Fiche de révision : Séries de Fourier et convergence

📋 Plan du Cours

1. Fonctions et polynômes trigonométriques
2. Coefficients et convergence de Fourier
3. Produit scalaire et bases orthogonales
4. Écriture réelle des séries trigonométriques
5. Orthogonalité et identité de Parseval

📖 1. Fonctions et polynômes trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction périodique : Fonction qui vérifie $u(t+T)=u(t)$ pour tout réel t.
• Polynôme trigonométrique : Un polynôme trigonométrique est une combinaison linéaire finie de fonctions $e^{in\omega t}$, et l'ensemble P_N regroupe ceux dont le degré est inférieur ou égal à N.
• Fonction C¹ par morceaux : Une fonction périodique est C¹ par morceaux lorsqu'il existe une subdivision $\alpha_1<\cdots<\alpha_p$ telle qu'elle coïncide avec une fonction C¹ sur chaque intervalle ouvert de la subdivision.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une série trigonométrique complexe s'écrit $\sum_{n\in\mathbb Z}c_ne^{in\omega t}$, avec $\omega=\frac{2\pi}{T}$ et $\nu=\frac{1}{T}$.

📖 2. Coefficients et convergence de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme partielle : La somme partielle d'ordre N de la série de Fourier de u est $S_N(u)=\sum_{n=-N}^{N}c_n(u)e^{in\omega t}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les coefficients complexes de Fourier d'une fonction T-périodique intégrable sont $c_n(u)=\frac{1}{T}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{-in\omega t}u(t)\,dt$.

• La convergence simple signifie que $S_N(u)(t)\to u(t)$ pour chaque t fixé, tandis que la convergence uniforme signifie que $\sup_{t\in\mathbb R}|u(t)-S_N(u)(t)|\to0$.

• Si u est C¹ par morceaux et 2π-périodique, alors $S_N(u)(t)\to\frac12\bigl(u(t^+)+u(t^-)\bigr)$; en un point de continuité, cette limite vaut u(t).

• Si u est C¹ par morceaux, 2π-périodique et continue, alors S_N(u) converge uniformément vers u sur R.

• Si u est Riemann-intégrable ou appartient à L², alors $\|u-S_N(u)\|\to0$.

Compléments

• La convergence en moyenne quadratique signifie que $\|u-S_N(u)\|\to0$, avec $\|u\|=\sqrt{\int_{|t|\le T/2}|u(t)|^2dt}$.

📌 Si u est continue et T-périodique, les moyennes de Fejér $\frac1N\sum_{k=0}^{N-1}S_k(u)$ convergent vers u.

💡 Astuce mémo

Coefficients → sommes partielles → convergence

📖 3. Produit scalaire et bases orthogonales

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Sur les fonctions considérées, le produit scalaire est $\langle f|g\rangle=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)\,dt$ et la norme vérifie $\|f\|^2=\langle f|f\rangle$.

★ À maîtriser

• Les fonctions $e_n(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{int}$ sont orthonormales car $\langle e_n|e_m\rangle=\delta_{nm}$.

Compléments

📌 L'inégalité de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz donne $|\langle f|g\rangle|\le\|f\|\,\|g\|$.

• Dans cette base orthonormale, la série de Fourier de u s'écrit $\sum_{n\in\mathbb Z}\langle e_n|u\rangle e_n$.

💡 Astuce mémo

Les exponentielles complexes forment des directions orthogonales sur le cercle

📖 4. Écriture réelle des séries trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Les coefficients réels de Fourier sont $a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}u(t)\cos(nt)\,dt$ pour n≥0 et $b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}u(t)\sin(nt)\,dt$ pour n≥1.

📐 Formule — Pour T=2π et ω=1, la somme partielle réelle est $S_N(u)=\frac12a_0+\sum_{n=1}^{N}\bigl(a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)\bigr)$.

Compléments

📐 Formule — Pour n≥1, la relation entre les écritures complexe et réelle est $a_n\cos(nt)+b_n\sin(nt)=c_ne^{int}+c_{-n}e^{-int}$.

💡 Astuce mémo

Exponentielles complexes ↔ sinus et cosinus réels

📖 5. Orthogonalité et identité de Parseval

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une fonction périodique intégrable, $\|S_N(u)\|^2=2\pi\sum_{n=-N}^{N}|c_n(u)|^2$.

📐 Formule — L'orthogonalité de la projection de Fourier donne $\|u\|^2=\|u-S_N(u)\|^2+\|S_N(u)\|^2$.

📐 Formule — L'identité de Parseval s'écrit $\|u\|^2=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n(u)|^2$ pour u périodique de période 2π.

Compléments

📌 L'inégalité de Bessel donne $\sum_{n=-N}^{N}|c_n(u)|^2\le\frac{1}{2\pi}\|u\|^2$.

📐 Formule — La relation de Parseval-Bessel s'écrit aussi $\int_{-\pi}^{\pi}|u(t)|^2dt=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}|c_n(u)|^2$ pour u 2π-périodique.

💡 Astuce mémo

Orthogonalité → décomposition de la norme → égalité de Parseval

📊 Tableaux de synthèse

Convergences des séries de Fourier