Fiche de révision : Dénombrements et ensembles finis

📋 Plan du Cours

1. Ensembles finis et sous-ensembles
2. Opérations sur les ensembles
3. Principe de multiplication
4. Listes avec répétition
5. Listes sans répétition
6. Anagrammes avec contraintes
7. Anagrammes sous contraintes
8. Permutations d’éléments distincts
9. Répartition en plusieurs cases
10. Combinaisons sans répétition
11. Méthode des problèmes combinatoires

📖 1. Ensembles finis et sous-ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble fini : un espace à l’intérieur duquel on place des éléments que l’on peut dénombrer ou compter
• Cardinal : le nombre d’éléments de E
• Sous-ensemble : un ensemble inclus dans E, c’est-à-dire que tous les éléments de F appartiennent à E, ce que l’on note F ⊆ E

★ À maîtriser

📌 Dans un ensemble, l’ordre des éléments ne compte pas, ainsi que le montrent les égalités {A, B, C, D} = {A, C, B, D} = {A, D, B, C}.

Compléments

• Dans un ensemble, chaque couple placé entre parenthèses constitue un seul élément et l’ordre compte à l’intérieur du couple, de sorte que (A, B) est différent de (B, A).

📌 L’ensemble vide est, par convention, un sous-ensemble de n’importe quel ensemble.

💡 Astuce mémo

Ensemble : l’ordre ne compte pas ; couple : l’ordre compte

📖 2. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B
• Complémentaire : l’ensemble des éléments qui appartiennent à E mais pas à A
• Différence d’ensembles : l’ensemble des éléments qui appartiennent à A mais pas à B
• Réunion : l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, le « ou » étant non exclusif

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le cardinal de la réunion vérifie $\operatorname{card}(A \cup B)=\operatorname{card}(A)+\operatorname{card}(B)-\operatorname{card}(A \cap B).$

💡 Astuce mémo

Intersection = ET ; réunion = OU

📖 3. Principe de multiplication

★ À maîtriser

• Si un résultat A peut être obtenu de m façons et que, pour chaque obtention de A, un résultat B peut être obtenu de n façons, alors les résultats simultanés (A, B) peuvent être obtenus de m × n façons.

Compléments

📐 Formule - Pour trois résultats successifs A, B et C offrant respectivement m, n et o possibilités conditionnelles, le nombre total de résultats est $m \times n \times o$.

• Deux dés à six faces produisent $6 \times 6=36$ couples de résultats possibles.

💡 Astuce mémo

Résultat A, puis B, puis C : on multiplie les possibilités

📖 4. Listes avec répétition

🔑 Notions clés & Définitions

• p-liste : une suite ordonnée de p éléments de E

★ À maîtriser

📌 Dans une liste avec répétition, les tirages s’effectuent avec remise et un même élément peut donc apparaître plusieurs fois.

Compléments

• Avec les 26 lettres de l’alphabet et des répétitions autorisées, le nombre de mots de 4 lettres est $26^4=456\,976$.

• Pour résoudre un problème de liste avec répétition, on identifie l’ensemble de départ et les valeurs n et p, on vérifie que l’ordre compte, on vérifie que la répétition est possible, puis on applique la formule ou la méthode des cases.

💡 Astuce mémo

Remise → répétition possible → n^p possibilités

📖 5. Listes sans répétition

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : le produit n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1, avec par convention 0! = 1
• Arrangement : Le nombre d’arrangements de p éléments parmi n, noté $A_n^p$, est $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$ lorsque n et p sont non nuls et p ≤ n.

★ À maîtriser

📌 Lorsque n = p, l’arrangement devient une permutation simple et vérifie $A_n^n=n!$.

📐 Formule - Pour un ensemble de n éléments distincts et une liste de longueur p sans répétition, le nombre de listes est $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$.

Compléments

📐 Formule - Le nombre d’arrangements de p éléments parmi n peut aussi s’écrire $A_n^p=n\times(n-1)\times\cdots\times(n-p+1)$.

• Avec 26 lettres et sans répétition, le nombre de mots de 4 lettres est $26\times25\times24\times23=358\,800$.

💡 Astuce mémo

Sans remise → possibilités décroissantes → arrangement

📖 6. Anagrammes avec contraintes

★ À maîtriser

• Le mot PATRICE possède 7 lettres distinctes, donc le nombre de ses anagrammes est $7!=5\,040$.

• Pour une anagramme soumise à des contraintes de position, on calcule séparément les arrangements des positions contraintes puis celui des positions restantes, avant de multiplier les résultats.

Compléments

• Dans PATRICE, les consonnes disponibles pour la première position sont P, T, R et C, soit 4 choix, puis 3 consonnes restent pour la dernière position après le premier choix.

💡 Astuce mémo

Contraintes d’abord, positions libres ensuite

📖 7. Anagrammes sous contraintes

★ À maîtriser

• Pour compter des anagrammes soumises à plusieurs contraintes, on traite d’abord les positions contraintes, puis les positions restantes, avant d’appliquer le principe de multiplication.

• Pour le mot PATRICE, qui possède quatre consonnes P, T, R et C, le nombre d’anagrammes commençant et se terminant par une consonne est $4\times3\times5! = 1440$.

Compléments

• Dans la méthode des cases appliquée à PATRICE, on remplit d’abord les deux cases contraintes avec 4 puis 3 possibilités, puis les cases restantes avec 5, 4, 3, 2 et 1 possibilités.

💡 Astuce mémo

Contraintes d’abord, cases restantes ensuite, multiplication à la fin

📖 8. Permutations d’éléments distincts

🔑 Notions clés & Définitions

• Permutation simple : Liste ordonnée contenant les n éléments de cet ensemble

★ À maîtriser

• Le nombre de permutations d’un ensemble de n éléments distincts est $n!$.

📌 Lorsque les éléments ne sont pas tous distincts, la formule $n!$ surestime le nombre de permutations et doit être corrigée en divisant par les factorielles des effectifs de chaque catégorie répétée.

Compléments

• Le mot ECO comporte 3 éléments distincts et possède donc $3! = 6$ permutations.

💡 Astuce mémo

Permutation simple : tous les éléments sont distincts ; permutation répétée : certaines catégories se répètent

📖 9. Répartition en plusieurs cases

🔑 Notions clés & Définitions

• Permutation par cases : Rangement de n éléments distincts dans p cases en plaçant respectivement n₁, n₂, jusqu’à nₚ éléments dans ces cases, avec plusieurs éléments possibles par case

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de répartitions ordonnées de n éléments distincts dans des cases contenant n₁, n₂, jusqu’à nₚ éléments est $\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_p!}$.

• La répartition équitable de 16 billes distinctes dans 4 sacs, avec 4 billes par sac, donne $\frac{16!}{4!4!4!4!}$ possibilités.

Compléments

📌 Dans la répartition des billes, l’ordre compte car changer une bille de sac produit une répartition différente, et le tirage s’effectue sans remise.

💡 Astuce mémo

Des billes distinctes réparties dans quatre sacs, avec quatre billes par sac

📖 10. Combinaisons sans répétition

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison sans répétition : Sous-ensemble de p éléments choisi dans un ensemble de n éléments, sans tenir compte de l’ordre et sans remise

📝 Points essentiels

📐 Formule - Une forme pratique du nombre de combinaisons de p éléments parmi n est $\binom{n}{p}=\frac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!}$.

• Dans un ensemble de 7 éléments, le nombre de combinaisons de 2 éléments est $\binom{7}{2}=21$.

📌 Pour toute valeur admissible de n, on a $\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1$.

💡 Astuce mémo

Liste : l’ordre compte ; combinaison : l’ordre ne compte pas

📖 11. Méthode des problèmes combinatoires

★ À maîtriser

• Pour résoudre un problème de combinaison, on dessine l’ensemble de départ, on identifie n et p, on détermine si l’ordre compte, puis on applique la formule des combinaisons si l’ordre ne compte pas.

Compléments

📌 Dans ce cours, une combinaison avec remise n’est pas traitée : lorsque l’ordre ne compte pas, le problème est nécessairement une combinaison sans remise.

• Les questions portent sur :
  • les mains possibles
  • les mains ne contenant que des valets
  • les mains ne contenant que des carreaux
  • les mains contenant exactement un roi
  • les mains contenant un roi et deux valets

💡 Astuce mémo

Ensemble, n et p, ordre, puis formule adaptée

📊 Tableaux de synthèse

Listes avec ou sans répétition

Listes, permutations et combinaisons