QCM : Mesures des longueurs et des aires (45 questions)

Explication

Une grandeur est une propriété quantifiable liée à un objet ou à une personne et susceptible de varier. La provenance et le type de bois sont des propriétés descriptives, tandis que le nom identifie l’objet.

Explication

La longueur est une grandeur, mais elle n’est pas elle-même un nombre : des objets peuvent être comparés ou ordonnés selon cette grandeur sans valeur numérique. Attribuer une valeur ou choisir une unité relève de la mesure, et un classement n’est pas une mesure chiffrée.

Explication

Une durée écoulée est mesurable, car la somme de durées a du sens; l’heure qui repère un instant est repérable, car la somme de deux instants n’a pas de sens. Confondre la durée avec l’instant inverse donc les deux catégories.

Explication

La mesure est le nombre abstrait de fois que l’unité de même nature est contenue dans la grandeur considérée. La bande est l’unité, la longueur du ruban est la grandeur, et le ruban est l’objet.

Explication

Une mesure distingue l’objet étudié, la grandeur de cet objet et la valeur numérique exprimée dans une unité déterminée. Ici, la table est l’objet, sa longueur est la grandeur, et 120 centimètres en est la mesure.

Explication

Les unités principales du système métrique se déduisent par multiplication ou division par des puissances de dix, contrairement aux unités de temps et d’angles. Les autres réponses attribuent à tort l’exception aux longueurs, aux masses ou à l’une de ces catégories.

Explication

Chaque unité d’aire vaut 100 fois l’unité immédiatement plus petite : passer de $\text{m}^2$ à $\text{dm}^2$ multiplie donc la valeur par $100$. Le facteur $10$ correspond aux longueurs, $1\,000$ à une progression cubique, et $0{,}01$ inverse le sens de conversion.

Explication

La méthode consiste à placer le chiffre des unités à droite dans la colonne de l’unité de départ, puis la virgule à droite dans la colonne de l’unité cible et à remplir les cases manquantes avec des zéros. Les autres réponses déplacent incorrectement le chiffre ou la virgule, ou omettent le remplissage nécessaire.

Explication

Comme $1\ \text{m}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3$, on divise $5\,612$ par $1\,000\,000$ et obtient $0{,}005612\ \text{m}^3$. Les autres valeurs résultent d’un déplacement insuffisant ou excessif de la virgule, ou d’une mauvaise échelle de conversion.

Explication

Le périmètre d’un polygone est la somme des longueurs de tous ses côtés : $4+7+5+6=22$ cm. Le produit des côtés confond périmètre et aire, tandis que les réponses 13 cm et 42 cm ne correspondent pas à la somme complète.

Explication

L’aire d’un triangle est la moitié du produit de sa base par sa hauteur relative : $A=\frac{12\times5}{2}=30$ cm². La réponse 60 cm² oublie le facteur deux, et 25 cm² ou 17 cm² proviennent d’opérations qui ne donnent pas l’aire.

Explication

L’aire du carré vaut $6^2=36$ cm² et celle du rectangle $8\times3=24$ cm². La réponse qui attribue 24 cm² au carré confond aire et périmètre; celle qui donne 22 cm² au rectangle calcule son périmètre.

Explication

Le périmètre d’un cercle vaut $\pi D$; avec un diamètre de 10 cm, il vaut donc $10\pi$ cm. $25\pi$ correspond à l’aire calculée avec le rayon, tandis que $5\pi$ traite le rayon comme le diamètre.

Explication

Le nombre de billes dénombre des objets distincts et analogues; c’est une grandeur discontinue dont la mesure est un nombre entier. La qualifier de continue confond dénombrement et mesure continue, et un nombre fractionnaire ne convient pas au nombre d’objets.

Explication

Une longueur est une grandeur continue : elle ne se présente pas comme un ensemble d’objets distincts et peut être exprimée par un nombre fractionnaire. La traiter comme discontinue confond mesure d’une longueur et dénombrement, tandis qu’imposer un entier écarte les mesures fractionnaires.

Explication

Une longueur continue, comme celle d’un fil, ne possède pas d’unité privilégiée pour son dénombrement ou sa mesure; il faut donc choisir une unité de référence. Cela n’empêche pas de comparer des longueurs et ne fixe pas une unité naturelle ni une mesure entière.

Explication

La superposition directe consiste à placer les deux objets l’un sur l’autre pour comparer leurs longueurs. La superposition indirecte fait intervenir un objet tiers, la transformation modifie la configuration et le transvasement compare des contenances.

Explication

La ficelle sert d’objet tiers pour comparer les deux hauteurs : c’est une superposition indirecte. La comparaison directe placerait les objets l’un sur l’autre, tandis que la transformation modifie une grandeur et le transvasement concerne des contenances.

Explication

Un étalon est une grandeur particulière choisie pour comparer des grandeurs du même domaine et mesurer une unité. La mesure est le nombre associé à une grandeur, tandis qu’un instrument sert à effectuer un mesurage.

Explication

La masse d’une noix est un étalon naturel, tandis que le kilogramme est une unité conventionnelle. Inverser les catégories attribue le caractère conventionnel à l’objet naturel et le caractère naturel à l’unité définie.

Explication

Au CM2, les élèves utilisent les formules d’aire du carré, du rectangle et du triangle rectangle. Les formules de périmètre portent sur une autre grandeur, tandis que le disque et le triangle quelconque relèvent des apprentissages indiqués pour la 6e.

Explication

Les unités usuelles d’aire incluent les multiples et sous-multiples du mètre carré, ainsi que l’are et l’hectare. Les unités du mètre mesurent des longueurs, et les deux catégories d’unités d’aire sont à considérer ensemble.

Explication

En mathématiques, « aire » désigne la grandeur mesurée et est préféré à « surface », qui renvoie plutôt à l’objet étendu. « Grandeur » reste trop général ici, tandis que « ère » désigne une époque.

Explication

Le vocabulaire de classe privilégie le nom précis de la grandeur évoquée : une balance sert ici à mesurer la masse. « Grandeur » est trop général, et longueur comme aire désignent d’autres grandeurs.

Explication

Avant la mesure, la construction du concept passe par l’identification de la grandeur, la comparaison ou le classement selon cette grandeur, puis la mise en évidence de son additivité. La mesure conventionnelle, la comparaison des masses et les conversions ne constituent pas cette démarche préalable.

Explication

Les étapes progressent de la construction du sens sans mesure aux mesures naturelles, puis aux unités conventionnelles et aux instruments, avant l’utilisation de formules. Introduire les formules ou les instruments plus tôt inverse cette progression.

Explication

Un étalon commun est nécessaire pour comparer des mesures, puisque des unités personnelles différentes peuvent produire des nombres différents pour le même bureau. Comparer directement ces nombres ou les arrondir ne supprime pas cette différence d’étalon.

Explication

Pour transmettre une mesure à l’extérieur, il faut une référence conventionnelle partagée, et non une unité dépendant de la personne. Préciser ou arrondir des pieds personnels, ou adopter ceux d’un camarade, ne fournit pas cet étalon commun.

Explication

Il est souhaitable d’estimer une longueur avant le mesurage, à l’œil, par des gestes ou en la comparant à une longueur connue. La conversion et la lecture d’une mesure existante ne remplacent pas cette estimation préalable.

Explication

La graduation exige une origine portant le nombre 0, le report régulier d’une même longueur-unité et l’attribution d’un entier à chaque trait. Commencer à 1, varier les intervalles ou changer d’unité empêche de construire cette graduation régulière.

Explication

L’aire mesure l’étendue d’une surface. La longueur du contour relève du périmètre, tandis qu’une longueur maximale ou un volume décrivent d’autres grandeurs.

Explication

Chaque unité d’aire vaut cent fois l’unité immédiatement à sa droite : de m² à cm², il y a deux étapes, donc le facteur est $100 \times 100 = 10\,000$. Le facteur 100 correspond à une seule étape, et diviser par 100 va dans le sens opposé.

Explication

L’estimation d’une aire suppose de choisir une unité adaptée et de s’appuyer sur des repères concrets ; une précision approchée peut suffire. Mesurer le contour ne donne pas directement l’aire, et une impression sans repère ne répond pas à la démarche attendue.

Explication

À la fin de l’école primaire, les formules attendues sont celles du rectangle, du carré et du triangle rectangle. Les formules d’autres figures, comme le losange ou le parallélogramme, relèvent du collège.

Explication

Un enfant est dit conservant s’il reconnaît que deux ficelles gardent la même longueur après la déformation de l’une d’elles. Le terme « non conservant » correspond à l’enfant qui ne reconnaît pas cette égalité.

Explication

La conservation consiste à reconnaître que les longueurs, les aires ou les volumes restent inchangés après une déformation ou un déplacement. La limiter aux longueurs ou aux figures immobiles réduit à tort cette idée.

Explication

Les études de Piaget situent généralement la conservation des longueurs et des aires à partir de 7 ans, et celle des volumes à partir de 11-12 ans. L’inversion des âges ou leur uniformisation ne respecte pas cette distinction.

Explication

Le périmètre mesure la longueur du contour, tandis que compter les carreaux intérieurs revient à s’intéresser à l’aire. Additionner des dimensions sans vérifier leur position ou cumuler les périmètres de figures accolées sont d’autres erreurs possibles, mais distinctes.

Explication

L’aire de la réunion est la somme des aires des deux surfaces, alors que son périmètre n’est pas la somme de leurs périmètres, car le bord commun ne fait pas partie du contour extérieur. L’option sur le bord commun l’inclut à tort, tandis que les autres inversent ou généralisent incorrectement la règle.

Explication

Lorsqu’une figure est agrandie ou réduite, son aire et son périmètre varient dans le même sens. La variation en sens contraire peut se produire en comparant des figures de formes différentes, mais pas dans ce cas d’agrandissement.

Explication

Une égalité d’aire n’impose pas une égalité de périmètre : des surfaces de même aire peuvent avoir des contours de longueurs différentes. L’égalité des aires ne garantit donc pas l’égalité des périmètres, et une différence de périmètre ne modifie pas leur aire.

Explication

Le carré de $1\,\text{cm}$ de côté illustre l’unité d’aire, mais n’impose pas une forme particulière aux surfaces qui ont cette aire. Le périmètre de $4\,\text{cm}$ confond aire et contour, tandis que les autres erreurs imposent à tort une forme ou des dimensions particulières.

Explication

Un découpage suivi d’un réagencement permet de constater que deux surfaces non superposables directement peuvent avoir la même aire. Se fier à l’apparence ou à une longueur ne vérifie pas l’égalité des aires, et la superposition directe n’est pas indispensable.

Explication

Pour effectuer le calcul, les mesures doivent être exprimées dans une même unité, et le résultat doit comporter son unité. La conversion ne change pas la grandeur, et rien dans la situation ne signale une confusion entre longueur et aire.

Explication

Un changement d’unité modifie la valeur numérique de la mesure sans modifier la longueur représentée. Dire que la longueur diminue confond la mesure numérique avec la grandeur, tandis que conserver $3$ mètres ou inverser la conversion donne une mesure incorrecte.