$$\{1,3,5\}$$
Explication
La réunion contient les éléments appartenant à ou à , en regroupant chaque valeur une seule fois, ce qui donne . L’ensemble est leur intersection, tandis que les répétitions ne créent pas de nouveaux éléments.
$$\{3,4\}$$
Explication
L’intersection rassemble les éléments présents à la fois dans et dans , ici et . L’ensemble contenant les cinq valeurs correspondrait à la réunion, pas à l’intersection.
$$3$$
Explication
Le cardinal compte les éléments de l’ensemble, et ici ceux-ci sont , et , soit trois éléments distincts. La présence de l’ensemble vide comme élément ne réduit pas le cardinal à zéro.
Il contient des éléments que l’on peut dénombrer
Explication
Un ensemble fini est constitué d’éléments que l’on peut compter ou dénombrer. Le classement des éléments relève plutôt d’une liste ou d’un couple, et non de la définition d’un ensemble fini.
Si la première étape offre m possibilités et la seconde n possibilités pour chacune d’elles, le total est m × n
Explication
Le principe de multiplication associe chaque possibilité de la première étape aux n possibilités de la seconde, ce qui donne m × n résultats simultanés. L’addition correspond plutôt à des choix entre des cas distincts, et non à des étapes successives combinées.
$$456\,976$$ mots
Explication
Les répétitions autorisées donnent mots possibles, car chacune des quatre positions peut accueillir l’une des 26 lettres. Le nombre correspond au cas où les lettres ne sont pas répétées.
Elle impose que chaque élément sélectionné soit retiré après son utilisation
Explication
La condition « sans répétition » modélise un tirage sans remise : après chaque choix, l’élément utilisé ne peut plus être repris, ce qui conduit aux possibilités décroissantes de l’arrangement. L’absence de remise ne supprime pas l’importance de l’ordre, car il s’agit toujours d’une liste.
Déterminer les arrangements des positions contraintes
Explication
Les positions imposant une contrainte sont traitées en premier, puis les lettres restantes sont arrangées dans les positions libres. Calculer d’abord toutes les anagrammes ne tient pas compte de la restriction de position.
Le premier utilise $$7!$$, tandis que le second traite les positions contraintes avant les positions libres
Explication
Comme les sept lettres de PATRICE sont distinctes, le dénombrement sans contrainte vaut , alors qu’une contrainte sur les extrémités impose d’abord de choisir les consonnes qui les occupent, puis de placer les lettres restantes. La méthode ne consiste donc pas à ignorer les positions contraintes ni à autoriser des répétitions.
Parce que des permutations différentes produisent parfois le même arrangement visible
Explication
Lorsque certaines lettres sont identiques, échanger deux occurrences de la même lettre ne crée pas un nouvel arrangement visible ; la formule compte donc plusieurs fois une même anagramme. La présence de lettres répétées ne fixe toutefois pas leur position et n’empêche pas les lettres distinctes d’être permutées.
Utiliser une permutation par cases et calculer $$\frac{16!}{4!4!4!4!}$$
Explication
La permutation par cases répartit les 16 éléments distincts entre quatre cases de tailles fixées, d’où la formule . La combinaison ne décrit que le choix d’un seul groupe de quatre billes et ne répartit pas les éléments restants.
Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Dénombrements et ensembles finis.
Qu'est-ce qu'un ensemble fini ?
Un espace où les éléments peuvent être dénombrés.
Que signifie F ⊆ E pour des ensembles F et E ?
Tous les éléments de F appartiennent à E.
Qu'est-ce que l'intersection de deux ensembles A et B ?
L'ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.
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