le tenseur de rotation infinitésimal est $\omega_{ij}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}-\frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right)$ et il est antisymétrique.

💡 Astuce mémo

La partie symétrique déforme, la partie antisymétrique fait tourner.

📖 5. Compatibilité des déformations

★ À maîtriser

• Les équations de compatibilité sont six équations différentielles partielles nécessaires pour déterminer si un tenseur de déformations donné peut provenir d’un champ de déplacement.

Compléments

• 🔄 La reconstruction suit les étapes suivantes :
  1. calculer les dérivées premières
  2. vérifier la symétrie des dérivées secondes
  3. intégrer la rotation
  4. calculer le gradient du déplacement
  5. intégrer le gradient

💡 Astuce mémo

Dériver, vérifier, intégrer, reconstruire.

📖 6. Actions et conservation de la masse

★ À maîtriser

📌 Les forces volumiques s’exercent dans le volume, tandis que les forces surfaciques ou de contact s’exercent sur la surface du domaine.

📐 Formule - La force surfacique élémentaire s’écrit $d\mathbf{f}=d\mathbf{f}_n+d\mathbf{f}_t$, avec une composante normale de pression $d\mathbf{f}_n=-p\mathbf{n}\,dS$ et une composante tangentielle de frottement.

📐 Formule - La conservation locale de la masse est donnée par $\frac{\partial\rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho\mathbf{V})=0$.

📌 Pour un fluide incompressible de masse volumique constante, l’équation de continuité devient $\operatorname{div}\mathbf{V}=0$ et l’écoulement est isovolume.

Compléments

📐 Formule - La force volumique élémentaire exercée sur un volume dv par un champ gravitationnel g est $d\mathbf{f}_v=\rho\mathbf{g}\,dv$.

💡 Astuce mémo

Variation de masse → divergence du flux → équation de continuité.

📊 Tableaux de synthèse

Descriptions du mouvement