Fiche de révision : Mesures des longueurs et des aires

📋 Plan du Cours

1. Le concept de grandeur
2. Le concept de mesure
3. Système métrique et unités
4. Conversions des unités
5. Périmètres et aires usuels
6. Grandeurs continues et discontinues, mesure du continu
7. Procédés de comparaison des grandeurs
8. Étalons et mesure des grandeurs
9. Mesure des aires au cycle trois
10. Vocabulaire des grandeurs et des aires
11. Construire le concept de grandeur
12. Mesure des longueurs
13. Mesure des aires
14. Difficultés, conservation et mesure des longueurs, aires et volumes
15. Confusions sur le périmètre
16. Distinction entre aire et périmètre
17. Mesure et unités d’aire
18. Erreurs sur les unités de mesure

📖 1. Le concept de grandeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur : Propriété quantifiable, liée à une personne ou à un objet et susceptible de varier.

★ À maîtriser

📌 Une grandeur n’est pas un nombre : on peut comparer ou ordonner des objets selon une grandeur sans lui attribuer de valeur numérique.

📌 Une grandeur est mesurable si la notion de somme a du sens, comme pour la longueur, l’aire, la capacité ou la durée ; elle est repérable si la somme n’a pas de sens, comme pour la température ou l’heure considérée comme repérage d’un instant.

Compléments

• La longueur est une grandeur associée aux lignes, l’aire aux surfaces, la contenance aux récipients et la durée aux laps de temps.

💡 Astuce mémo

Propriété quantifiable ≠ nombre qui la mesure

📖 2. Le concept de mesure

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure : Nombre abstrait de fois qu’une unité de mesure de même nature est contenue dans cette grandeur.

★ À maîtriser

📌 Pour décrire une mesure, il faut distinguer l’objet, la grandeur de cet objet que l’on mesure et la mesure numérique de cette grandeur exprimée dans une unité déterminée.

Compléments

📐 Formule - La mesure en pieds de la longueur d’une poutre est $\frac{\text{longueur de la poutre}}{\text{longueur du pied}} = 9$ lorsque la poutre équivaut à 9 pieds. - Roegiers, 2000

📖 3. Système métrique et unités

★ À maîtriser

• Le système métrique fait dériver les unités principales les unes des autres par multiplication ou division par 10, 100 ou 1 000, sauf pour le temps et les angles.

• Pour les aires, chaque unité vaut 100 fois l’unité immédiatement plus petite, de km² à hm², dam², m², dm², cm² puis mm².

Compléments

• En 1793, le mètre est défini comme le dix-millionième du quart du méridien terrestre et le kilogramme comme la masse d’un décimètre cube d’eau pure.

• Les unités agraires sont :

  • l’hectare (ha)
  • l’are (a)
  • le centiare (ca)

💡 Astuce mémo

Longueur : ×10 ; aire : ×100 à chaque unité

📖 4. Conversions des unités

★ À maîtriser

• Dans un tableau de conversion, le chiffre des unités se place à droite dans la colonne de l’unité indiquée, puis la virgule se place à droite dans la colonne de l’unité cible et les cases manquantes sont complétées par des zéros.

Compléments

• La conversion de 123,4 hm en mètres donne 12 340 m.

• La conversion de 5 612 cm³ en mètres cubes donne 0,005612 m³.

• Comme 1 hm² = 10 000 m², 85 340 m² = 8,534 hm².

📖 5. Périmètres et aires usuels

★ À maîtriser

• Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de ses côtés.

📐 Formule - L’aire d’un triangle de base b et de hauteur relative h vaut $A = \frac{b h}{2}$.

📐 Formule - L’aire d’un carré de côté c vaut $A = c^2$ et celle d’un rectangle de longueur L et de largeur l vaut $A = Ll$.

📐 Formule - Le périmètre d’un cercle de rayon R ou de diamètre D vaut $P = 2\pi R = \pi D$.

📐 Formule - L’aire d’un disque de rayon R ou de diamètre D vaut $A = \pi R^2 = \frac{\pi D^2}{4}$.

Compléments

• Dans un triangle, une hauteur est un segment perpendiculaire à un côté et passant par le sommet opposé ; ce côté est la base associée.

• Deux triangles ayant un côté commun et des sommets opposés alignés sur une droite parallèle à ce côté ont la même aire.

📐 Formule - Le périmètre d’un carré ou d’un losange de côté c vaut $P = 4c$, et celui d’un rectangle de longueur L et de largeur l vaut $P = 2(L+l)$.

📐 Formule - L’aire d’un losange de diagonales D et d vaut $A = \frac{Dd}{2}$, et celle d’un parallélogramme de base b et de hauteur associée h vaut $A = bh$.

📐 Formule - L’aire d’un trapèze de bases B et b et de hauteur h vaut $A = \frac{(B+b)h}{2}$.

📖 6. Grandeurs continues et discontinues, mesure du continu

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandeur discontinue : Composée d’objets distincts mais analogues et dont la mesure s’exprime par un nombre entier.
• Grandeur continue : Ne se perçoit pas comme un ensemble d’objets distincts et peut s’exprimer par un nombre fractionnaire.

★ À maîtriser

• Une grandeur continue, comme la longueur d’un fil, ne possède pas d’unité privilégiée pour son dénombrement ou sa mesure.

Compléments

• Dans une recette, le nombre d’œufs varie proportionnellement au nombre de personnes et ces deux grandeurs se quantifient par des nombres entiers positifs.

• Les grandeurs continues citées sont :

  • la longueur
  • l’aire
  • le volume
  • la masse

• Un fil peut être partagé en parts égales du point de vue de sa longueur, sans que l’on puisse déterminer d’emblée combien il contient d’unités.

💡 Astuce mémo

Objets distincts et entiers contre grandeur continue et fractionnaire

📖 7. Procédés de comparaison des grandeurs

★ À maîtriser

• La superposition directe compare deux grandeurs en plaçant directement les objets ou surfaces l’un sur l’autre, par exemple deux crayons pour comparer leur longueur.

• La superposition indirecte compare deux grandeurs par l’intermédiaire d’un objet tiers, comme une ficelle pour comparer la hauteur d’une armoire et celle d’une porte.

Compléments

• La transformation rend des grandeurs comparables en modifiant leur configuration, par exemple en rectifiant une ligne brisée ou en découpant puis réagençant une surface.

• Le transvasement compare les contenances en transférant le contenu d’un récipient dans un autre.

• La pesée compare des masses à l’aide d’une balance à plateaux.

📖 8. Étalons et mesure des grandeurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Étalon : Une grandeur particulière choisie pour comparer des grandeurs du même domaine et mesurer une unité.
• Mesure d’une grandeur : Le nombre associé à cette grandeur relativement à une unité de mesure.

★ À maîtriser

📌 Un étalon peut être naturel, comme la masse d’une orange, d’une bille ou d’une noix, ou conventionnel, comme le gramme, le kilogramme ou la tonne.

Compléments

• Exprimer une grandeur par un nombre rapporté à une unité permet de communiquer sur la grandeur d’objets, de fabriquer un objet de grandeur donnée et de comparer des objets par leurs mesures ou par encadrement entre deux nombres.

📌 Une mesure peut être obtenue directement par mesurage, en reportant l’étalon ou en utilisant un instrument, ou indirectement par un calcul, par exemple l’application d’une formule.

📖 9. Mesure des aires au cycle trois

★ À maîtriser

• Les unités usuelles d’aire comprennent les multiples et sous-multiples du mètre carré, ainsi que l’are et l’hectare.

• Au CM2, les élèves utilisent les formules de l’aire du carré, du rectangle et du triangle rectangle.

Compléments

• Au CM1, les élèves comparent et classent des surfaces selon leur aire et mesurent ou estiment une aire à l’aide d’une surface de référence.

• Au CM2, les élèves découvrent et utilisent les unités d’aire usuelles telles que le mètre carré, le centimètre carré et le décimètre carré, ainsi que leurs relations.

• En 6e, les élèves étudient les multiples et sous-multiples du mètre carré, la formule de l’aire d’un triangle quelconque et celle de l’aire d’un disque.

📖 10. Vocabulaire des grandeurs et des aires

★ À maîtriser

📌 En mathématiques, « aire » est préféré à « surface » pour désigner la grandeur mesurée, et le vocabulaire doit distinguer l’aire de l’air respiré ou fredonné et de l’ère historique.

Compléments

📌 En classe, le mot « grandeur » est remplacé par le nom précis de la grandeur évoquée, comme longueur, masse ou aire.

• L’aire de repos et l’aire géographique renvoient plutôt à une surface, contrairement à l’aire mathématique qui désigne une grandeur.

💡 Astuce mémo

L’aire se mesure ; l’air se respire ou se fredonne, l’ère désigne une époque.

📖 11. Construire le concept de grandeur

★ À maîtriser

• L’apprentissage des grandeurs suit quatre étapes : construire leur sens sans mesure, recourir à des mesures naturelles, découvrir les unités conventionnelles et les instruments, puis utiliser des formules.

• Avant de mesurer, les élèves construisent le concept de grandeur en isolant une grandeur d’un objet, en comparant ou classant les objets selon cette grandeur, puis en dégageant l’additivité des grandeurs mesurables.

Compléments

• La bonne unité énoncée après un nombre ne suffit pas à garantir que l’élève se représente correctement la grandeur mesurée.

• Une grandeur mesurable peut être additive, par exemple lorsque l’aire totale d’un cube est la somme des aires de ses faces.

📌 La comparaison par mesure exige une unité commune, car des mesures effectuées avec des étalons différents ne permettent pas de comparer directement les grandeurs.

• Les propriétés des grandeurs doivent être travaillées avant leur mesure, notamment leur comparaison, leur addition, leur partage en parts égales et leur mesurage.

💡 Astuce mémo

Comparer d’abord, mesurer ensuite, puis calculer par formule.

📖 12. Mesure des longueurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure sur une bande graduée : La mesure d’une longueur sur une bande graduée est l’écart, exprimé en nombre d’unités, entre les traits correspondant aux deux extrémités du segment.

★ À maîtriser

• Comparer ou communiquer une mesure de longueur exige un étalon commun, car le même bureau peut mesurer 11 mains avec la main de Tatiana et 13 avec celle de Marine.

• Pour transmettre une mesure de longueur à l’extérieur, il faut recourir à un étalon conventionnel, car une longueur exprimée en pieds propres à une personne n’est pas une référence partagée.

• Avant de mesurer une longueur, il est souhaitable que l’élève en estime la mesure à l’œil, par des gestes ou en la comparant à des longueurs connues.

• L’apprentissage des unités de longueur vise à développer les comportements suivants : lire et écrire les mesures rencontrées dans la vie courante, se représenter concrètement la grandeur des unités et choisir l’unité adéquate, estimer une longueur dans l’unité choisie

• 🔄 La graduation d’une bande de papier se construit ainsi :

  1. Déterminer une origine et lui attribuer le nombre 0.
  2. Reporter régulièrement une même longueur, appelée unité.
  3. Matérialiser chaque report par un trait et affecter un nombre entier à chaque trait.

📌 Le périmètre doit être compris avant l’application des formules, car une application précoce peut le réduire à un résultat obtenu par formule.

Compléments

• Les premières unités de longueur sont des unités naturelles choisies par les élèves et matérialisées par des étalons.

• Quand une mesure est imprécise, les élèves peuvent exprimer un encadrement, comme une longueur comprise entre 9 et 10 mains, ou l’affiner avec une unité plus petite, comme 9 mains et 3 doigts.

• Les élèves apprennent le kilomètre, le décimètre, le mètre et le centimètre au CE1, le millimètre au CE2 et les autres sous-unités au CM1 et au CM2, selon les repères de 2019.

• Pour faire émerger la relation entre les sous-unités, les élèves peuvent placer un double-décimètre cinq fois bout à bout contre le mètre jaune et constater que 10 dm ont la même longueur que 1 m.

📌 Les transformations et opérations sur des mesures ne sont pertinentes qu’après l’acquisition de la lecture et de l’écriture des mesures, de la représentation des unités et de l’estimation.

• L’apprentissage de l’utilisation de la règle, ou double-décimètre, débute dès le CP.

📌 Pour lire rapidement une longueur sur une règle graduée, il est préférable de placer l’extrémité de départ sur l’origine de la graduation.

📌 En CM2, les élèves apprennent les formules du périmètre du carré et du rectangle ; en 6e, ils apprennent la formule de la longueur d’un cercle.

📖 13. Mesure des aires

🔑 Notions clés & Définitions

• Aire : L’étendue d’une surface, c’est-à-dire la grandeur de cette surface.
• Formule d’aire : Une formule d’aire est un procédé qui détermine par calcul l’aire d’une surface plane à partir de mesures de longueur, évitant un comptage fastidieux ou le transport d’étalons encombrants.

★ À maîtriser

• Les unités conventionnelles d’aire, du km² au mm², sont organisées selon une échelle centésimale où chaque unité vaut cent fois celle située à sa droite.

📌 Pour une mesure d’aire, l’élève doit pouvoir choisir l’unité adéquate et estimer une surface, même avec une précision de 50 %, en s’appuyant sur des repères concrets.

• Les formules d’aire à connaître en fin d’école primaire sont celles :
  • du rectangle
  • du carré
  • du triangle rectangle

Compléments

• Deux surfaces superposables par découpage ont la même aire.

• Au CM1, les élèves apprennent à mesurer ou estimer l’aire d’une surface à l’aide d’une surface de référence ou d’un réseau quadrillé.

• Dans un exemple de mesure d’aire sur quadrillage, l’étalon est un triangle isocèle rectangle dont l’aire vaut celle de deux carreaux.

• Si l’étalon u sert d’unité d’aire, l’aire de la surface A est encadrée par 7u < Aire(A) < 8u.

• Un rectangle de 4 cm sur 3 cm peut être recouvert par 12 carrés de 1 cm², donc son aire est de 12 cm².

• Quelques repères d’aire sont :

  • une pièce d’habitation moyenne : 20 à 50 m²
  • une feuille A4 : environ 600 cm²
  • un timbre-poste : environ 6 cm²
  • une porte : environ 2 m²
  • une carte d’identité : environ 90 cm²
  • une piscine olympique : environ 1000 m²

📌 Le tableau de conversion des aires peut faciliter certaines opérations, mais son usage mécanique peut paralyser le raisonnement en coupant l’élève des références concrètes aux unités.

📖 14. Difficultés, conservation et mesure des longueurs, aires et volumes

🔑 Notions clés & Définitions

• Enfant conservant : Un enfant est dit conservant s’il reconnaît que deux ficelles gardent la même longueur après que l’une a été froissée ; sinon, il est dit non conservant.

★ À maîtriser

• Un enfant est dit conservant s’il reconnaît que les longueurs, les aires ou les volumes restent inchangés après déformation ou déplacement d’une figure.

• Selon les études de Piaget, la conservation des longueurs et des aires est généralement perçue à partir de 7 ans, tandis que celle des volumes l’est à partir de 11-12 ans.

Compléments

• Dans une activité de GS ou de CP, l’enseignant pose deux ficelles de même longueur sur une table, demande si elles sont de même longueur, froisse l’une d’elles, puis repose la question.

• Au début du CE2, au moins 25 % des élèves choisissent le chien n° 1 comme le plus proche en se laissant influencer par l’apparence du trajet et en confondant distance entre deux points et longueur de la ligne brisée.

💡 Astuce mémo

La ficelle froissée conserve sa longueur ; le chemin visuellement plus court ne garantit pas la distance la plus courte.

📖 15. Confusions sur le périmètre

★ À maîtriser

• Pour calculer un périmètre, certains élèves additionnent toutes les dimensions données, comptent les carreaux intérieurs ou extérieurs, ou additionnent les périmètres de figures accolées.

📌 L’addition des aires de deux surfaces disjointes et accolées donne l’aire de leur réunion, mais l’addition de leurs périmètres ne donne pas le périmètre de leur réunion.

Compléments

• Certains élèves pensent que deux figures non superposables ne peuvent pas avoir le même périmètre.

📖 16. Distinction entre aire et périmètre

🔑 Notions clés & Définitions

• Concept-en-acte : Moreira -Baltar, 1998 - Un concept tenu pour pertinent dans l’action en situation, qui révèle souvent une facette incomplète du concept.
• Théorème-en-acte : Moreira -Baltar, 1998 - Une proposition tenue pour vraie par l’élève, alors qu’elle peut être mathématiquement vraie, partiellement vraie dans un domaine limité ou fausse.

★ À maîtriser

📌 L’aire et le périmètre varient dans le même sens lorsqu’une figure est agrandie ou réduite, mais pas nécessairement lorsque les figures ont des formes différentes.

• Deux surfaces de même aire peuvent avoir des périmètres différents, et deux surfaces de même périmètre peuvent avoir des aires différentes.

Compléments

• En fin de CM2, seulement 22 % des élèves estiment que le carré et la croix ont le même périmètre dans l’exercice proposé.

• L’aire et le périmètre varient en sens contraire dans certains cas, notamment lorsque des figures de formes différentes sont comparées.

• Le découpage-recollement conserve l’aire, mais ne conserve pas nécessairement le périmètre.

💡 Astuce mémo

Même forme agrandie : aire et périmètre varient ensemble ; formes différentes : ils peuvent varier en sens contraire.

📖 17. Mesure et unités d’aire

★ À maîtriser

• Le cm² est présenté comme l’aire d’un carré de 1 cm de côté, ce qui conduit certains élèves à croire qu’une surface doit avoir cette forme pour mesurer 1 cm².

Compléments

• Pour constater que des surfaces non superposables directement ont la même aire, les élèves doivent effectuer ou imaginer des découpages et des réagencements avant d’aborder les unités conventionnelles.

📖 18. Erreurs sur les unités de mesure

★ À maîtriser

• Les erreurs d’utilisation des unités comprennent : l’oubli des unités dans les réponses, l’oubli de convertir les mesures dans une même unité avant le calcul, la confusion entre unités de longueur et d’aire, la méconnaissance d’ordres de grandeur de référence, la difficulté à distinguer le changement de mesure du changement de grandeur

Compléments

• Une longueur de 3 cm équivaut à 0,03 m : la mesure numérique change avec l’unité, mais la longueur reste la même.