Fiche de révision : Mesures et incertitudes expérimentales

📋 Plan du Cours

1. Variabilité et incertitude-type
2. Moyenne et écart-type des mesures
3. Évaluations de type A et B
4. Incertitude composée et propagation
5. Présentation et comparaison des résultats
6. Régression linéaire et validation
7. Simulations aléatoires en Python
8. Histogrammes et scripts Monte-Carlo

📖 1. Variabilité et incertitude-type

🔑 Notions clés & Définitions

• Métrologie : science de la mesure
• Mesurage : processus d’attribution d’une valeur expérimentale à une grandeur physique

📝 Points essentiels

• La variabilité peut provenir de:
  • l’opérateur
  • l’environnement de travail
  • les instruments utilisés
  • la méthode de mesure choisie

📌 Un résultat de mesure est un ensemble de valeurs numériques raisonnablement attribuables à la grandeur d’intérêt, et non une valeur unique.

💡 Astuce mémo

Opérateur, environnement, instrument ou méthode → variabilité du mesurage

📖 2. Moyenne et écart-type des mesures

🔑 Notions clés & Définitions

• Incertitude-type : écart-type de la distribution des données issues d’une répétition de la mesure et caractérise leur variabilité

★ À maîtriser

📌 Toutes les valeurs de l’intervalle $x_{mes} \pm u(x)$ peuvent raisonnablement être attribuées à la grandeur mesurée.

Compléments

📐 Formule — L’incertitude-type relative s’exprime par $u_r(x)=\frac{u(x)}{x_{mes}}$ et se donne en pourcentage.

• Toutes les mesures issues d’un même processus possèdent la même incertitude-type, car celle-ci caractérise la variabilité du processus et non chaque mesure.

💡 Astuce mémo

Une incertitude-type pour le processus, pas une par mesure

📖 3. Évaluations de type A et B

★ À maîtriser

• L’évaluation de type A estime l’incertitude-type par répétition du protocole et analyse statistique des valeurs obtenues.

📐 Formule — Pour N mesures, la valeur mesurée est $x_{mes}=\langle x\rangle$ et l’incertitude-type de la moyenne vaut $u(\langle x\rangle)=\frac{u(x)}{\sqrt{N}}$.

• L’évaluation de type B estime l’incertitude-type sans répétition statistique, à partir d’une plage supposée équiprobable autour de la valeur mesurée.

📐 Formule — Pour une distribution uniforme dans l’intervalle $[x_{mes}-\Delta,x_{mes}+\Delta]$, l’incertitude-type vaut $u(x)=\frac{\Delta}{\sqrt{3}}$.

Compléments

📐 Formule — Pour un appareil indiquant une précision de P pour cent de la valeur lue et n digits, la précision vaut $\Delta=P\times\text{valeur lue}+n\times\text{digit}$.

💡 Astuce mémo

Type A : répétition observée ; type B : plage estimée

📖 4. Incertitude composée et propagation

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une somme ou une différence, l’incertitude-type composée vaut $u(x)=\sqrt{u(a)^2+u(b)^2}$.

📐 Formule — Pour un produit ou un quotient, l’incertitude-type relative vaut approximativement $u_r(x)=\sqrt{u_r(a)^2+u_r(b)^2}$ lorsque les incertitudes relatives sont faibles.

• Une simulation Monte-Carlo évalue une incertitude composée en tirant aléatoirement les grandeurs d’entrée, en calculant la grandeur résultante et en déterminant la dispersion des résultats.

Compléments

• Pour la longueur d’onde du mercure, la simulation Monte-Carlo donne $\lambda=(543{,}3\pm2{,}9)\,\mathrm{nm}$ à partir de x=(199,800 ± 0,042)° et y=(190,420 ± 0,031)°.

💡 Astuce mémo

Somme/différence → produit/quotient → Monte-Carlo

📖 5. Présentation et comparaison des résultats

★ À maîtriser

📌 Un résultat expérimental s’écrit $x=(x_{mes}\pm u(x))\,\text{unité}$, avec une unité et des chiffres significatifs cohérents.

📐 Formule — L’écart normalisé de deux valeurs mesurées est $z=\frac{|x_1-x_2|}{\sqrt{u(x_1)^2+u(x_2)^2}}$.

📌 Deux valeurs sont compatibles si $z<2$ et incompatibles si $z\geq2$.

Compléments

📌 Par convention, l’incertitude-type est donnée avec 2 chiffres significatifs.

• Une incompatibilité peut provenir de:
  • la variabilité des mesures
  • une erreur de manipulation ou de calcul
  • un oubli d’une source d’incertitude
  • un biais du protocole

💡 Astuce mémo

Chiffres cohérents pour présenter ; z < 2 pour comparer

📖 6. Régression linéaire et validation

★ À maîtriser

• Une régression linéaire cherche les paramètres a et b du modèle $y=ax+b$ à partir d’au moins 5 couples de valeurs mesurées et de leurs incertitudes-types.

📌 Un modèle linéaire est graphiquement compatible si les écarts à la droite sont comparables aux incertitudes-types et si les points sont répartis aléatoirement de part et d’autre de la droite.

• Pour une régression linéaire valide sans point aberrant, les résidus normalisés sont généralement compris entre −2 et 2 et répartis aléatoirement autour de zéro.

Compléments

• La fonction Python np.polyfit(x, y, 1) fournit la pente a puis l’ordonnée à l’origine b de la droite de régression.

💡 Astuce mémo

Tracer → ajuster → vérifier les barres → analyser les résidus

📖 7. Simulations aléatoires en Python

★ À maîtriser

• La commande rd.uniform(x-Δ,x+Δ,N) génère N valeurs selon une distribution uniforme entre x−Δ et x+Δ.

• La commande rd.normal(x,u_x,N) génère N valeurs selon une loi normale d’espérance x et d’écart-type u(x).

📌 On choisit une loi uniforme lorsqu’on connaît seulement une limite basse et une limite haute, et une loi gaussienne lorsqu’on connaît la valeur mesurée et l’incertitude-type sans connaître la distribution sous-jacente.

Compléments

• Pour des étendues différentes selon les valeurs mesurées, l’expression X + A * rd.uniform(-1,1,N) ajoute à chaque valeur une variable uniforme d’étendue donnée par A.

💡 Astuce mémo

Bornes connues : uniforme ; incertitude-type connue : gaussienne

📖 8. Histogrammes et scripts Monte-Carlo

🔑 Notions clés & Définitions

• Histogramme : représentation de la distribution d’un caractère statistique par des classes dont la hauteur est égale à l’effectif de la classe

📝 Points essentiels

📐 Formule — La règle de Rice donne approximativement le nombre de classes d’un histogramme par $k\simeq2N^{1/3}$.

• Le script Monte-Carlo de l’incertitude composée simule 10 000 jeux de valeurs normales, calcule la grandeur résultante, puis en déduit sa moyenne et son écart-type.

• Le script de régression linéaire simule des valeurs de y dans leurs intervalles d’incertitude, ajuste chaque série par np.polyfit, puis calcule la moyenne et l’écart-type des pentes et ordonnées à l’origine.

📊 Tableaux de synthèse

Évaluations de l’incertitude-type