Fiche de révision : Adaptation aux prérequis mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Calculs avec les fractions
2. Systèmes linéaires à deux inconnues
3. Équations et inéquations
4. Polynômes et égalité
5. Second degré et racines
6. Équations de droites
7. Produit scalaire
8. Produit vectoriel
9. Applications géométriques vectorielles
10. Puissances et radicaux

📖 1. Calculs avec les fractions

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse d’un nombre : L’inverse d’un nombre non nul est le nombre dont le produit avec lui vaut 1, et l’inverse de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$.

📝 Points essentiels

📌 Une fraction conserve sa valeur lorsque son numérateur et son dénominateur sont multipliés ou divisés par un même nombre non nul.

📐 Formule — Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Longleftrightarrow ad=bc$.

📐 Formule — Pour des dénominateurs non nuls, $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$.

📌 Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse, donc $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

💡 Astuce mémo

Simplifier, multiplier, inverser, diviser, additionner

📖 2. Systèmes linéaires à deux inconnues

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : Résoudre un système linéaire à deux inconnues consiste à trouver tous les couples réels qui vérifient simultanément ses deux équations.

★ À maîtriser

• Les trois types de solutions sont:
  • l’ensemble vide
  • une solution unique
  • une infinité de solutions formant une droite

📌 Graphiquement, résoudre un système revient à déterminer les points d’intersection des deux droites associées aux équations.

📌 Pour le système $ax+by=c$ et $a'x+b'y=c'$, si $ab'-a'b\ne0$ les droites ne sont pas parallèles et le système possède une solution unique.

Compléments

• La substitution consiste à isoler une inconnue dans une équation puis à remplacer cette expression dans l’autre équation.

💡 Astuce mémo

Une intersection donne une solution, des droites parallèles donnent zéro ou une infinité

📖 3. Équations et inéquations

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation du premier degré : Une équation du premier degré est une équation de la forme $ax+b=0$ avec $a\ne0$, dont la solution est $x=-\frac{b}{a}$.
• Inéquation du premier degré : Une inéquation du premier degré est une expression de la forme $ax+b>0$, $ax+b\ge0$, $ax+b<0$ ou $ax+b\le0$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul, donc $AB=0\Longleftrightarrow A=0\text{ ou }B=0$.

• Pour tout x qui n’annule pas le dénominateur, l’équation quotient $\frac{P(x)}{Q(x)}=0$ équivaut à $P(x)=0$.

• Multiplier ou diviser les deux membres d’une inégalité par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

💡 Astuce mémo

Multiplier par un positif conserve le sens, par un négatif l’inverse

📖 4. Polynômes et égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme de degré n : Un polynôme de degré n est une fonction réelle de la forme $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$ avec n entier positif.

★ À maîtriser

• Deux polynômes sont égaux sur R si et seulement si les coefficients des termes de même degré sont égaux.

Compléments

• Pour comparer deux polynômes, il faut développer les expressions, réduire les termes semblables, ordonner les puissances puis comparer les coefficients.

💡 Astuce mémo

Développer, réduire, ordonner, comparer

📖 5. Second degré et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Un nombre a est une racine du polynôme P si $P(a)=0$.

📝 Points essentiels

📌 Un polynôme du second degré peut s’écrire sous forme développée $ax^2+bx+c$, canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ ou factorisée $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$.

📌 Si a est une racine de P, alors P est factorisable par x−a et s’écrit $P(x)=(x-a)Q(x)$.

📐 Formule — Pour le trinôme $ax^2+bx+c$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

📌 Si Δ>0, le trinôme possède deux racines réelles distinctes ; si Δ=0, une racine réelle double ; si Δ<0, aucune racine réelle.

💡 Astuce mémo

Discriminant positif, nul ou négatif : deux, une ou aucune racine réelle

📖 6. Équations de droites

★ À maîtriser

📐 Formule — La forme fonctionnelle d’une droite est $y=ax+b$, où a est le coefficient directeur et b l’ordonnée à l’origine.

📐 Formule — La forme cartésienne d’une droite est $Ax+By+C=0$ et, lorsque B est non nul, sa pente vaut $m=-\frac{A}{B}$.

📐 Formule — Pour deux points A(xa,ya) et B(xb,yb), le coefficient directeur de la droite est $a=\frac{y_a-y_b}{x_a-x_b}$ lorsque xa≠xb.

Compléments

• Un vecteur directeur de la droite $Ax+By+C=0$ est $\vec u=(-B,A)$.

💡 Astuce mémo

La forme réduite décrit une fonction affine, la forme cartésienne inclut aussi les verticales

📖 7. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|\cos(\widehat{\vec u,\vec v})$.

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

📐 Formule — Dans un repère orthonormal, pour $\vec u=(x,y,z)$ et $\vec v=(x',y',z')$, on a $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$.

📐 Formule — La norme d’un vecteur vérifie $\|\vec u\|=\sqrt{\vec u\cdot\vec u}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire nul → vecteurs orthogonaux

📖 8. Produit vectoriel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs, orienté selon la règle du sens direct, et de norme $\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\|\vec v\||\sin(\widehat{\vec u,\vec v})|$.

★ À maîtriser

📌 Si deux vecteurs sont colinéaires, leur produit vectoriel est le vecteur nul.

📐 Formule — Pour $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$ et $\vec v=(v_1,v_2,v_3)$, leur produit vectoriel vaut $\vec u\wedge\vec v=(u_2v_3-u_3v_2;u_3v_1-u_1v_3;u_1v_2-u_2v_1)$.

Compléments

📌 Le produit vectoriel vérifie $\vec u\wedge\vec v=-(\vec v\wedge\vec u)$ et se distribue sur l’addition.

💡 Astuce mémo

Deux vecteurs engendrent un parallélogramme dont le vecteur normal donne l’orientation

📖 9. Applications géométriques vectorielles

★ À maîtriser

• L’aire du triangle OAB est $\frac12\|\overrightarrow{OA}\wedge\overrightarrow{OB}\|$.

📐 Formule — Un plan d’équation $ax+by+cz+d=0$ possède pour vecteur normal $\vec n=(a,b,c)$.

📐 Formule — La distance d’un point M(xM,yM) à la droite $ax+by+c=0$ est $\delta=\frac{|ax_M+by_M+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

📐 Formule — La distance d’un point M(xM,yM,zM) au plan $ax+by+cz+d=0$ est $\delta=\frac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.

Compléments

📐 Formule — Le moment d’une force F appliquée en M par rapport à O est $\vec M_O(\vec F)=\overrightarrow{OM}\wedge\vec F$.

💡 Astuce mémo

Vecteurs, produit vectoriel, norme, aire ou distance

📖 10. Puissances et radicaux

★ À maîtriser

📌 Pour des exposants entiers, le produit de puissances de même base vérifie $a^m a^n=a^{m+n}$.

📌 Une puissance d’une puissance vérifie $(a^m)^n=a^{mn}$.

Compléments

• Pour rationaliser le dénominateur d’une fraction contenant un radical, on multiplie le numérateur et le dénominateur par une expression conjuguée ou par le radical approprié.

📐 Formule — La durée d’un battement de pendule de longueur L est donnée par $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{9{,}8}}$.

📊 Tableaux de synthèse

Formes des polynômes du second degré