Fiche de révision : Calcul littéral et identités remarquables

📋 Plan du Cours

1. Réduire une expression littérale
2. Développer par distributivité simple
3. Développer par double distributivité
4. Calculer avec des expressions
5. Factoriser par facteur commun
6. Utiliser les identités remarquables
7. Programmes de calcul et preuves
8. Égalités et contre-exemples

📖 1. Réduire une expression littérale

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction d’une expression littérale : S. Baruk — Consiste à regrouper les termes semblables afin d’éviter leur répétition ; on utilise aussi souvent le terme simplifier.

📝 Points essentiels

• L’expression 5 + 2a + 3b + 4b + 3 + 2a se réduit en 4a + 7b + 8 en regroupant les termes en a, les termes en b et les constantes.

💡 Astuce mémo

Termes semblables se regroupent ; termes de nature différente restent séparés.

📖 2. Développer par distributivité simple

★ À maîtriser

📌 Pour développer une expression de la forme k(a + b), on applique la distributivité : $k(a+b)=ka+kb$.

Compléments

• Le développement de -4(5x - 1) donne -20x + 4.

💡 Astuce mémo

Multiplier le facteur par chaque terme, puis réduire.

📖 3. Développer par double distributivité

📝 Points essentiels

📐 Formule — La double distributivité s’écrit $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$, car chaque terme de la première parenthèse est multiplié par chaque terme de la seconde.

💡 Astuce mémo

Un tableau : chaque terme de la première parenthèse rencontre chaque terme de la seconde.

📖 4. Calculer avec des expressions

📝 Points essentiels

• Pour développer puis réduire une expression, on transforme d’abord les produits par distributivité, on calcule les produits, puis on regroupe les termes semblables.

• Pour un rectangle de largeur x + 2 et de longueur x + 5, le périmètre vaut 4x + 14 et l’aire vaut x² + 7x + 10.

📖 5. Factoriser par facteur commun

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation par facteur commun : Consiste à transformer une somme ou une différence de produits en un produit contenant le facteur présent dans chaque terme.

★ À maîtriser

• Pour factoriser par facteur commun, on repère le facteur commun, on le place devant une parenthèse, puis on écrit dans la parenthèse les facteurs restants.

Compléments

• L’expression 20x + 15 se factorise en 5(4x + 3).

💡 Astuce mémo

Facteur commun repéré → mise en évidence → expression factorisée.

📖 6. Utiliser les identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — La différence de deux carrés vérifie $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

📐 Formule — Les carrés d’une somme et d’une différence vérifient $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ et $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Compléments

• L’expression (2x + 5)(2x - 5) se réduit à 4x² - 25 grâce à l’identité de la différence de deux carrés.

💡 Astuce mémo

Carré plus, carré moins, différence de carrés : C+ ; C− ; D².

📖 7. Programmes de calcul et preuves

★ À maîtriser

📐 Formule — Le second programme de calcul, appliqué à x, donne $5(0{,}4x+1{,}8)-2x=9$ quel que soit le nombre choisi.

Compléments

• Le premier programme de calcul transforme un nombre x en x² - 5x + 11, puis en x³ - 5x² + 11x + 1 après la dernière multiplication et l’ajout de 1.

💡 Astuce mémo

Choisir → transformer → développer → réduire → conclure.

📖 8. Égalités et contre-exemples

★ À maîtriser

📌 Pour prouver qu’une égalité est toujours vraie, on peut développer et réduire les deux membres jusqu’à obtenir la même expression.

📌 Pour réfuter une égalité annoncée comme toujours vraie, il suffit de trouver une valeur de la variable donnant deux résultats différents.

Compléments

• La somme de deux multiples de 3 est toujours un multiple de 3, car 3x + 3y = 3(x + y).

💡 Astuce mémo

Égalité toujours vraie : démonstration ; égalité fausse : contre-exemple.

📊 Tableaux de synthèse

Développer ou factoriser