Fiche de révision : Mesure et incertitudes

📋 Plan du Cours

1. Grandeurs physiques et unités
2. Chiffres et notations scientifiques
3. Dispersion et erreurs de mesure
4. Écriture d’un résultat mesuré
5. Incertitudes de type A
6. Incertitudes de type B
7. Incertitude composée et référence
8. Sources d’erreurs et confiance

📖 1. Grandeurs physiques et unités

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur physique : Caractéristique d’un objet, d’un phénomène, d’un corps ou d’une substance que l’on peut mesurer quantitativement.

★ À maîtriser

📌 Les grandeurs mesurées sont obtenues par comparaison avec une unité étalon, tandis que les grandeurs calculées sont obtenues à partir d’un calcul, comme la masse volumique, rapport de la masse au volume.

• Les sept unités fondamentales du SI sont:
  • le mètre (m)
  • le kilogramme (kg)
  • la seconde (s)
  • l’ampère (A)
  • le kelvin (K)
  • la mole (mol)
  • la candela (cd)

Compléments

📐 Formule — Le pascal s’exprime en unités fondamentales par $1\,\mathrm{Pa}=1\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{s}^{-2}$.

• Certaines grandeurs physiques, comme la densité d’un liquide, n’ont pas d’unité.

📖 2. Chiffres et notations scientifiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Écriture d’un nombre sous la forme $a\times10^n$, avec $1\leq a<10$ et n entier positif ou négatif.

★ À maîtriser

📌 Les chiffres autres que zéro sont significatifs, et les zéros sont significatifs lorsqu’ils sont entre deux chiffres ou placés à droite d’un nombre pour indiquer sa précision.

📌 Lors d’un calcul, le résultat est arrondi avec la précision de la valeur la moins précise et, pour une multiplication ou une division, il ne contient pas plus de chiffres significatifs que la valeur qui en possède le moins.

Compléments

• Le nombre 102,0 comporte 4 chiffres significatifs et le nombre 0,010700 en comporte 5.

📌 La notation ingénieur suit le principe de la notation scientifique, mais la puissance de dix doit être un multiple de trois.

💡 Astuce mémo

Lire les chiffres significatifs, puis convertir en notation scientifique ou ingénieur.

📖 3. Dispersion et erreurs de mesure

🔑 Notions clés & Définitions

• Erreur aléatoire : Erreur dont la valeur diffère à chaque mesure et qui provoque une dispersion des résultats.
• Erreur systématique : Due à un instrument déréglé ou à un protocole inadapté et décale les résultats par rapport à la valeur vraie.

📝 Points essentiels

📌 Des impacts étalés mais centrés en moyenne indiquent de fortes erreurs aléatoires et de faibles erreurs systématiques, tandis que des impacts étalés et éloignés du centre indiquent de fortes erreurs des deux types.

💡 Astuce mémo

Erreur aléatoire : dispersion ; erreur systématique : décalage.

📖 4. Écriture d’un résultat mesuré

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesurande : Grandeur que l’on veut mesurer, notée M.

★ À maîtriser

📐 Formule — Une mesure s’écrit généralement $M=m\pm\Delta M=m\pm u(M)$, où m est la valeur mesurée et u(M) l’incertitude-type.

📌 L’incertitude de mesure est arrondie par excès en conservant un seul chiffre significatif, et sans indication de précision elle vaut la moitié du dernier chiffre significatif.

Compléments

📐 Formule — La mesure peut aussi s’écrire sous la forme $m-u(M)\leq M\leq m+u(M)$ ou $M\in[m-u(M);m+u(M)]$.

📖 5. Incertitudes de type A

📝 Points essentiels

• Pour une série de n mesures indépendantes, on calcule d’abord la moyenne arithmétique puis l’incertitude-type à partir de l’écart-type expérimental sur la moyenne.

📐 Formule — La moyenne arithmétique de n mesures est $\overline{m}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}m_k$.

📐 Formule — L’incertitude-type sur la moyenne est $u(\overline{m})=\frac{1}{\sqrt{n}}\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{k=1}^{n}(m_k-\overline{m})^2}$.

💡 Astuce mémo

Mesurer, moyenner, puis estimer la dispersion sur la moyenne.

📖 6. Incertitudes de type B

★ À maîtriser

📌 Pour une mesure unique, l’incertitude de type B est évaluée à partir des indications du constructeur ou des caractéristiques de lecture de l’instrument.

📐 Formule — Pour un appareil analogique, l’incertitude de lecture vaut $u=\frac{\text{une graduation}}{\sqrt{12}}$, et pour une double lecture elle vaut $u=\frac{\sqrt{2}\,\text{une graduation}}{\sqrt{12}}$.

Compléments

📐 Formule — Si le constructeur indique une précision Δx sans autre information, l’incertitude-type vaut $u=\frac{\Delta x}{\sqrt{3}}$.

📐 Formule — Si le constructeur indique un pourcentage x % sur la lecture, l’incertitude-type vaut $u=\frac{\text{valeur lue}\times x\%}{\sqrt{3}}$.

💡 Astuce mémo

Constructeur, graduation, précision ou pourcentage : quatre sources de calcul.

📖 7. Incertitude composée et référence

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $m=x+y+z+\cdots$, les incertitudes se combinent selon $u(m)^2=u(x)^2+u(y)^2+u(z)^2+\cdots$.

Compléments

📐 Formule — Pour $m=\frac{xyz}{z}$, les incertitudes relatives vérifient $\left(\frac{u(m)}{m}\right)^2=\left(\frac{u(x)}{x}\right)^2+\left(\frac{u(y)}{y}\right)^2+\left(\frac{u(z)}{z}\right)^2$.

📐 Formule — Pour $m=ax+b$ avec a et b constants, l’incertitude vaut $u(m)=a\,u(x)$.

💡 Astuce mémo

Plusieurs mesures interviennent → leurs incertitudes se combinent.

📖 8. Sources d’erreurs et confiance

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagramme d’Ishikawa : Diagramme de cause-effet servant à inventorier les sources d’erreurs selon la méthode des 5 M.
• Intervalle de confiance : Intervalle $[m-u(M);m+u(M)]$ dans lequel la valeur vraie du mesurande est recherchée.

★ À maîtriser

• Les cinq catégories sont:

  • le Moyen
  • la Méthode
  • le Milieu
  • la Matière
  • la Main d’œuvre

• Les niveaux de confiance les plus utilisés sont 68 % pour k=1, 95 % pour k=2 et 99 % pour k=3, le niveau habituel étant 95 %.

Compléments

📌 Pour augmenter la probabilité que la vraie valeur appartienne à l’intervalle de confiance, on agrandit cet intervalle en multipliant l’incertitude-type u(M) par un nombre entier k.

💡 Astuce mémo

Les 5 M : Moyen, Méthode, Milieu, Matière, Main d’œuvre.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’erreurs et effets

Types d’incertitude